九年級數學下冊 第29章幾何的回顧29.1 幾何問題的處理方法（第2課時）課件 華東師大版

1、29.1 幾何問題的處理方法 (第2課時) 使學生能夠用邏輯推理證明平行四邊形的判定定理使學生能夠用邏輯推理證明平行四邊形的判定定理 和性質定理，在證明這些定理的過程中，體會以前學過和性質定理，在證明這些定理的過程中，體會以前學過 的定理不只是通過猜想、觀察、比較得到的，這些定理的定理不只是通過猜想、觀察、比較得到的，這些定理 需要數學的嚴格推理論證，才能說明它們是否正確需要數學的嚴格推理論證，才能說明它們是否正確. . 一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題：一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題： “一顧客要一張平行四邊形的玻璃，你利用工具度量哪一顧客要一張平行四邊形的玻璃，你利用工具

2、度量哪 些數據可說明這張玻璃符合顧客要求些數據可說明這張玻璃符合顧客要求.”你能為招聘人員你能為招聘人員 設計一方案嗎？設計一方案嗎？ 例例1.1.已知：已知：E,FE,F是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD對角線對角線ACAC上的兩點，上的兩點， 并且并且AE=CF.AE=CF. 求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . D O A B C E F 【例題例題】 D O A B C E F 證明：證明：連結對角線連結對角線BDBD，交，交ACAC于點于點O.O. 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 AO=COAO=CO，BO=DO.BO=D

3、O. AE=CF, AE=CF, AO-AE=CO-CF, AO-AE=CO-CF, EO=FO, EO=FO, 又又BO=DO,BO=DO, 四邊形四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . 變形變形1.1.已知：已知：E,FE,F是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD對角線對角線ACAC上的兩點，上的兩點， 并且并且 求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . D A B C E F BEDF.BEDF. 變形變形2.2.已知：已知：E,FE,F是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD對角線對角線ACAC上的兩上的兩 點，并且點，并且BEACBEAC

4、于于E E，DFACDFAC于于F.F. 求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . D A B C E F 變形變形3.3.已知：已知：E,FE,F是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD對角線對角線ACAC上的兩點，上的兩點， 并且并且AF=CEAF=CE 求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . D A B C E F 例例2.2.已知已知: :如圖如圖. . 分析分析: :這是一道綜合性題目這是一道綜合性題目, ,利用勾股定利用勾股定 理、方程和平行四邊形的判定定理進行理、方程和平行四邊形的判定定理進行 計算性推理可獲證計算性推

5、理可獲證. . O M N P 4 5 x-3 11-x x-5 求證求證: :四邊形四邊形MNOPMNOP是平行四邊形是平行四邊形. . 證明證明: : O M N P 4 5 x-3 11-x x-5 22 2 x 3x 54 . . 8x MN5PO. PM3ON. 四邊形四邊形MNOPMNOP是平行四邊形是平行四邊形. . 例例3.3.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ABABACAC，BACBAC120120，ACAC的垂的垂 直平分線直平分線DEDE交交BCBC于于D D，E E為垂足，且為垂足，且BCBC18cm18cm，求，求DEDE的長的長. . 分析：分析：由由DEDE垂

6、直平分垂直平分ACAC，同學們會想到添加哪條輔助線？，同學們會想到添加哪條輔助線？ 顯然，連結顯然，連結ADAD較合理，這樣就得到較合理，這樣就得到DADADCDC，從而，從而1 1C C3030， BADBAD9090，然后根據已知條件即可求出，然后根據已知條件即可求出DEDE的長度的長度. . E E D D C C B B A A 1 1 解：解：連結連結AD.DEAD.DE垂直平分垂直平分AC,AC,DADADC,DC, 1 1C C，又，又ABABACAC，BACBAC120120, , BBC C3030， BADBADBACBAC1 19090， 設設DEDE，則，則CDCD2

7、2, , ADAD2 2， BDBD4 4, , CDCDBDBDBCBC， 4 42 218 cm18 cm 3 cm3 cm 答：答：DEDE的長度為的長度為3 cm.3 cm. A A E E O O D D C C B B 例例4 4已知：矩形已知：矩形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BD=4,AEBDBD=4,AEBD于于E E，請你，請你 分別求出圖中線段分別求出圖中線段AC,BEAC,BE的長以及的長以及ADBADB的度數的度數. . 解解: : 四邊形四邊形ABCDABCD為矩形為矩形, , BD=4BD=4，AC=4AC=4，OB=OA=2.OB=OA=2. AB=

8、2,OB=OA=AB.AB=2,OB=OA=AB. AOBAOB為等邊三角形為等邊三角形. . AC=BDAC=BD，OA=OC= ACOA=OC= AC， OB=OD= BD OB=OD= BD. . 2 1 2 1 又又AEOBAEOB于于E,EE,E為為BOBO的中點的中點.BE=OE=1.BE=OE=1. DAB=90DAB=90,ADB=90,ADB=906060=30=30. . 例例5.5.已知已知: : 如圖，矩形如圖，矩形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC上一點，上一點，DFDF AEAE于于F F， 若若AEAEBC.BC. 求證求證: FE : FE CE.CE.

9、 證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是矩形，是矩形， ADADBCBCAEAE， B B9090， ADBC, ADBC, DAEDAE AEB.AEB. 又又DFDF AEAE于于F F， AFDAFD9090 B .B . AFDAFDEBAEBA（A.A.S. ). AFA.A.S. ). AFBE , BE , AEAEBC, AEBC, AEAFAFBCBCBE.BE. 即即 FEFE CECE . . 例例6.6.已知：四邊形已知：四邊形ABCDABCD是平行四邊形，對角線是平行四邊形，對角線ACAC的垂直平的垂直平 分線與邊分線與邊AD,BCAD,BC分別交于分別交于E,F

10、.E,F. 求證：四邊形求證：四邊形AFCEAFCE是菱形是菱形. . A D E BC F O 1 2 證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形, , AEFC,AEFC,1 12.2. 又又AOEAOECOF,AOCOF,AOCO,CO, AOEAOECOF(A.S.A.),COF(A.S.A.),EOEOFO,FO, 四邊形四邊形AFCEAFCE是平行四邊形是平行四邊形. . 又又EFAC,EFAC, 平行四邊形平行四邊形AFCEAFCE是菱形是菱形. . 例例7.7.已知：如圖，四邊形已知：如圖，四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形，ACAC，BDBD交于交

11、于O O點，點， E E是是OBOB上任一點，連結上任一點，連結AEAE，過，過D D作作DFAEDFAE，垂足為，垂足為F F，DFDF交交 OAOA于于H.H. 求證：求證：DH=AE.DH=AE. 分析：分析：要證要證DH=AEDH=AE，只需證，只需證DOHDOHAOE. AOE. 證明：因為四邊形證明：因為四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形， ACAC，BDBD交于交于O O，則，則 AOD=AOE=90AOD=AOE=90，OD=OA,OD=OA, 所以所以2=902=90-3.-3.又因為又因為 DFAEDFAE， 所以所以 1=901=90-3-3，所以，所以22 = 1

12、 = 1 ， 所以所以 DHODHOAEO(A.A.S.)AEO(A.A.S.)， 所以所以 DH=AE.DH=AE. A AD D C C B B E E F F H H O O1 1 2 2 3 3 例例8.8.梯形梯形ABCDABCD中中,AD,AD BC,AB=DCBC,AB=DC，ACAC BDBD (1)(1) 求證求證:BD:BD2 2+AC+AC2 2=(AD+BC)=(AD+BC)2 2. . (2)(2)當當AD=3cm,BC=7cmAD=3cm,BC=7cm時時, ,求求BDBD的長的長. . O A BC D E 解析：解析：（1 1）過）過D D作作DEACDEAC交

13、交BCBC的延長線于點的延長線于點E.E. ACAC BD BD DEDE BD BD ADAD BC ,BC , 四邊形四邊形ACEDACED是平行四邊形是平行四邊形. . AD=CEAD=CE，AC=DE,AC=DE, BDBD2 2+DE+DE2 2=BE=BE2, 2, BDBD2 2+AC+AC2 2=(AD+BC)=(AD+BC)2 2. . （2 2）AB=CD,AC=BD. AB=CD,AC=BD. 由（由（1 1）得）得DBEDBE是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . AD=3 cm,BC=7 cm, AD=3 cm,BC=7 cm, BE=10 cmBE=10 cm cm

14、. cm.25 BD=BD= A C O B D 例例9.9.已知：如圖，梯形已知：如圖，梯形ABCD,ABDCABCD,ABDC，AB+DC=BCAB+DC=BC， O O是是ADAD的中點的中點. . 求證：求證：OBOC.OBOC. 證明：證明：過過O O作作OEAB ,OEAB , OO是是ADAD的中點的中點, , EE是是BCBC的中點的中點, , 11 OE(AB CD)BC, 22 OBOC.OBOC. A C O B D E 1 2 3 4 已知已知: :如圖如圖, AC,BD, AC,BD是是 ABCDABCD的的 兩條對角線兩條對角線, AEBD, AEBD, CFBD,

15、CFBD,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F. 求證求證:AE=CF.:AE=CF. 證明：證明：AC,BDAC,BD是是ABCDABCD的兩條對角線的兩條對角線, , OA=OC,AOE=COF.OA=OC,AOE=COF. AEBD,CFBD,AEBD,CFBD,垂足分別是垂足分別是E,F. E,F. AEO=CFO=90AEO=CFO=90, , AOEAOECOF,COF, AE=CF.AE=CF. B D C A F E O O 【跟蹤訓練跟蹤訓練】 1.1.（綦江（綦江中考）如圖，在中考）如圖，在ABCDABCD中，分別以中，分別以AB,ADAB,AD為邊向為邊向 外作等邊外作等邊

16、ABEABE、ADFADF，延長，延長CBCB交交AEAE于點于點G G，點，點G G在點在點A,EA,E之之 間，連結間，連結CECE，CF,CF,則以下四個結論一定正確的是則以下四個結論一定正確的是 （ ） CDFCDFEBCEBC CDF=EAFCDF=EAF ECFECF是等邊三角形是等邊三角形 CGAECGAE A.A.只有只有 B.B.只有只有 C.C.只有只有 D.D. 【答案答案】B B G F E D C B A 2.2.（成都（成都中考）已知四邊形中考）已知四邊形ABCDABCD ，有以下四個條件：，有以下四個條件： ABABCD CD ；AB=CDAB=CD； BCAD

17、BCAD ；BC=ADBC=AD從這四個從這四個 條件中任選兩個，能使四邊形條件中任選兩個，能使四邊形ABCDABCD成為平行四邊形的選法成為平行四邊形的選法 種數共有（種數共有（ ） A.6A.6種種 B.5B.5種種 C.4C.4種種 D.3D.3種種 【答案答案】C C A B DC E F 3.(3.(嘉興嘉興中考中考）如圖，在）如圖，在ABCDABCD中，已知點中，已知點E E在在ABAB 上，點上，點F F在在CDCD上，且上，且AE=CF.AE=CF. （1 1）求證：）求證：DE=BF.DE=BF. （2 2）連結）連結BDBD，并寫出圖中所有的全等三角形，并寫出圖中所有的全等

18、三角形. . （不要求證明）（不要求證明） 【解析解析】（1 1）在）在ABCDABCD中，中，AB/CDAB/CD，AB=CDAB=CD AE=CFAE=CF，BE=DFBE=DF，且，且BE/DFBE/DF 四邊形四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形 DE=BF.DE=BF. （2 2）連結）連結BDBD，如圖，如圖， 圖中有三對全等三角形：圖中有三對全等三角形： ADEADECBFCBF， BDEBDEDBFDBF， ABDABDCDBCDB A B DC E F 4.4.（恩施（恩施中考中考）已知，如圖，）已知，如圖， 在在ABCDABCD中，中，AE=CFAE=CF， M M，N N分別是分別是DE,BFDE,BF的中點的中點. . 求證：四邊形求證：四邊形MFNEMFNE是平行四邊形是平行四邊形 . . 【解析解析】由平行四邊形性質可知，由平行四邊形性質可知， AB=CDAB=CD，ABCD,ABCD, AE=