《導(dǎo)數(shù)和應(yīng)用》單元測試題(理科)

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測試題（理科）（滿分 150 分時間： 120 分鐘 ）一、選擇題（本大題共8 小題，共40 分，只有一個答案正確）1函數(shù) f ( x)2x 2的導(dǎo)數(shù)是（）(A)f ( x)4x(B)f ( x) 42 x(C)f(x) 82 x(D)f( x)16 x2函數(shù) f ( x)x e x 的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）(A)1,0(B)2,8(C)1,2(D)0,23 已 知 對 任 意 實 數(shù) x ， 有 f ( x)f ( x)， g( x)g( x)， 且 x0 時 ，f (x) 0， g ( x)0 ，則 x0 時（）A f ( x) 0， g ( x)0B f ( x) 0，

2、g (x) 0C f ( x) 0， g ( x)0D f ( x) 0， g ( x) 02111)dx4(23（）1xxx(A)ln 27(B)ln 27(C)ln 25(D)1884ln 285曲線 y1 x在點 (4， e2 ) 處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（e2） 9 e2 4e2 2e2 e226設(shè) f( x) 是函數(shù) f (x) 的導(dǎo)函數(shù)，將 yf (x) 和 yf ( x) 的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）7 已知二次函數(shù)f ( x)ax 2bxc 的導(dǎo)數(shù)為f (x) ， f (0)0 ，對于任意實數(shù)x 都有.f ( x)0，則f (1) 的最小值為（）f

3、 (0)A 3B 5C 2D 3228設(shè) p : f ( x)ex ln x2x2mx1在 (0，) 內(nèi)單調(diào)遞增，q : m 5 ，則 p 是 q 的（）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件二填空題（本大題共6 小題，共30 分）9用長為 18 cm 的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2： 1，則該長方體的長、寬、高各為時，其體積最大 .10將拋物線yx2和直線 y1圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體2的體積等于11已知函數(shù)f (x)x312x8 在區(qū)間 3,3上的最大值與最小值分別為M , m ，則M m xn (112對正整數(shù) n，設(shè)曲線

4、 yx) 在 x 2 處的切線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為a n ，則數(shù)列an的前 n項和的公式是n 113點 P 在曲線 yx 3x2上移動，設(shè)在點P 處的切線的傾斜角為為，則 的取值3范圍是14已知函數(shù)y1 x3x 2ax5(1) 若函數(shù)在,總是單調(diào)函數(shù)，則a 的取值范3圍 是.(2)若函數(shù)在1,) 上 總 是 單 調(diào) 函 數(shù) ， 則 a 的 取 值 范圍.（ 3）若函數(shù) 在區(qū)間（ -3 ，1）上單調(diào)遞減， 則實數(shù) a 的取值范圍是.三解答題（本大題共6 小題，共12+12+14+14+14+14=80 分）15設(shè)函數(shù)f( ) exe x（1）證明： f ( x) 的導(dǎo)數(shù) f (x) 2 ；x（

5、 2）若對所有x 0 都有f ( x) ax ，求 a 的取值范圍.16設(shè)函數(shù) f ( x)x33x2 分別在 x1、 x2 處取得極小值、極大值. xoy 平面上點 A、 B 的Puuur uuur, 點QP坐標(biāo)分別為（ x1, f ( x1 )） （ x2, f ( x2 )）滿足PA?PB4是點關(guān)于直、，該平面上動點線 y 2( x 4) 的對稱點， . 求(1) 求點 A、B 的坐標(biāo)；(2) 求動點 Q 的軌跡方程 .17已知函數(shù)f ( x)ax 4 ln xbx 4c (x0) 在 x = 1 處取得極值 -3-c ，其中 a,b,c為常數(shù)。（ 1）試確定 a,b 的值；（ 2）討論

6、函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間；（ 3）若對任意x0，不等式f ( x)2c2 恒成立，求 c 的取值范圍。.18已知 f ( x)ax 3( a 1) x24x 1 a R3（ 1）當(dāng)（ 2）當(dāng)a 1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。a R時，討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。（ 3）是否存在 負(fù)實數(shù) a ，使 x1,0 ，函數(shù)有最小值3？19已知函數(shù)f ( x)x33x.（ 1）求曲線yf ( x) 在點 x2 處的切線方程；（ 2）若過點A(1,m) (m2) 可作曲線 yf (x) 的三條切線，求實數(shù)m 的取值范圍 .20已知函數(shù)fxxa2xx ln x ，其中 a 0 x， g1x1xf xg x是函數(shù)h的極值

7、點，求實數(shù)a 的值；（ ）若（ 2）若對任意的 x1, x21，e （ e為自然對數(shù)的底數(shù)）都有f x1 g x2 成立，求實數(shù) a 的取值范圍理科測試解答一、選擇題.1 f (x)2x 24 2 x 2 ,f ( x) 24 2 xf ( x) 82 x;或 f ( x)22 x2 x4x 282 x （理科要求：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）2 f ( x)xx1 exx ex1 x ex0, x 1選 (A)xeex .f( x)ex2，ex2或 f ( x) 1e xx e x1(1x)e x0. e x0,x1.3.(B) 數(shù)形結(jié)合4（ D）5（ D）6（ D）7（ C）8（ B）二、填空題9 2c

8、m,1cm,1.5cm ; 設(shè)長方體的寬為x（ m），則長為2x(m) ，高為h1812x4.5x x 3.43 (m)02故長方體的體積為V(x)2x2(4.5x)9x 26x33) x33(m(0).2從而V() 18x18x2(4.53) 18x(1).xxx令 V（ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1，因此 x=1.當(dāng) 0x 1 時， V（ x） 0；當(dāng) 1 x 2 時， V（ x） 0， 3故在 x=1 處 V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（ x）的最大值。從而最大體積V V（ x） 9 12 -6 13（ m3），此時長方體的長為2 m，高為 1.5 m. S11y2

9、1. （圖略）10x 2dy2ydy00011 3212 y /x 22n1 n 2 , 切線方程為 : y2n2n1 n2 ( x 2) ，令 x=0，求出切線與 y 軸交點的縱坐標(biāo)為y0 nnan2n，則數(shù)列an的前 n 項和1 2，所以1n 1nSn2 12n212n 1213.0,3,24.14. (1)a1; (2)a3; ( 3) a3.三、解答題15解：（1） f ( x) 的導(dǎo)數(shù) f(x)exex x-xxx2，故 由于ee 2 e egf (x)2（當(dāng)且僅當(dāng)x0 時，等號成立） （ 2）令 g( x)f ( x)ax ，則g ( x) f (x) a exe xa ，（）若

10、a 2，當(dāng) x0 時， g ( x) exe xa2 a 0 ，故 g( x) 在 (0， ) 上為增函數(shù)，所以， x 0時， g( x) g(0)，即 f (x) ax （）若 a2 ，方程 g (x)0的正根為 x1ln aa24，2此時，若 x(0， x1 ) ，則 g ( x)0 ，故 g (x) 在該區(qū)間為減函數(shù)所以， x (0， x1) 時， g ( x)g (0) 0，即 f (x)ax ，與題設(shè) f (x) ax 相矛盾綜上，滿足條件的a 的取值范圍是，2 16解：（1）由題意知f (1)3c ，因此 bc3c ，從而 b3 又對 f (x) 求導(dǎo)得f (x)4ax3 ln x

11、ax4 g14bx3xx3 (4 a ln xa4b)由題意 f (1)0 ，因此 a 4b0，解得 a12 （ 2）由（ I ）知 f(x)48x3 ln x （ x 0 ），令 f(x)0 ，解得 x1 當(dāng)0x1 時， f(x)0 ，此時 f ( x) 為減函數(shù)；當(dāng)x1時， f (x)0 ，此時 f ( x) 為增函數(shù).因此 f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1) ，而 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(1， ) （ 3）由（ II ）知， f ( x) 在 x1 處取得極小值 f (1)3 c ，此極小值也是最小值，要使f ( x) 2c2 （ x0 ）恒成立，只需3 c 2c2 即 2c2

12、c3 0 ，從而 (2 c3)(c1) 0，解得 c 3或 c 12所以 c 的取值范圍為 (，1U 3 ，217解 : (1)令f()(x33x2)3x23 0解得x1或x1x當(dāng) x1時 , f ( x)0 ,當(dāng)1 x 1時 , f ( x)0 ,當(dāng) x1時 , f ( x)0所 以 , 函 數(shù) 在 x1處取得極小值,在 x1取得極大值,故x11, x21, f (1)0, f (1)4所以 ,點 A、 B 的坐標(biāo)為A( 1,0), B(1,4) .(2) 設(shè) p(m, n) ， Q ( x, y) ，PA? PB1,1 ,421n24n4m n ?m n m1yn1k PQ，所以m22x，

13、又 PQ的中點在 y2(x 4) 上，所以 y n2 x m422消去 m,n 得 x8 2y2 29 .另法：點 P 的軌跡方程為 m2n2 29, 其軌跡為以（0， 2）為圓心，半徑為3 的圓；設(shè)點（ 0，2）關(guān)于 y=2(x-4) 的對稱點為 (a,b),則點 Q 的軌跡為以 (a,b),為圓心，半徑為 3的圓，由 b21 ， b22a 04得 a=8,b=-2a022218（ 1） x, 2 , 或 x2, f(x)遞減 ;x2,2 , f (x)遞增 ; （ 2） 1、當(dāng) a0,x, 2 , f(x) 遞 增 ;2、 當(dāng) a0, x2, f(x) 遞 增 ;3 、 當(dāng) 0a1, x,

14、2,或,2ax2, f (x)遞增 ; 當(dāng) a1, x, f(x)遞增 ; 當(dāng) a 1, x,2, 或 x2, , f(x)aa遞增 ; （ 3）因 a 0, 由分兩類（依據(jù)：單調(diào)性，極小值點是否在區(qū)間-1,0 上是分類“契機”：.121,a2,x1,02 ,2, f(x)f(x)minf( 1)3a32,aa4221,a2,f(x)minf (2)33a23a 1 0aa3212,a3a64191 f( x)3x23, f (2)9, f (2)2332 22yf (x) x2y29( x2)9xy 16 042A(1,m)yf ( x)( x0 , y0 )y0x033x0 , kf (

15、x0 ) 3x023.y( x033x0 ) (3x023)( xx0 )62 x033x02m30 (*)f ( x)A(1,m)(m2)y*.g( x) 2x33x2m 3, g (x) 6x26x 6x(x 1)g ( x)0, x0 1.10x, g (x), g(x)x(,0)0(0,1)1(1,)g (x)00g( x)ZZx0, g (x)m3;x1, g (x)m2 .12g( x)g(0)0g(1),0m30m22, 3m0g (x)A.Ayf ( x)m( 3,2).1420 11hx2xa2ln x0，xa2hx21x2xx1hxh 103a20a0a3a3x1h xa3

16、.解法 2： hxa2ln x ，其定義域為0，2xxa2 hx21x2x令 hx0，即 2a210，整理，得 2x2xa20 8a2x2x10 ， hx0的兩個實根 x1118a2118a24（舍去）， x24，當(dāng) x 變化時， h x， hx的變化情況如下表：x0,x2x2x2 ,hx0h x極小值Z依題意，118a21，即 a23，4 a 0 ， a3 （ 2 ） 解 ： 對 任 意 的 x , x21，e 都 有 f x g x211x1 , x21， e 都有fxmin gx max 當(dāng) x 1， e 時， gx1 10 x函數(shù) gxxln x 在1，e 上是增函數(shù) g xmaxgee1 f x1a2xaxa1, e ， a 0 x2x2，且 xx ax a當(dāng) 0a 1且 x1， e 時， fxx2a2函數(shù) fxx在 1， e 上是增函數(shù)，x成立等價于對任意的0 ， fxminf 11a2 .由1a2e1a e，0a，得又1