第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改

1、第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 第八章第八章 復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ) 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 8-1 8-1 引言引言 l復(fù)合材料至少由兩種材料構(gòu)成，微觀性質(zhì)是不復(fù)合材料至少由兩種材料構(gòu)成，微觀性質(zhì)是不 均勻的。均勻的。 l 宏觀性能與微觀結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系？宏觀性能與微觀結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系？ 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 l平均值，等效性質(zhì)平均值，等效性質(zhì)均勻材料均勻材料 l復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)就是在研究如何用一個(gè)均勻復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)就是在研究如何用一個(gè)均勻 材料的響應(yīng)來(lái)代替非均勻復(fù)合材料的平均響應(yīng)

2、。材料的響應(yīng)來(lái)代替非均勻復(fù)合材料的平均響應(yīng)。 l前幾章中復(fù)合材料前幾章中復(fù)合材料“模量模量”和和“強(qiáng)度強(qiáng)度”的含義是什么？的含義是什么？ 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 l復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)分析涉及兩個(gè)尺度：復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)分析涉及兩個(gè)尺度： 宏觀的，平宏觀的，平 均意義的量均意義的量 微觀的，涉及微觀的，涉及 組分屬性和微組分屬性和微 結(jié)構(gòu)分布結(jié)構(gòu)分布 模量、強(qiáng)度模量、強(qiáng)度 組分的含量、組分的含量、 形狀、結(jié)合形狀、結(jié)合 狀態(tài)等狀態(tài)等 細(xì)觀力學(xué)建細(xì)觀力學(xué)建 立二者之間立二者之間 的關(guān)聯(lián)的關(guān)聯(lián) 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 8-2 8-2 有效模

3、量理論有效模量理論 一、有效模量理論一、有效模量理論 1、宏觀均勻、代表性體積單元、宏觀均勻、代表性體積單元 復(fù)合材料中的增強(qiáng)體復(fù)合材料中的增強(qiáng)體 的幾何分布可以是規(guī)的幾何分布可以是規(guī) 則的（如圖），也可則的（如圖），也可 以是不規(guī)則的。以是不規(guī)則的。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 總體來(lái)看，復(fù)合材料是宏觀均勻的，因此總體來(lái)看，復(fù)合材料是宏觀均勻的，因此 研究其某些性能時(shí)，只須取其一代表性體積單研究其某些性能時(shí)，只須取其一代表性體積單 元（元（representative volume element）來(lái)研究即）來(lái)研究即 可代表總體，見(jiàn)圖?？纱砜傮w，見(jiàn)圖。 RVE

4、的要求：的要求： 1、RVE的尺寸的尺寸纖維纖維 直徑；直徑； 3、RVE的纖維體積分?jǐn)?shù)的纖維體積分?jǐn)?shù)=復(fù)合材料的纖維體積復(fù)合材料的纖維體積 分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 v v V f f 纖維體積分?jǐn)?shù)：纖維體積分?jǐn)?shù)： f v 纖維總體積；纖維總體積； v 復(fù)合材料體積復(fù)合材料體積 注意：注意： 只有當(dāng)所討論問(wèn)題的最小尺寸遠(yuǎn)大于代表性體只有當(dāng)所討論問(wèn)題的最小尺寸遠(yuǎn)大于代表性體 積單元時(shí)，復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變等才有意義。積單元時(shí)，復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變等才有意義。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 二、復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變及有效模量

5、（復(fù)合材料）（復(fù)合材料） （均勻等效體）（均勻等效體） 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 v ijij v v 0 d 1 klijklij C * v ijij v v 0 d 1 按體積平均，定義復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)椋喊大w積平均，定義復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)椋?平均應(yīng)力平均應(yīng)力 平均應(yīng)變平均應(yīng)變 則等效體的本構(gòu)方程（即應(yīng)力則等效體的本構(gòu)方程（即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）為：應(yīng)變關(guān)系）為： * ijkl C定義為復(fù)合材料的有效模量（或宏觀模量，定義為復(fù)合材料的有效模量（或宏觀模量， 總體模量）總體模量） 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 jiji xsu

6、 0 )( jiji nsT 0 )( 三、有效模量理論 1、邊界條件、邊界條件：（不能隨意?。海ú荒茈S意?。?均勻應(yīng)變邊界條件：均勻應(yīng)變邊界條件： 均勻應(yīng)力邊界條件：均勻應(yīng)力邊界條件： 0 ijij 0 ijij 2、可證明的兩個(gè)特性：、可證明的兩個(gè)特性： 在給定均勻應(yīng)變邊界下，有：在給定均勻應(yīng)變邊界下，有： 在給定均勻應(yīng)力邊界下，有：在給定均勻應(yīng)力邊界下，有： 證明可見(jiàn)證明可見(jiàn)復(fù)合材料力學(xué)復(fù)合材料力學(xué)（周履等）（周履等）P223。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 0 d 1 ij v ijij v v v ijij v v 0 d 1 klijklij C *

7、3、有效模量理論、有效模量理論 jiji xsu 0 )( 1）給定均勻應(yīng)變邊界條件）給定均勻應(yīng)變邊界條件 而而 * ijkl C其中其中為復(fù)合材料的有效模量。為復(fù)合材料的有效模量。 其應(yīng)變能為：其應(yīng)變能為：vCvU klijijkl v ijij * 2 1 d 2 1 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 此時(shí)，復(fù)合材料的應(yīng)變能也為：此時(shí)，復(fù)合材料的應(yīng)變能也為： vCvU klijijkl v ijij * 2 1 d 2 1 0 0 d 1 ij v ijij v v v ijij v v 0 d 1 jiji nsT 0 )( 2）給定均勻應(yīng)力邊界條件）給定均勻應(yīng)力

8、邊界條件 而而 klijklij C * ij * ijkl C 則由則由，只需求得，只需求得，即可求得，即可求得 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 3）有效模量的嚴(yán)格理論解）有效模量的嚴(yán)格理論解 只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效 彈性模量一致，并可由彈性模量一致，并可由RVE的解向鄰近單元連的解向鄰近單元連 續(xù)拓展到整體時(shí)，所得的有效彈性模量才是嚴(yán)續(xù)拓展到整體時(shí)，所得的有效彈性模量才是嚴(yán) 格的理論解。格的理論解。 則只有滿足上述條件的復(fù)合材料的宏觀彈則只有滿足上述條件的復(fù)合材料的宏觀彈 性模量才能通過(guò)體積平均應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行計(jì)算；

9、性模量才能通過(guò)體積平均應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行計(jì)算； 或按應(yīng)變能計(jì)算?；虬磻?yīng)變能計(jì)算。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 一、長(zhǎng)纖維復(fù)合材料 8-3 有效模量的材料力學(xué)半經(jīng)驗(yàn)解法 l l mf 1 1 E （一）縱向有效模量（一）縱向有效模量 采用平面假設(shè)，在采用平面假設(shè)，在P力作用下，對(duì)力作用下，對(duì)RVE有：有： （下標(biāo)（下標(biāo)f、m表示纖維和基體）表示纖維和基體） 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mmff v ij m m v ij f f v ijij VV v vv v v vv v dv v mf )()( d 1 d 11 mmff VV 1

10、mmmfff EEE, 111 mmff VEVEE 1 mf 1 所以有所以有 而而 利用利用 稱為縱向有效模量的混合律。稱為縱向有效模量的混合律。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mmff VV 222 mmff VV 21 21 （二）縱向泊松比（二）縱向泊松比 RVE的縱向應(yīng)變關(guān)系式：的縱向應(yīng)變關(guān)系式： 1 兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以，可得：，可得： mmff VV 12 12 G（三）縱橫（面內(nèi)）剪切模量（三）縱橫（面內(nèi)）剪切模量 在剪應(yīng)力作用下，在剪應(yīng)力作用下，RVE的剪的剪 應(yīng)變有如下關(guān)系：應(yīng)變有如下關(guān)系： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力

11、學(xué)基礎(chǔ)改 m m f f G V G V G 12 1 m m m f f f GGG , 12 12 12 mf 12 以以代入上式，代入上式， 并假設(shè)有并假設(shè)有，可得：，可得： （倒數(shù)混合律）（倒數(shù)混合律） mmff VV 2 2 E（四）橫向有效模量（四）橫向有效模量 222fm 設(shè)設(shè) 而由平均值關(guān)系有：而由平均值關(guān)系有： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 222222222 , fffmmm EEE m m f f E V E V E 22 1 （倒數(shù)混合律）（倒數(shù)混合律） 12 G 2 E 12f G 2f E 可通過(guò)可通過(guò)和和的計(jì)算公式可反算的計(jì)算公式可反算

12、和和 。 （五）（五）Halpin-Tsai方程方程 mmff VEVEE 1 mmff VV 21 單向纖維增強(qiáng)的單層的五個(gè)有效模量分單向纖維增強(qiáng)的單層的五個(gè)有效模量分 別由下式計(jì)算：別由下式計(jì)算： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 m f m f M M M M 1 f f m V V M M 1 1 23122, 或GE（M表示表示） 其中：其中： ：纖維增強(qiáng)效果的一種度量參數(shù)，依賴于：纖維增強(qiáng)效果的一種度量參數(shù)，依賴于 相幾何和載荷條件。相幾何和載荷條件。 * 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 b a b a GE log73. 1log

13、 ,2 122 對(duì)矩形（對(duì)矩形（ab）截面纖維，）截面纖維， 2 2 E 1 12 G f V對(duì)圓截面纖維，方形排列，中等對(duì)圓截面纖維，方形排列，中等值時(shí)，值時(shí)， 另外，另外，*式還可以用于沿直線排列的短纖維增式還可以用于沿直線排列的短纖維增 強(qiáng)單層的縱向和橫向有效模量的計(jì)算：強(qiáng)單層的縱向和橫向有效模量的計(jì)算： 計(jì)算計(jì)算E1時(shí)，?。簳r(shí)，?。?b a E 2 1 計(jì)算計(jì)算E2時(shí)，?。簳r(shí)，?。?2 2 E 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 二、短纖維復(fù)合材料 （一）單向短纖維復(fù)合材料（一）單向短纖維復(fù)合材料 TL EE ,只討論縱向和橫向模量（只討論縱向和橫向模量（）。）。

14、 2 ) 2 tanh( 1 l l VEVEE L mmffLL 1、修正復(fù)合法則（修正混合定律）、修正復(fù)合法則（修正混合定律） L 其中其中表示纖維長(zhǎng)度有效因子。表示纖維長(zhǎng)度有效因子。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 2 1 2 )ln( 2 f ff m r R rE G )(長(zhǎng)（短）TT EE m G f r f V 其中其中為基體剪切模量，為基體剪切模量， 為纖維半經(jīng)，為纖維半經(jīng)，R為為 纖維間距，纖維間距，l為纖維長(zhǎng)度，為纖維長(zhǎng)度，R與纖維的排列方式和與纖維的排列方式和 有關(guān)。有關(guān)。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 fT fT m

15、 T fL fL m L V V E E V V d l E E 1 21 1 21 2 1 ; 2 1 m f m f T m f m f L E E E E d l E E E E 2、Halpin-Tsai方程方程 d l 2 此時(shí)，對(duì)此時(shí)，對(duì) L取：?。?對(duì)對(duì) T取：?。?d l T E上式表明上式表明與纖維長(zhǎng)比與纖維長(zhǎng)比無(wú)關(guān)，可見(jiàn)單向無(wú)關(guān)，可見(jiàn)單向 短纖維復(fù)合材料的橫向模量與連續(xù)纖維復(fù)合短纖維復(fù)合材料的橫向模量與連續(xù)纖維復(fù)合 材料的相同。材料的相同。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 )1 ( fmffLoRandom VEVECE TLRandom EEE

16、8 5 8 3 （二）隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料（二）隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料 1、修正混合律：、修正混合律： 2、基于、基于halpin-Tsai的經(jīng)驗(yàn)公式：的經(jīng)驗(yàn)公式： o C 即為位向因子，在即為位向因子，在0.3750.5之間，材料之間，材料 為面內(nèi)各向同性。為面內(nèi)各向同性。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 8-4 有效模量的其他力學(xué)模型解 一、復(fù)合圓柱模型 f Vconstba/ a）復(fù)合圓柱族模型）復(fù)合圓柱族模型 1 E 21 b）求）求和和 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 23 Kc）求）求 12 Gd）求）求 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)

17、基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mm f f m mfmf mmff GK V K V vvVV VEVEE 1 )(4 2 1 mm f f m fm mfmf mmff GK V K V KK vvVV VV 1 ) 11 )( 21 mm m mf f m GK V KK V KK 1 23 可在復(fù)合圓柱模型上施加不同的均勻應(yīng)力可在復(fù)合圓柱模型上施加不同的均勻應(yīng)力 邊界條件，利用彈性力學(xué)方法進(jìn)行求解而得到邊界條件，利用彈性力學(xué)方法進(jìn)行求解而得到 有效模量，結(jié)果為：有效模量，結(jié)果為： 1、 2、 3、 （平面應(yīng)變體積模量）（平面應(yīng)變體積模量） 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料

18、細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 )1 ( )1 ( 12 fmmf mmff m VGVG VGVG GG 4、 23 G5、可由三相模型求得：可由三相模型求得： 23 G 利用在利用在r處處 施加純剪均勻施加純剪均勻 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件 下，兩者（下，兩者（a） 和（和（b）的應(yīng)變）的應(yīng)變 能相等來(lái)確定能相等來(lái)確定 。 具體見(jiàn)具體見(jiàn)復(fù)合材料力學(xué)復(fù)合材料力學(xué)（周履等）（周履等）P250-256！ 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 二、Eshelby夾雜模型 1、Eshelby等效夾雜理論等效夾雜理論 * kl Pij D- 異質(zhì)夾雜異質(zhì)夾雜同質(zhì)等效夾雜同質(zhì)等效夾雜 * kl ：特

19、征應(yīng)變：特征應(yīng)變 設(shè)整個(gè)系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)邊界處受均勻應(yīng)力邊設(shè)整個(gè)系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)邊界處受均勻應(yīng)力邊 界條件，如沒(méi)有夾雜界條件，如沒(méi)有夾雜 ，則，則D內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)閮?nèi)的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)?0 1 000 ; ijijklklkl C 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 ij ij )( )( *00 00 klklklijkl klkl I ijklijij I ij C C 而實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)還應(yīng)該加上由夾雜引而實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)還應(yīng)該加上由夾雜引 起的擾動(dòng)應(yīng)力和擾動(dòng)應(yīng)變，即：起的擾動(dòng)應(yīng)力和擾動(dòng)應(yīng)變，即： 則夾雜中的應(yīng)力場(chǎng)可表示為則夾雜中的應(yīng)力場(chǎng)可表示為 * ij 其中，其中，稱為等效特征

20、應(yīng)變。稱為等效特征應(yīng)變。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 * ijijklij S )()( *000 klklklijklklkl I ijkl CC 由由Eshelby的研究得出擾動(dòng)應(yīng)變和特征應(yīng)變的研究得出擾動(dòng)應(yīng)變和特征應(yīng)變 的關(guān)系為：的關(guān)系為： 其中四階張量其中四階張量Sijkl稱為稱為Eshelby張量，僅與基張量，僅與基 體的材料性能和夾雜物的形狀和尺寸有關(guān)。如體的材料性能和夾雜物的形狀和尺寸有關(guān)。如 果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng) 力場(chǎng)是均勻的。關(guān)鍵在于如何求得特征應(yīng)變的力場(chǎng)是均勻的。關(guān)鍵在于如何求得特征應(yīng)

21、變的 值。利用等效夾雜理論有：值。利用等效夾雜理論有： （*） 將（將（*）代入該式則可求得特征應(yīng)變，進(jìn)）代入該式則可求得特征應(yīng)變，進(jìn) 而求得夾雜內(nèi)外的彈性場(chǎng)。而求得夾雜內(nèi)外的彈性場(chǎng)。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 2、單向短纖維復(fù)合材料的彈性性能預(yù)測(cè)、單向短纖維復(fù)合材料的彈性性能預(yù)測(cè) 2a 1 3 2 2b 0 11 ij 0 1111 0 11 設(shè)沿設(shè)沿1方向作用均勻應(yīng)力方向作用均勻應(yīng)力 1 E12 求求和和 因?yàn)椴牧蟽?nèi)部有：因?yàn)椴牧蟽?nèi)部有： 表示平均值。表示平均值。 ij 只需求得材料內(nèi)的平均應(yīng)變只需求得材料內(nèi)的平均應(yīng)變 即可求得該材料的有效模量。即可求得該材

22、料的有效模量。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 *0 ijijij f 由由Eshelby夾雜理論可得：夾雜理論可得： * ij 其中其中f為纖維體積分?jǐn)?shù)；為纖維體積分?jǐn)?shù)；即特征應(yīng)變。即特征應(yīng)變。 )()( 0*00 * c klklijklkl c klklijkl klijkl c ij CC S * ij 對(duì)橢圓形夾雜，對(duì)橢圓形夾雜，Eshelby已經(jīng)證明已經(jīng)證明在夾雜內(nèi)部在夾雜內(nèi)部 是均勻的，而在夾雜以外為零，且有：是均勻的，而在夾雜以外為零，且有： ijkl S c kl 0 kl 其中其中為為Eshelby張量；張量；為因夾雜的出現(xiàn)而為因夾雜的出現(xiàn)而 形成

23、的干擾應(yīng)變；形成的干擾應(yīng)變；為無(wú)限遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)變；為無(wú)限遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)變； 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 )1 ( )( 0 11 * 11 * 11 0 11 0 11 11 11 1 f E f E m 0 ijkl C 為基體材料的彈性張量；為基體材料的彈性張量； ijkl C為夾雜的彈性張量。為夾雜的彈性張量。 * ij 聯(lián)解上式可得到聯(lián)解上式可得到。 由此可得：由此可得： 11 22 12 22 若求出若求出，則：，則： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 1 3 2 1 3 2 2、斜向纖維情況：、斜向纖維情況： 321 先在先在坐標(biāo)

24、系下求得：坐標(biāo)系下求得： * ij * ij （方法同前）（方法同前） 然后利用坐標(biāo)變換求得然后利用坐標(biāo)變換求得 （為（為角的函數(shù)）角的函數(shù)） 11 11 1 E 11 22 12 仍利用仍利用和和 求有效模量，注意此時(shí)的模量求有效模量，注意此時(shí)的模量 為為角的函數(shù)。角的函數(shù)。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 3、隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料：、隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料： 2 0 * 2 0 * )( 2 1 dd ijij 0 11 * 11 * 22 11 22 11 0 11 random E 11 22 random )( * ijij 對(duì)不同的對(duì)不同的角，按前述方法

25、求得其角，按前述方法求得其 然后對(duì)其求對(duì)于然后對(duì)其求對(duì)于得平均值：得平均值： 在在作用下可求得作用下可求得和和，進(jìn)而求得，進(jìn)而求得 和和。最后可得：。最后可得： 注意：上述計(jì)算均未計(jì)及纖維之間的互相作用。注意：上述計(jì)算均未計(jì)及纖維之間的互相作用。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 0 11 ij 由前面的分析可知由前面的分析可知 v ijij dv v 0 1 n p ppijij V V 1 )( 1 三、數(shù)值計(jì)算方法（有限元法）三、數(shù)值計(jì)算方法（有限元法） ；而；而 該積分的值可由該積分的值可由FEM進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，即有：進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，即有： p為離散的單元號(hào)，為離散

26、的單元號(hào)，n為單元總數(shù)。為單元總數(shù)。 11 22 只需求出了只需求出了和和 ，即可得：，即可得： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 11 0 11 1 E 11 22 12 對(duì)復(fù)合材料有效性能的計(jì)算均需要建立一定的對(duì)復(fù)合材料有效性能的計(jì)算均需要建立一定的 體積代表性單元，如：體積代表性單元，如： c c c c a) aligned fiber model b) tilted fiber model 單向短纖維復(fù)合材料的理想化模型單向短纖維復(fù)合材料的理想化模型 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 y Fiber y Interface c S o

27、z c x d Matrix l L S a) Longitudinal section b) Transverse section 三維代表性體積單元三維代表性體積單元 所有的計(jì)算都是基于上述代表性體積單元。所有的計(jì)算都是基于上述代表性體積單元。 對(duì)隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料的處理方法與前一對(duì)隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料的處理方法與前一 致。致。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 不同的方法得到的結(jié)果不同，見(jiàn)下表。不同的方法得到的結(jié)果不同，見(jiàn)下表。 復(fù)合材料復(fù)合材料Vf混合律混合律H-T方程方程夾雜理論夾雜理論FEM測(cè)量測(cè)量 -Al2O3f/Al- 5.5Mg -Al2O3f/

28、Al- 5.5Zn -Al2O3f/Al- 12Si 0 10 15 20 0 10 15 20 0 10 20 - 85 93 102 - 85 93 102 - 85 102 - 76 80 84 - 76 80 84 - 76 84 - 78 83 88 - 78 83 88 - 78 88 - 81.4 87.7 93.9 - 81.4 87.7 93.9 - 81.4 93.9 70 78.180.2 85.289.8 94.297.2 70 78.9 87.489.2 94.895.6 70 73.675.0 80.6 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 8-

29、5 8-5 復(fù)合材料強(qiáng)度的細(xì)觀力學(xué)分析復(fù)合材料強(qiáng)度的細(xì)觀力學(xué)分析 8-5-1 8-5-1 長(zhǎng)纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度材料力學(xué)分析長(zhǎng)纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度材料力學(xué)分析 、縱向拉伸強(qiáng)度X 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mmffc VV )1 ()( max maxfmffc VVXX f )1 ( maxfmc VX c 由圖由圖a所示模型的平衡，復(fù)合材料的應(yīng)力所示模型的平衡，復(fù)合材料的應(yīng)力與與 纖維和基體應(yīng)力的關(guān)系為：纖維和基體應(yīng)力的關(guān)系為： maxf f X 當(dāng)復(fù)合材料的破壞由纖維控制，即纖維達(dá)到其當(dāng)復(fù)合材料的破壞由纖維控制，即纖維達(dá)到其 破壞應(yīng)變破壞應(yīng)變（對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為（對(duì)應(yīng)

30、的應(yīng)力為）時(shí)，復(fù)合）時(shí)，復(fù)合 材料達(dá)到應(yīng)力極限值為：材料達(dá)到應(yīng)力極限值為： （*） 0 f 但當(dāng)纖維破壞后（但當(dāng)纖維破壞后（時(shí)），基體將承擔(dān)全時(shí)），基體將承擔(dān)全 部載荷，此時(shí)復(fù)合材料的極限應(yīng)力為：部載荷，此時(shí)復(fù)合材料的極限應(yīng)力為： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 fcf VVV min mc X max 由圖由圖c可見(jiàn)：可見(jiàn)： min VV f maxmaxcc 1、當(dāng)、當(dāng)時(shí)，時(shí)， 復(fù)合材料強(qiáng)度由基體控制復(fù)合材料強(qiáng)度由基體控制 min VV f maxmaxcc 2、當(dāng)、當(dāng)時(shí)，時(shí)， 復(fù)合材料強(qiáng)度由纖維控制復(fù)合材料強(qiáng)度由纖維控制 3、當(dāng)、當(dāng)時(shí)，時(shí)， 說(shuō)明復(fù)合材料強(qiáng)度低于

31、基體本身強(qiáng)度，說(shuō)明復(fù)合材料強(qiáng)度低于基體本身強(qiáng)度， 纖維未增強(qiáng)。纖維未增強(qiáng)。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 max max max max )( )( )( )( min f f f f mf mm fc mmf mm X X V XX X V fcf VV mc X max 4、當(dāng)、當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 說(shuō)明復(fù)合材料強(qiáng)度高于基體本身強(qiáng)度，說(shuō)明復(fù)合材料強(qiáng)度高于基體本身強(qiáng)度， 纖維增強(qiáng)。纖維增強(qiáng)。 fc V f V fc V一般來(lái)說(shuō)很小，工程中常用的一般來(lái)說(shuō)很小，工程中常用的均大于均大于， 復(fù)合材料的強(qiáng)度總由纖維控制。復(fù)合材料的強(qiáng)度總由纖維控制。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第

32、八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 X 二、縱向壓縮強(qiáng)度 壓縮時(shí)可能的破壞形式：壓縮時(shí)可能的破壞形式： 因纖維屈曲而導(dǎo)致破壞；因纖維屈曲而導(dǎo)致破壞； 因橫向界面拉裂而破壞；因橫向界面拉裂而破壞； 基體和基體和/或纖維剪切破壞；或纖維剪切破壞； 纖維與基體壓壞；纖維與基體壓壞； 纖維彎壞等等；纖維彎壞等等； 下面只介紹根據(jù)纖維屈曲理論得到的結(jié)果：下面只介紹根據(jù)纖維屈曲理論得到的結(jié)果： 兩種模型：兩種模型：a）橫向型（拉壓型）：）橫向型（拉壓型）：“異向異向” 屈屈 曲，基體橫向受拉壓作用；曲，基體橫向受拉壓作用； 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 b）剪切型：）剪切型：“同相同相

33、”屈曲，基體受剪切作用。屈曲，基體受剪切作用。 ) 1 ( 24 12 234 4 2 2 22 mEch El m l hE f m f fcr )1 ( 3 f f mf fcr V EEV （1）橫向型）橫向型 可求得：可求得： 其中：其中：l為纖維長(zhǎng)度，為纖維長(zhǎng)度，h為纖維直徑，為纖維直徑，2c為纖維為纖維 間距，間距，m為屈曲時(shí)的半波數(shù)目。為屈曲時(shí)的半波數(shù)目。 由于由于m為一很大的數(shù)，可對(duì)上式進(jìn)行連續(xù)函數(shù)為一很大的數(shù)，可對(duì)上式進(jìn)行連續(xù)函數(shù) 求解最小值，可得：求解最小值，可得： hc h Vf 2 其中，其中， 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 )1 (3 )1

34、 ( 2 max f fmf f m ffmmfcrfc V EEV E E VVVVX 最后有：最后有： )1 ( 3 2 f fmf f V EEV VX m f fcr m E E 1 m f E E 其中其中。若。若，則上式可變?yōu)?，則上式可變?yōu)?第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 2 2 )( 12)1 ( m l h E VV G f ff m fcr f m fcrf V G VX 1 （2）剪切型：）剪切型： 同理可得：同理可得： m l 為半波長(zhǎng)（為半波長(zhǎng)（h）, 后一項(xiàng)可略去。后一項(xiàng)可略去。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 2

35、max2 )( m m my K max2222 )( ) 1 1 (1 m my y f mmff K V VV int ) 1 1 (1 m my y f X K V Y Y 三、橫向拉伸強(qiáng)度 理論計(jì)算可得：理論計(jì)算可得： 2 2 f m y 其中其中 ，且應(yīng)力集中系數(shù)，且應(yīng)力集中系數(shù)Kmy為：為： max2) ( m m X int X Y 2 當(dāng)當(dāng)?shù)扔诘扔诤秃?中較小者時(shí)，中較小者時(shí)， m X int X （和和中較小者）中較小者） 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 YY)74( int ) 1 1 (1 m ms s f S K V S Y 四、橫向壓縮強(qiáng)度

36、其破壞原因?yàn)榛w剪切破壞，經(jīng)驗(yàn)公式為：其破壞原因?yàn)榛w剪切破壞，經(jīng)驗(yàn)公式為： S 五、面內(nèi)剪切強(qiáng)度 Y 面內(nèi)剪切破壞由基體和界面剪切所致，與面內(nèi)剪切破壞由基體和界面剪切所致，與 類似，有：類似，有： m S int S（和和的較小者）的較小者） 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mmffc VV 8-5-28-5-2短纖維復(fù)合材料強(qiáng)度的細(xì)觀力學(xué)分析短纖維復(fù)合材料強(qiáng)度的細(xì)觀力學(xué)分析 一、單向短纖維復(fù)合材料 一般采用修正混合律公式進(jìn)行研究。一般采用修正混合律公式進(jìn)行研究。 對(duì)長(zhǎng)纖維復(fù)合材料應(yīng)力有：對(duì)長(zhǎng)纖維復(fù)合材料應(yīng)力有： mmffc VV 對(duì)短纖維復(fù)合材料，由于必須計(jì)及纖維

37、端部對(duì)短纖維復(fù)合材料，由于必須計(jì)及纖維端部 效應(yīng)，所以上式應(yīng)寫為：效應(yīng)，所以上式應(yīng)寫為： f l f f f dz l 0 1 其中其中 （需要知道纖維中的（需要知道纖維中的 應(yīng)力分布）應(yīng)力分布） 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 由由COX提出的剪切滯后理論，通過(guò)圖提出的剪切滯后理論，通過(guò)圖b的平衡有：的平衡有： z f z r 0 d 2 y z r yf 2 若若 在在z方向?yàn)橐怀?shù)方向?yàn)橐怀?shù) 則則 f 則纖維的應(yīng)力則纖維的應(yīng)力 沿沿z方向是方向是 線性分布的線性分布的 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 dl y f t 2 )( max

38、 將能達(dá)到最大纖維應(yīng)力的最小纖維長(zhǎng)度定義為將能達(dá)到最大纖維應(yīng)力的最小纖維長(zhǎng)度定義為 載荷傳遞長(zhǎng)度載荷傳遞長(zhǎng)度 （d ：纖維直徑）：纖維直徑） c c f f E E max )( 上式中上式中 rl yf /)( max 短纖維最大纖維應(yīng)力發(fā)生在纖維長(zhǎng)度中點(diǎn)處短纖維最大纖維應(yīng)力發(fā)生在纖維長(zhǎng)度中點(diǎn)處 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 crt ll dl y fu cr 2 fuf max )(當(dāng)當(dāng)時(shí)：時(shí)： 則則 （臨界載荷傳遞長(zhǎng)度）（臨界載荷傳遞長(zhǎng)度） )( ) 2 1 ()( )( 2 1 max 2 tf tf

39、 f t f fy lf f ll ll l l d l t l 其中：其中：為載荷傳遞長(zhǎng)度。為載荷傳遞長(zhǎng)度。 臨界載荷傳遞長(zhǎng)度是載荷傳遞長(zhǎng)度的最大值。臨界載荷傳遞長(zhǎng)度是載荷傳遞長(zhǎng)度的最大值。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mmf f t fc mmffc VV l l VV ) 2 1 ()( )( 2 1 max max )( )( tf tf ll ll 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?mmu cr f fufmmuf fy cu V l l VVV d l 2 crf ll fuf max )(當(dāng)當(dāng)時(shí)，纖維中的應(yīng)力時(shí)，纖維中的應(yīng)力，則纖維，則纖維 不會(huì)破壞，復(fù)合材料的破壞由基

40、體控制，不會(huì)破壞，復(fù)合材料的破壞由基體控制，其強(qiáng)度其強(qiáng)度 可近似寫為：可近似寫為： crf ll （） 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mmf f cr fucu VV l 2 l 1 fu )()( mmffucu VV fu )( crf ll fuf max )(而當(dāng)而當(dāng)時(shí)，時(shí)，復(fù)合材料破壞由，復(fù)合材料破壞由 纖維控制，則強(qiáng)度為：纖維控制，則強(qiáng)度為： crf ll（） crf ll若若，則，則 此即為長(zhǎng)纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度公式。此即為長(zhǎng)纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度公式。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 fu fu mmufu mmu V )( )(

41、 min fu fu mfu mmu cr V )( )( f V min V cr V與長(zhǎng)纖維類似，與長(zhǎng)纖維類似，仍有兩個(gè)臨界值仍有兩個(gè)臨界值和和 ： ) 2 1 ( f cr fufu l l 其中其中 min V cr V可見(jiàn)短纖維復(fù)合材料的可見(jiàn)短纖維復(fù)合材料的和和值均要高于值均要高于 長(zhǎng)纖維復(fù)合材料的值。長(zhǎng)纖維復(fù)合材料的值。 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 )1 ( )d)() 2 1 (d)( 2 ( fmu l ff f cr l o ff cr f fufcu V llf l l llf l l V cr cr 二、隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度模型 1、

42、纖維長(zhǎng)度隨機(jī)分布的單向短纖維復(fù)合材料、纖維長(zhǎng)度隨機(jī)分布的單向短纖維復(fù)合材料 )( f lf f l cr l cr l 此時(shí)此時(shí) 既可以大于既可以大于，又可以小于，又可以小于，若，若 為一隨機(jī)變量，滿足為一隨機(jī)變量，滿足的分布密度函數(shù)，則的分布密度函數(shù)，則 復(fù)合材料的強(qiáng)度公式為：復(fù)合材料的強(qiáng)度公式為： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 muf cr f fufo muf f cr fufo cu V l l VC V l l VC )1 ( 2 )1 () 2 1 ( )( )( crf crf ll ll )1 ( )d)() 2 1 (d)( 2 ( fmu l f

43、f f cr l o ff cr f fufocu V llf l l llf l l VC cr cr 2、纖維位向隨機(jī)分布的短纖維復(fù)合材料、纖維位向隨機(jī)分布的短纖維復(fù)合材料 1）修正混合律：）修正混合律： o C即為因纖維位向隨機(jī)分布而造成強(qiáng)度降低的即為因纖維位向隨機(jī)分布而造成強(qiáng)度降低的 因子稱為位向因子，其值為因子稱為位向因子，其值為0.350.5，若同時(shí)考，若同時(shí)考 慮長(zhǎng)度的隨機(jī)性，則有：慮長(zhǎng)度的隨機(jī)性，則有： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mu fu m )(注意上面分析中均認(rèn)為注意上面分析中均認(rèn)為與與相等。相等。 2 1 2 4 22 222 4 sin

44、 cossin) 11 ( cos )( TLL cu 2）統(tǒng)計(jì)積分法）統(tǒng)計(jì)積分法 由由Tsai-Hill判據(jù)可得單向短纖維復(fù)合材料的偏判據(jù)可得單向短纖維復(fù)合材料的偏 軸拉伸強(qiáng)度為：軸拉伸強(qiáng)度為： muf f cr fuf muf f cr fuf L V l l V V l l V )1 ( 2 )1 () 2 1 ( )( )( cr cr ll ll L 其中：其中：為縱向拉伸強(qiáng)度，等于為縱向拉伸強(qiáng)度，等于 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 2 1 )(2 f mumu mu T V )( )( muiu muiu mumuiu 3 2 2 0 )()( df c

45、ucu T 為橫向拉伸強(qiáng)度，等于為橫向拉伸強(qiáng)度，等于 為剪切破壞強(qiáng)度，等于為剪切破壞強(qiáng)度，等于 iu muiu ,為界面，基體的剪切強(qiáng)度，為界面，基體的剪切強(qiáng)度， 為界面的為界面的 抗拉強(qiáng)度?？估瓘?qiáng)度。 )(f引入纖維位向的分布密度函數(shù)引入纖維位向的分布密度函數(shù)，則，則 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 0 mmff AA 0 mmff VV 即：即： 8-6 8-6 單層板熱、濕脹系數(shù)的預(yù)測(cè)單層板熱、濕脹系數(shù)的預(yù)測(cè) 1 一、 縱向熱脹系數(shù)的確定 1、平衡方程：、平衡方程： a）代表性體積單元 b）自由時(shí)變形 c）實(shí)際狀態(tài)變形 f m T 、 即為因即為因 起的纖維和基體應(yīng)力。起的纖維和基體應(yīng)力。 而引而引 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 mf 1 2、幾何方程：、幾何方程： （平面假設(shè)）（平面假設(shè)） TTT 1011 )( f f ff E T m m mm E T m m m f f f E T E T 3、物理方程：、物理方程： 對(duì)單層板：對(duì)單層板： 對(duì)纖維：對(duì)纖維： 對(duì)基體：對(duì)基體： 由上面各式可得：由上面各式可得： 第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改第八章復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ)改 T VEVE VE