二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃復(fù)習(xí)

1、二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃復(fù)習(xí)一、知識歸納：1二元一次不等式表示的平面區(qū)域：二元一次不等式 Ax By C . 0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 Ax By C =0某一側(cè) 所有點組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）對于在直線Ax By C =0同一側(cè)的所有點（x, y），實數(shù)Ax By C的符號相同，所 以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點（xo, yo）,從Ax0 By0 C的正負即可判斷 Ax By C 0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域 （特殊地，當(dāng) C工0時，常把原點作為此特殊 點）2.線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的

2、解 （x, y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的可行解叫做最優(yōu)解。3 線性規(guī)劃問題應(yīng)用題的求解步驟：（1）先設(shè)出決策變量，找出約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（2）作出相應(yīng)的圖象（注意特殊點與邊界）（3）利用圖象，在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標(biāo)函數(shù)達到最大（?。┲担辉谠谇缶€性目標(biāo)函數(shù)= mx ny的最大（?。r，直線 mx ny二0往右（左）平移則值隨之增大（小），這樣就可以在可行域中確定最優(yōu)解。二、學(xué)習(xí)要點：1 掌握二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的確定方法。2對線性目標(biāo)函數(shù)Ax By中B的符號一定要注意：當(dāng) B 0時，當(dāng)直線過可行域且在y

3、軸截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當(dāng)B 0時，當(dāng)直線過可行 域且在y軸截距最大時，z值最小，在y軸截距最小時，z值最大。3 如果可行域是一個多邊形，那么一般在其頂點處使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，最優(yōu)解一般就是多邊形的某個頂點。4由于最優(yōu)解是通過圖形來觀察的，故作圖要準(zhǔn)確，否則觀察的結(jié)果可能有誤。三、例題分析：例1 畫出不等式2x y -6 ： 0表示的平面區(qū)域 點（2,t）在直線2x3y+6=0的上方，則t的取值范圍是 .x 一 y +5 蘭 0畫出不等式組x y - 0表示的平面區(qū)域x 3x - 4 y 蘭 -3例2.設(shè)x, y滿足約束條件：3x 525，分別求下列目標(biāo)函數(shù)

4、的的最大值與最小值:x _1（1） z=6x 10y ；（ 2） z=2x-y ；(3) z =2x - y( x, y 是整數(shù))；=x2y2 ；(5)80例3.甲乙兩個糧庫要向 A、B兩鎮(zhèn)運送大 M，已知甲庫可調(diào)出100噸大M，乙?guī)炜烧{(diào)出噸大M, A鎮(zhèn)需70噸大M, B鎮(zhèn)需110噸大M,兩庫到兩鎮(zhèn)的路程和運費如下表:路程/km運費（元 tJ kmJ）甲庫乙?guī)旒讕煲規(guī)霢鎮(zhèn)20151212B鎮(zhèn)2520108（1）這兩個糧庫各運往 A、B兩鎮(zhèn)多少噸大 M ?才能使總運費最??？此時總運費是多少?（2）最不合理的調(diào)運方案是什么？它使國家造成的損失是多少？例4.預(yù)算用2000元購買單價為50元的桌子和2

5、0元的椅子，希望使桌、椅的總數(shù)盡可能的 多。但椅子數(shù)不能少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍。問桌子、椅子各買多少才合適？四、練習(xí)題：（一）選擇題:1.不等式x-2y -0表示的平面區(qū)域是C. D.2 22.滿足不等式y(tǒng)-x-0的點（x,y）的集合（用陰影表示）是A. B.3.若函數(shù)y =ax2 bx a的圖象與x軸有兩個交點，則點(a, b)在aOb平面上的區(qū)域(不QA0圖3C. DA. B2x-y 1 _04.不等式組 x -2y -1 一0表示的平面區(qū)域是x y 1A 一個正三角形及其幾個內(nèi)部B 一個等腰三角形及其內(nèi)部C .在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域D .不包含第一象限的一個有界區(qū)域x

6、- y 1 _ 05如果實數(shù)x、y滿足條件y 1 _ 0 ，那么2x-y的最大值為x y 1 _0x- 2 0x乞29 .iy Z 0在約束條件下，當(dāng)3空s乞5時,jx + y 蘭 sy 2x 乞 4目標(biāo)函數(shù)z =3x 2y的最大值的變化范圍是10.已知平面區(qū)域 D由以A1,3、B 5,2、C 3,1為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成，若在區(qū) 域D上有無窮多個點x, y可使目標(biāo)函數(shù)z=x my取得最小值，則 m =A. -2B. -1 C.1D. 4（二）填空題：11 點P（a,4）到直線x-2y，2 = 0的距離為 2 5，且P在3x y-3 0表示的區(qū)域內(nèi),x - y 10個。12.不等式組4x

7、 + y-16蘭0表示的區(qū)域中，坐標(biāo)是整數(shù)的點共有x aO, y X013 某實驗室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價格為140元；另一種是每袋 24千克，價格為120元.在滿足需要的條件下，最少 要花費 元了_ y x14.設(shè)變量x、y滿足約束條件x + y32，則目標(biāo)函數(shù)z=2x + y的最小值為y - 3x -6x y _ 4I15已知點P（x, y）的坐標(biāo)滿足條件y _ x ，點O為坐標(biāo)原點，那么| PO |的最小值等于x -1,最大值等于.（三）解答題：16.某廠生產(chǎn) A與B兩種產(chǎn)品，每公斤的產(chǎn)值分別為600元與400元又知每生產(chǎn)1公斤A產(chǎn)

8、品需要電力2千瓦、煤4噸；而生產(chǎn)1公斤B產(chǎn)品需要電力3千瓦、煤2噸但該廠的電 力供應(yīng)不得超過100千瓦，煤最多只有120噸問如何安排生產(chǎn)計劃以取得最大產(chǎn)值？17 某運輸隊公司接受了向抗洪搶險地區(qū)每天至少運送180t支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重量為6t的A型卡車與4輛載重量為10t的B型卡車，有10名駕駛員。每輛卡車每天 往返的次數(shù)為 A型卡車4次，B型卡車3次。每輛卡車每天往返的成本費為A型車320元，B型車504元，請你給該公司調(diào)配車輛，使公司所花的成本最低？18 某公司準(zhǔn)備進行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資是由每份金融投資20萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成；進取型組合投資是由每份金融投資4

9、0萬元，房地產(chǎn)投資 30萬元組成。已15萬元。180萬元，那么知每份穩(wěn)健型組合投資每年可獲利 10萬元，每份進取型組合投資每年可獲利 若可作投資用的資金中，金融投資不超過160萬元，房地產(chǎn)投資不超過這兩種組合投資應(yīng)注入多少份，才能使一年獲利總額最多？（五）二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題參考答案三、例題分析：例1畫出不等式2 x +y-6 v 0表示的平面區(qū)域.解：先畫直線 2 x +y-6=0 （畫成虛線）.取原點（0, 0），代入 2x+y-6, / 2X 0+0-6=-6 v 0,原點在2 x + y-6v 0表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式 2x + y-6v 0表示的區(qū)域如圖：點（-2,

10、t）在直線2x-3y+6=0的上方,則t的取值范圍是_(t2/3).x - y + 5 KO畫出不等式組 丿x + y A 0 表示的平面區(qū)域.x蘭3解：不等式 x-y+5 0表示直線 x -y+5=0上及右下方的點的集合，x +y 0表示直線x+y=O上及右上方的點的集合， xw 3表示直線x=3上及左方的點的集合不等式組表示平面區(qū) 域即為圖示的三角形區(qū)域：x -4y 蘭-3例2設(shè)x,y滿足約束條件：3x 5y乞25 ,x _1分別求(1) z =6x 10y ；( 2) z =2x -y ；( 3) z =2x- y ( x, y 是整數(shù))；(4)y2 ； (5八吩的最大值與最小值。求得

11、A(5,2)、22呵、C(1,J解：(1)先作可行域，如下圖所示中.ABC的區(qū)域，且作出直線l0 :6x 100，再將直線I。平移，當(dāng)I。的平行線I1過點 B時，可使 z=6x，10y達到最小值；當(dāng)1的平行線丨2過點 A時，可使z =6x 10y達到最大值。故 Zmin =6 1 10 1 =16, zmax =6 5 10 2 = 50(2)同上，作出直線1 :2x- y =0，再將直線I0平移，當(dāng)I0的平行線I1過點C時，可使z=2x-y達到最小值；當(dāng)I0的平行線I2過點A時，可使z = 2x - y達到最大值。則 Zmin125zmax=8(3)同上，作出直線|:2x-y=0，再將直線I

12、0平移，當(dāng)I0的平行線丨2過點A時，可使z = 2x - y達到最大值，zmax = 822當(dāng)I0的平行線I1過點C時，可使z=2x-y達到最小值，但由于不是整數(shù)，點522C(心)5不是最優(yōu)解，當(dāng)I0過可行域內(nèi)的點(1,4)時，可使z=2x-y達到最小值，Zmin - _2(4)表示區(qū)域內(nèi)的點(x,y)到原點的距離的平方。貝U(x,y)落在點B(1,1)時，最小,(x, y)落在點 A(5,2)時， 最大，故min =2 , max = 25 4 = 29(5)表示區(qū)域內(nèi)的點(x,y)與點D(_1,0)連線的斜率。則(x,y)落在點A(5,2)時，最, 22 1 11小，(x,y)洛在點C(1

13、,)時，最大，故min ，max535例3.甲乙兩個糧庫要向 A、B兩鎮(zhèn)運送大 M，已知甲庫可調(diào)出 100噸大M，乙?guī)炜烧{(diào)出80噸大M, A鎮(zhèn)需70噸大M, B鎮(zhèn)需110噸大M,兩庫到兩鎮(zhèn)的路程和運費如下表：路程/km運費(元.t km-1)甲庫乙?guī)旒讕煲規(guī)霢鎮(zhèn)20151212B鎮(zhèn)2520108(1) 這兩個糧庫各運往 A、B兩鎮(zhèn)多少噸大 M ?才能使總運費最省？此時總運費是多少？(2) 最不合理的調(diào)運方案是什么？它使國家造成的損失是多少？例3 .解：設(shè)甲糧庫向 A鎮(zhèn)運送大Mx噸，向B鎮(zhèn)運送大My噸，總運費為z元，則乙糧庫向A鎮(zhèn)運送大M(700 -X)噸，向B鎮(zhèn)運送大M(110-y)噸，目標(biāo)函

14、數(shù)是z=12 20x 25 10y 15 12 (700 -x) 20 8 (110 - y) = 60x 90 y 30200”x + y 蘭100x + y K100 彳y0空x乞70y-0x + y 蘭100其中線性約束條件是:(700 x) +(110 y)蘭80 0乞x乞70y-可行域如右圖。當(dāng) x =70, y =30時，總運費最省 zmax =37100元當(dāng)x =0, y =100時，總運費最不合理 zmin =39200元。答：甲糧庫要向 A鎮(zhèn)運送大M70噸，向B鎮(zhèn)運送大M30噸，乙糧庫要向A鎮(zhèn)運送大M0噸，向B鎮(zhèn)運送大 M80噸，此時總運費最省，為37100元。最不合理的調(diào)動

15、方案是甲糧庫要向A鎮(zhèn)運送大M0噸，向B鎮(zhèn)運送大 M100噸，乙糧庫要向 A鎮(zhèn)運送大 M70噸，向B鎮(zhèn)運送大 M10噸，此時總運費為 39200元，使國家造成損失2100 元。例4.預(yù)算用2000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的總數(shù)盡可能的 多。但椅子數(shù)不能少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍。問桌子、椅子各買多少才合適？解：設(shè)桌子、椅子分別買X, y張，共買z = x y張，依題意，得x蘭yy 5x50x 2012000x,y N可行域如圖。x = y50x +20y =2000200x =7,即 a(200,200)20077y =1.5x50x +20y =2000x

16、 =25得 75，75 即 B(25,75)2B 時，即 x=25，由z = x y，即直線y二_x z平移得知，當(dāng)直線過點最大。由于y N，故y =37答：買25張桌子、37張椅子時是最優(yōu)選擇。四、練習(xí)題：一、選擇題：1.D.2. B.3.C. 4. B .5.B .6. C .7 .A . 8. B . 9 . D. 10. C.二、填空題：11. a=; 12 . _10個；13 . 500元.14 . _3_15. _V2_,_Vi0_.解讀：7.雙曲線x2 -y2 =4的兩條漸近線方程為 y，與直線x二3圍成一個三角形區(qū)域時有x - y 一 0x y -0。0空x乞3x + v= s

17、 x=4s9.由丿 y n交點為 A(0,2),B(4s,2s 4),C(0,s),C(0,4),y +2x =4y =2s -4(1 )當(dāng)3乞S ： 4時可行域是四邊形 OABC，此時，7乞z乞8(2 )當(dāng)4乞S乞5時可行域是 OA C 此時，zmax = 8故選D.10 .解選C。由A1,3、B 5,2、C 3,1的坐標(biāo)位置知，厶ABC所在的區(qū)域在第一象限，故1z1x 0, y 0。由z二xmy得yx，它表示斜率為-一。mmm(1 )若m 0 ,則要使 x my取得最小值，必須使最小，此時需m1,1 3kAC，即 m = 1;(2 )若m ： 0 ,則要使z = x my取得最小值，必須使

18、最小，此時需m11 _ 2kBC，即 m = 2，與 m ： 0 矛盾。m3 -5綜上可知，m = 1。13解：設(shè)需35千克x袋，24千克y袋，則目標(biāo)函數(shù)z =140x 120y元，約束條件為35x+24yX106，當(dāng) 時，丫二耳，即旳=3，這時 Zmin =140 + 120x3 = 500 x, y 運 N24三、解答題：16.某廠生產(chǎn) A與B兩種產(chǎn)品，每公斤的產(chǎn)值分別為600元與400元又知每生產(chǎn)1公斤A產(chǎn)品需要電力2千瓦、煤4噸；而生產(chǎn)1公斤B產(chǎn)品需要電力3千瓦、煤2噸但該廠的電力供 應(yīng)不得超過100千瓦，煤最多只有120噸問如何安排生產(chǎn)計劃以取得最大產(chǎn)值？2x+3y 蘭 10016解:設(shè)生產(chǎn)A與B兩種產(chǎn)品分別為x公斤，y公斤，總產(chǎn)值為 Z元。則0, 0且 z = 600x 400y作可行域：作直線1: 600x+400y=0 ,即直線1: 3x+2y=0，把直線I向右上方 平移至I1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點A，且與原點距離最大，此時z=600x+400y取最大值解方程組2x+3y=100一丿，得A的坐標(biāo)為x=20 , y=202x + y = 60答：生產(chǎn)A產(chǎn)品20公斤、B產(chǎn)品20公斤才能才能使產(chǎn)值最大。17 某運輸隊公司接受了向抗洪搶險地區(qū)每天至少運送180t支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重量為6t的A型卡車與4輛載重量為10t的B型卡