九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第29章幾何的回顧29.1 幾何問(wèn)題的處理方法（第2課時(shí)）課件 華東師大版

1、29.1 幾何問(wèn)題的處理方法 (第2課時(shí)) 使學(xué)生能夠用邏輯推理證明平行四邊形的判定定理使學(xué)生能夠用邏輯推理證明平行四邊形的判定定理 和性質(zhì)定理，在證明這些定理的過(guò)程中，體會(huì)以前學(xué)過(guò)和性質(zhì)定理，在證明這些定理的過(guò)程中，體會(huì)以前學(xué)過(guò) 的定理不只是通過(guò)猜想、觀察、比較得到的，這些定理的定理不只是通過(guò)猜想、觀察、比較得到的，這些定理 需要數(shù)學(xué)的嚴(yán)格推理論證，才能說(shuō)明它們是否正確需要數(shù)學(xué)的嚴(yán)格推理論證，才能說(shuō)明它們是否正確. . 一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題：一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題： “一顧客要一張平行四邊形的玻璃，你利用工具度量哪一顧客要一張平行四邊形的玻璃，你利用工具

2、度量哪 些數(shù)據(jù)可說(shuō)明這張玻璃符合顧客要求些數(shù)據(jù)可說(shuō)明這張玻璃符合顧客要求.”你能為招聘人員你能為招聘人員 設(shè)計(jì)一方案嗎？設(shè)計(jì)一方案嗎？ 例例1.1.已知：已知：E,FE,F是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)ACAC上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)， 并且并且AE=CF.AE=CF. 求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . D O A B C E F 【例題例題】 D O A B C E F 證明：證明：連結(jié)對(duì)角線(xiàn)連結(jié)對(duì)角線(xiàn)BDBD，交，交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)O.O. 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 AO=COAO=CO，BO=DO.BO=D

3、O. AE=CF, AE=CF, AO-AE=CO-CF, AO-AE=CO-CF, EO=FO, EO=FO, 又又BO=DO,BO=DO, 四邊形四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . 變形變形1.1.已知：已知：E,FE,F是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)ACAC上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)， 并且并且 求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . D A B C E F BEDF.BEDF. 變形變形2.2.已知：已知：E,FE,F是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)ACAC上的兩上的兩 點(diǎn)，并且點(diǎn)，并且BEACBEAC

4、于于E E，DFACDFAC于于F.F. 求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . D A B C E F 變形變形3.3.已知：已知：E,FE,F是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)ACAC上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)， 并且并且AF=CEAF=CE 求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形. . D A B C E F 例例2.2.已知已知: :如圖如圖. . 分析分析: :這是一道綜合性題目這是一道綜合性題目, ,利用勾股定利用勾股定 理、方程和平行四邊形的判定定理進(jìn)行理、方程和平行四邊形的判定定理進(jìn)行 計(jì)算性推理可獲證計(jì)算性推

5、理可獲證. . O M N P 4 5 x-3 11-x x-5 求證求證: :四邊形四邊形MNOPMNOP是平行四邊形是平行四邊形. . 證明證明: : O M N P 4 5 x-3 11-x x-5 22 2 x 3x 54 . . 8x MN5PO. PM3ON. 四邊形四邊形MNOPMNOP是平行四邊形是平行四邊形. . 例例3.3.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ABABACAC，BACBAC120120，ACAC的垂的垂 直平分線(xiàn)直平分線(xiàn)DEDE交交BCBC于于D D，E E為垂足，且為垂足，且BCBC18cm18cm，求，求DEDE的長(zhǎng)的長(zhǎng). . 分析：分析：由由DEDE垂

6、直平分垂直平分ACAC，同學(xué)們會(huì)想到添加哪條輔助線(xiàn)？，同學(xué)們會(huì)想到添加哪條輔助線(xiàn)？ 顯然，連結(jié)顯然，連結(jié)ADAD較合理，這樣就得到較合理，這樣就得到DADADCDC，從而，從而1 1C C3030， BADBAD9090，然后根據(jù)已知條件即可求出，然后根據(jù)已知條件即可求出DEDE的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. . E E D D C C B B A A 1 1 解：解：連結(jié)連結(jié)AD.DEAD.DE垂直平分垂直平分AC,AC,DADADC,DC, 1 1C C，又，又ABABACAC，BACBAC120120, , BBC C3030， BADBADBACBAC1 19090， 設(shè)設(shè)DEDE，則，則CDCD2

7、2, , ADAD2 2， BDBD4 4, , CDCDBDBDBCBC， 4 42 218 cm18 cm 3 cm3 cm 答：答：DEDE的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為3 cm.3 cm. A A E E O O D D C C B B 例例4 4已知：矩形已知：矩形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BD=4,AEBDBD=4,AEBD于于E E，請(qǐng)你，請(qǐng)你 分別求出圖中線(xiàn)段分別求出圖中線(xiàn)段AC,BEAC,BE的長(zhǎng)以及的長(zhǎng)以及ADBADB的度數(shù)的度數(shù). . 解解: : 四邊形四邊形ABCDABCD為矩形為矩形, , BD=4BD=4，AC=4AC=4，OB=OA=2.OB=OA=2. AB=

8、2,OB=OA=AB.AB=2,OB=OA=AB. AOBAOB為等邊三角形為等邊三角形. . AC=BDAC=BD，OA=OC= ACOA=OC= AC， OB=OD= BD OB=OD= BD. . 2 1 2 1 又又AEOBAEOB于于E,EE,E為為BOBO的中點(diǎn)的中點(diǎn).BE=OE=1.BE=OE=1. DAB=90DAB=90,ADB=90,ADB=906060=30=30. . 例例5.5.已知已知: : 如圖，矩形如圖，矩形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，DFDF AEAE于于F F， 若若AEAEBC.BC. 求證求證: FE : FE CE.CE.

9、 證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是矩形，是矩形， ADADBCBCAEAE， B B9090， ADBC, ADBC, DAEDAE AEB.AEB. 又又DFDF AEAE于于F F， AFDAFD9090 B .B . AFDAFDEBAEBA（A.A.S. ). AFA.A.S. ). AFBE , BE , AEAEBC, AEBC, AEAFAFBCBCBE.BE. 即即 FEFE CECE . . 例例6.6.已知：四邊形已知：四邊形ABCDABCD是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)ACAC的垂直平的垂直平 分線(xiàn)與邊分線(xiàn)與邊AD,BCAD,BC分別交于分別交于E,F

10、.E,F. 求證：四邊形求證：四邊形AFCEAFCE是菱形是菱形. . A D E BC F O 1 2 證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形, , AEFC,AEFC,1 12.2. 又又AOEAOECOF,AOCOF,AOCO,CO, AOEAOECOF(A.S.A.),COF(A.S.A.),EOEOFO,FO, 四邊形四邊形AFCEAFCE是平行四邊形是平行四邊形. . 又又EFAC,EFAC, 平行四邊形平行四邊形AFCEAFCE是菱形是菱形. . 例例7.7.已知：如圖，四邊形已知：如圖，四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形，ACAC，BDBD交于交

11、于O O點(diǎn)，點(diǎn)， E E是是OBOB上任一點(diǎn)，連結(jié)上任一點(diǎn)，連結(jié)AEAE，過(guò)，過(guò)D D作作DFAEDFAE，垂足為，垂足為F F，DFDF交交 OAOA于于H.H. 求證：求證：DH=AE.DH=AE. 分析：分析：要證要證DH=AEDH=AE，只需證，只需證DOHDOHAOE. AOE. 證明：因?yàn)樗倪呅巫C明：因?yàn)樗倪呅蜛BCDABCD是正方形，是正方形， ACAC，BDBD交于交于O O，則，則 AOD=AOE=90AOD=AOE=90，OD=OA,OD=OA, 所以所以2=902=90-3.-3.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?DFAEDFAE， 所以所以 1=901=90-3-3，所以，所以22 = 1

12、 = 1 ， 所以所以 DHODHOAEO(A.A.S.)AEO(A.A.S.)， 所以所以 DH=AE.DH=AE. A AD D C C B B E E F F H H O O1 1 2 2 3 3 例例8.8.梯形梯形ABCDABCD中中,AD,AD BC,AB=DCBC,AB=DC，ACAC BDBD (1)(1) 求證求證:BD:BD2 2+AC+AC2 2=(AD+BC)=(AD+BC)2 2. . (2)(2)當(dāng)當(dāng)AD=3cm,BC=7cmAD=3cm,BC=7cm時(shí)時(shí), ,求求BDBD的長(zhǎng)的長(zhǎng). . O A BC D E 解析：解析：（1 1）過(guò)）過(guò)D D作作DEACDEAC交

13、交BCBC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.E. ACAC BD BD DEDE BD BD ADAD BC ,BC , 四邊形四邊形ACEDACED是平行四邊形是平行四邊形. . AD=CEAD=CE，AC=DE,AC=DE, BDBD2 2+DE+DE2 2=BE=BE2, 2, BDBD2 2+AC+AC2 2=(AD+BC)=(AD+BC)2 2. . （2 2）AB=CD,AC=BD. AB=CD,AC=BD. 由（由（1 1）得）得DBEDBE是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . AD=3 cm,BC=7 cm, AD=3 cm,BC=7 cm, BE=10 cmBE=10 cm cm

14、. cm.25 BD=BD= A C O B D 例例9.9.已知：如圖，梯形已知：如圖，梯形ABCD,ABDCABCD,ABDC，AB+DC=BCAB+DC=BC， O O是是ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn). . 求證：求證：OBOC.OBOC. 證明：證明：過(guò)過(guò)O O作作OEAB ,OEAB , OO是是ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn), , EE是是BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn), , 11 OE(AB CD)BC, 22 OBOC.OBOC. A C O B D E 1 2 3 4 已知已知: :如圖如圖, AC,BD, AC,BD是是 ABCDABCD的的 兩條對(duì)角線(xiàn)兩條對(duì)角線(xiàn), AEBD, AEBD, CFBD,

15、CFBD,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F. 求證求證:AE=CF.:AE=CF. 證明：證明：AC,BDAC,BD是是ABCDABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)的兩條對(duì)角線(xiàn), , OA=OC,AOE=COF.OA=OC,AOE=COF. AEBD,CFBD,AEBD,CFBD,垂足分別是垂足分別是E,F. E,F. AEO=CFO=90AEO=CFO=90, , AOEAOECOF,COF, AE=CF.AE=CF. B D C A F E O O 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】 1.1.（綦江（綦江中考）如圖，在中考）如圖，在ABCDABCD中，分別以中，分別以AB,ADAB,AD為邊向?yàn)檫呄?外作等邊外作等邊

16、ABEABE、ADFADF，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)CBCB交交AEAE于點(diǎn)于點(diǎn)G G，點(diǎn)，點(diǎn)G G在點(diǎn)在點(diǎn)A,EA,E之之 間，連結(jié)間，連結(jié)CECE，CF,CF,則以下四個(gè)結(jié)論一定正確的是則以下四個(gè)結(jié)論一定正確的是 （ ） CDFCDFEBCEBC CDF=EAFCDF=EAF ECFECF是等邊三角形是等邊三角形 CGAECGAE A.A.只有只有 B.B.只有只有 C.C.只有只有 D.D. 【答案答案】B B G F E D C B A 2.2.（成都（成都中考）已知四邊形中考）已知四邊形ABCDABCD ，有以下四個(gè)條件：，有以下四個(gè)條件： ABABCD CD ；AB=CDAB=CD； BCAD

17、BCAD ；BC=ADBC=AD從這四個(gè)從這四個(gè) 條件中任選兩個(gè)，能使四邊形條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCDABCD成為平行四邊形的選法成為平行四邊形的選法 種數(shù)共有（種數(shù)共有（ ） A.6A.6種種 B.5B.5種種 C.4C.4種種 D.3D.3種種 【答案答案】C C A B DC E F 3.(3.(嘉興嘉興中考中考）如圖，在）如圖，在ABCDABCD中，已知點(diǎn)中，已知點(diǎn)E E在在ABAB 上，點(diǎn)上，點(diǎn)F F在在CDCD上，且上，且AE=CF.AE=CF. （1 1）求證：）求證：DE=BF.DE=BF. （2 2）連結(jié)）連結(jié)BDBD，并寫(xiě)出圖中所有的全等三角形，并寫(xiě)出圖中所有的全等

18、三角形. . （不要求證明）（不要求證明） 【解析解析】（1 1）在）在ABCDABCD中，中，AB/CDAB/CD，AB=CDAB=CD AE=CFAE=CF，BE=DFBE=DF，且，且BE/DFBE/DF 四邊形四邊形BFDEBFDE是平行四邊形是平行四邊形 DE=BF.DE=BF. （2 2）連結(jié)）連結(jié)BDBD，如圖，如圖， 圖中有三對(duì)全等三角形：圖中有三對(duì)全等三角形： ADEADECBFCBF， BDEBDEDBFDBF， ABDABDCDBCDB A B DC E F 4.4.（恩施（恩施中考中考）已知，如圖，）已知，如圖， 在在ABCDABCD中，中，AE=CFAE=CF， M M，N N分別是分別是DE,BFDE,BF的中點(diǎn)的中點(diǎn). . 求證：四邊形求證：四邊形MFNEMFNE是平行四邊形是平行四邊形 . . 【解析解析】由平行四邊形性質(zhì)可知，由平行四邊形性質(zhì)可知， AB=CDAB=CD，ABCD,ABCD, AE=