球面距離 課件講解

1、球面距離球面距離 上海嘉定安亭高級中學 方卓群 球面上兩點間的距離球面上兩點間的距離 平面上兩點間的最短距離是連 結這兩點的線段的長度， 而球的表面是曲面，球面上P 、Q 兩 點間的最短距離顯然不是線段PQ的長 度，那是什么呢？ 假如你要乘坐從上海直飛好萊塢的飛機, 設想一下,它需要沿著怎樣的航線飛行呢? 航程大約是多少呢? (1)在某一高度上，上海和好萊塢間的距離 是一條線段的長嗎 ? (2)經過球面上的這兩點有多少條弧呢 ? (3)這無數(shù)條弧長哪條最短 ? 為了解決這個問題我們這節(jié)課就來研究一下地 球上兩點之間的最短距離（球面距離） 答：不是，是一段圓弧的長。 答：無數(shù)條。 球面距離：球面

2、上兩點 A、 B之間的最短距離，就是 經過A、B兩點的大圓在 這兩點間的一段劣弧AB 的長度，我們把這個弧長 叫做兩點的球面距離 A B O 一.定義 球面距離 距離公式： （其中R為球半徑， 為A,B所對應的球心角的弧度數(shù) ） lR? ? ? R R 球面距離 A B O A、B兩點的球面距離： 過A、B兩點的大圓 在A、B間的劣弧長 度。 注意：球面距離是球面上 兩點間的最短距離 ?RA?的弧長B )(弧度制若設球心角? AOB 地球儀中的經緯度地球儀中的經緯度 經度P點的經度，也是 或 的 度數(shù)，即：某地點的經度就是經過這點的經 線和地軸確定的半平面與本初子午線與地軸 確定的半平面所成二

3、面角的平面角的度數(shù) ? AOBAOB O A B P 地 軸 赤 道 本 初 子 午 線 北極 A B O1 O 如圖，AOB的大小即為B點所在的緯度。 緯度B點的緯度，即經過這點的球半徑和赤 道平面所成的角度 例2、 已知地球的半徑為 6371km, 上海的位置約為東 經1210,北緯310，臺北的位置約為東經 1210,北緯250, 求兩個城市間的距離。 他們在同一個大圓上 上，上海與臺北在同一經線 ? ? O A B ? 62531?AOB 360 6 63712 6371 ? ? ?的弧長AB r? A O B 例3、 已知地球的半徑為 6371km, 北京的位置約為東 經116 0,

4、北緯400，紐約的位置約為西經 740,北緯400, 求兩個城市間的距離。 1 O C D ? ?40 ? ? )( , COD BODAOC ? 406371 6371 2 2 222 2222 cos , ,cos ,cos ? ? ? ? ? ? ? ODOC OBOA OBOA ABOBOA AOB CODODOC ODOCCDAB 其中 由余弦定理，得： ? 489916470.cos?AOBAOB 360 99.48 63712?的弧長AB 例、球面上有三個點，其中任意兩點的球面距離都等于 大圓周長的 ，經過三個點的小圓的周長為 ，求這 個球的半徑。 6

5、1 ?4 O A B C O? 2可知小圓的半徑為設球的半徑為,R 的外接圓的圓心為 為球心，三點為如圖設 ABCO? ,CBAO 32ABC?AB為正三角形且可知 36 2 BOCAOCAOB CBA ? ? 的球面距離兩兩相等，? 32?ABR 1.位于同一經線上兩點的球面距離 例1. 求東經 線上，緯度分別為北緯 和 的兩地A ，B的球面距離 (設地球半徑為R). 3868 ? 57 赤道 ? AOB? ，根據(jù) ? A ，B的球面距離為 ? 68又EOB? EOA?38 , 30lR? 6 lR ? ? 6 R? ? 6 R? ? 解 EOB?EOA? ? ,AOB? O N S E A

6、 B 二.應用舉例 例2.已知地球半徑為R,A、B兩點均位于北緯45度 線上，點A在東經30度，點B在東經120度。 求(1)在北緯45度圈上劣弧 的長度; (2) 求經過A、B兩地的球面距離？ O O1 A B m 2.位于同一緯線上兩點的球面距離 ,90 )1( 1 1 ROBBOO BOO ? 中，解：在? . 2 2 ,45 11 RBOOBO? 緯線圈中 的長度為 RR? ? 4 2 2 2 . 2 ? AB AB O O1 A B m (2) 求經過A、B兩地球面距離？ 1 ABO?(2)在中，1 90 ,AOB? ,ABR?AOB?在中， AOOBABR? 60AOB? 3 R

7、l ? ? . 3 R? A、B兩地的球面距離為 O1.ABC 2 ? 已知球 的半徑是、 、 三點 都在球面上，且每兩點的球面距離都是， 則球心到平面ABC的距離是_ 1326 ., 3336 ABCD 1 dC H O B A 2BC ? 2AC ? ，同理得： 2AB? ? AOB 中 ，在直角三角形 1OAOB?又 90AOBBOCAOC ? ? ? ? ? A 、 B 、 C三點 2 ? 解: 每兩點間的球面距離都為 ? 為正三角形， AOB? ? 236 323 HBAB?，在直角三角形，在直角三角形 BOH中 2 2 63 ,1 33 OH ? ? ? ? ? 1 dC H O

8、B A 注：我們可以把球的問題轉化成棱錐(或棱柱)問題來處理 1 d C H O B A 3, , AB1,2, 3 3 ABC A B C BC AC ? ? 練習： 已知在半徑為的球面上，有三點， 的兩點之間的球面距離為， 則球心到平面的距離是多少。 C O B A H 解： A 、 C兩點的球面距離為 3 3 ? ? 3 AOC ? ? ? 3ACR? 又 1AB? ,2BC ?,3AC ? ABC?為直角三角形， ? A 、 B 、 C三點共圓 ? 球心 在平面ABC內的射影一定在 AC 上， 所以點 O 到平面ABC的距離為 O OH 2 22 11 33 3 22 OOOAO A

9、? ? ? ? ? ? 練習：練習： 球面上有球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離個點，其中任意兩點的球面距離 都等于大圓周長的都等于大圓周長的 1 , 6 經過3點的小圓的周點的小圓的周 長為 4 , ?那么這個球的半徑為（那么這個球的半徑為（ ） A B C D 4 3 2 3 2 3 C O B A 練習、把地球當作半徑為 R的球，地球上A,B 兩點都在北緯450的緯線上,A,B兩點的球面距 離是 ，A在東經200，求B點的位置 R 3 ? O AB C D ? ?60 3 R ?AOBAB ? ? 的弧長 RAB ?為正三角形AOB ? Rcos45ODOC RABCDDC ? ?，中，在O ? 90 0 2 222 ? ? ? ? ? COD ODOC CDODOC COD