基于線性二次最優(yōu)控制的倒立擺系統(tǒng)鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)

1、基于線性二次最優(yōu)控制的倒立擺系統(tǒng)鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)現(xiàn)代控制理論論文學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)姓名指導(dǎo)老師2015.06.20目錄一. 引言1.1研究背景1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀二.系統(tǒng)描述2.1數(shù)學(xué)模型描述及參數(shù)設(shè)置2.2設(shè)計(jì)過程中的問題描述三系統(tǒng)特征分析四系統(tǒng)設(shè)計(jì)4.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性條分析4.2二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)五結(jié)論六參考文獻(xiàn)一.引言1.1研究的背景倒立擺系統(tǒng)是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、快速、非線性和自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，在控制過程中能有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動(dòng)問題、鎮(zhèn)定問題及追蹤問題等，可以作為一個(gè)經(jīng)典的

2、控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。近年來，新的控制方法不斷出現(xiàn)，人們?cè)噲D通過倒立擺這樣一個(gè)嚴(yán)格的控制對(duì)象，檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理多變量、非線性和對(duì)絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力。倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置，形象直觀，結(jié)構(gòu)簡單，構(gòu)建組成參數(shù)和形狀易于改變，成本低廉。倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現(xiàn)，也可以通過擺桿角度、小車位移和穩(wěn)定時(shí)間直接度量，其實(shí)驗(yàn)效果直觀地體現(xiàn)、顯著。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實(shí)驗(yàn)手段，位自動(dòng)控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以用來檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的經(jīng)典方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。2.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析倒立擺系統(tǒng)的研

3、究始于20世紀(jì)50年代，麻省理工學(xué)院的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備，而后世界很多國家豆?jié){一級(jí)倒立擺控制作為驗(yàn)證某種控制理論或方法的經(jīng)典方案：后來人們參照雙足機(jī)器人控制問題研究二級(jí)倒立擺控制設(shè)備，二級(jí)倒立擺控制的仿真或?qū)嵨锵到y(tǒng)已廣泛見于某些實(shí)驗(yàn)室中。在1993年，三極擺的仿真控制已經(jīng)實(shí)現(xiàn)，美國、日本、俄羅斯、瑞士等很多國家的科研機(jī)構(gòu)都對(duì)倒立擺進(jìn)行了很多的研究，提出了很多先進(jìn)的控制算法。日本的科研工作者們?cè)?997年成功的實(shí)驗(yàn)了平面倒立擺的控制，獲得了非常好的控制效果，與此同時(shí)，瑞士國家工程研究院的Bernhard Sprenger等實(shí)現(xiàn)了直線運(yùn)動(dòng)機(jī)器臂的平面倒立擺的控

4、制，并且具有很好的魯棒性。我國的倒立擺研究雖然起步比較晚，但是隨著倒立擺系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，國內(nèi)很多大學(xué)和科研機(jī)構(gòu)都對(duì)倒立擺進(jìn)行了很多的卓有成效的工作?，F(xiàn)在我國的倒立擺研究在某些方面已經(jīng)走在了世界的前列。2002年8月北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的科研團(tuán)隊(duì)采用“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”成功地實(shí)現(xiàn)了全球首例“四級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控制”。而由此項(xiàng)理論產(chǎn)生的方法和技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人技術(shù)、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空器對(duì)接控制技術(shù)等方面具有廣闊的開發(fā)利用前景。二系統(tǒng)描述2.1數(shù)學(xué)模型描述及參數(shù)設(shè)置倒立擺系統(tǒng)是一類典型的多變量、非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng),因其運(yùn)動(dòng)特性與火箭飛行、雙足機(jī)器人行走等現(xiàn)代

5、高科技存在相似性,因此對(duì)其研究有著重要的意義。現(xiàn)以單級(jí)倒立擺系統(tǒng)為例, 應(yīng)用上述設(shè)計(jì)方法的思路實(shí)現(xiàn)對(duì)其有效控制。單級(jí)倒立擺系統(tǒng)(如圖2.1)是由剛性擺桿、電機(jī)和小車組成,電機(jī)施加的水平控制力使小車根據(jù)擺桿偏角的變化而在軌道上左右運(yùn)動(dòng),從而使擺桿始終保持垂直位置。應(yīng)用牛頓動(dòng)力學(xué)原理對(duì)系統(tǒng)建立非線性數(shù)學(xué)模型：圖2.1單級(jí)倒立擺系統(tǒng)示意圖在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖2.4所示。圖2.2直線一級(jí)倒立擺模型其中：小車質(zhì)量擺桿質(zhì)量小車摩擦系數(shù)擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度擺桿慣量加在小車上的力小車位置擺桿與垂直向上方向的夾角擺桿與垂直向下方向的夾角（

6、考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖2.3是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖2.3所示，圖示方向均為矢量正方向。圖2.3小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (3.1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： (3.2)即： (3.3)把這個(gè)等式代入式(3.1)中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (3.4)為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： (3.5) (3.6)力矩平衡方程如下： (3.7

7、)由于,，故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (3.8)設(shè)(是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即，如下定義的格蘭姆矩陣非奇異： rank(=n 矩陣的列線性獨(dú)立。利用matlab對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能觀性分析:clear;clc;A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B= 0 1 0 3;C= 1 0 0 0;0 1 0 0;D= 0 0 ;rank(C A*C A2*C A3*C)ans = 4系統(tǒng)具有可觀性圖3.3系統(tǒng)可控性，可觀性可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。因此接

8、下來，我要進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。四.系統(tǒng)的設(shè)計(jì)4.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性條分析由于穩(wěn)定性是系統(tǒng)在自由運(yùn)動(dòng)下的特性，故只需考慮自治系統(tǒng)為維狀態(tài)向量；為時(shí)間變量； 為維函數(shù)，其展開式為： 如果對(duì)于所有，滿足 的狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)(又稱為平衡點(diǎn))。如果系統(tǒng)是線性定常的，也就是說，則當(dāng)為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)；當(dāng)為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將存在無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的常值解(對(duì)所有，總存在)。任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)(即彼此孤立的平衡狀態(tài))或給定運(yùn)動(dòng)都可通過坐標(biāo)變換，統(tǒng)一化為擾動(dòng)方程之坐標(biāo)原點(diǎn)，即或。在本章中，除非特別申明，我們將僅討論擾動(dòng)方程關(guān)于原點(diǎn)

9、處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。這種“原點(diǎn)穩(wěn)定性問題”由于使問題得到極大簡化，而不會(huì)喪失一般性，從而為穩(wěn)定性理論的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這是Lyapunov的一個(gè)重要貢獻(xiàn)。控制系統(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，反映了系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的動(dòng)態(tài)行為。鑒于線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于具有多個(gè)平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)來說，由于各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性一般并不相同，故需逐個(gè)加以考慮，還需結(jié)合具體初始條件下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡來考慮。4.2二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)在控制系統(tǒng)中，為了達(dá)到同一個(gè)控制目的，可以有多種方案，具有最小能量的控制方式更具有實(shí)際意義。對(duì)于 （1）系統(tǒng)性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指標(biāo)來描述： （2）Q是對(duì)稱正定（半正定）加權(quán)矩陣，R是對(duì)稱正定加權(quán)矩陣，他們反映了設(shè) 計(jì)者對(duì)狀態(tài)x和控制u中各分量重要性的關(guān)注程度。第一項(xiàng)反映控制性能，這一項(xiàng)越小，狀態(tài)衰減到0的速度越快，振蕩越小，控制性能越好；第二項(xiàng)反映對(duì)控制能量的限制。通常狀態(tài)x衰減速度越快，控制能量越大，這是一個(gè)矛盾，最優(yōu)控制的目的就是尋找Q、