2015年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

1、2015 年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8 小題，每小題5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（ 5 分）（ 2015?浙江）已知集合 P=x|x 2 2x3 ， Q=x|2 x 4 ，則 PQ=（）A 3， 4）B （ 2， 3C （ 1， 2）D （ 1， 3考點 ：交集及其運算專題 ：集合分析：求出集合 P，然后求解交集即可解答：解：集合 P=x|x2 2x3=x|x 1 或 x3 ，Q=x|2 x 4 ，則 PQ=x|3 x 4=3 ， 4）故選： A 點評：本題考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查計算能

2、力2（ 5 分）（ 2015?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位： cm），則該幾何體的體積是（）A 8cm3B 12cm3CD考點 ：由三視圖求面積、體積專題 ：空間位置關(guān)系與距離分析：判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求幾何體的體積即可解答：解：由三視圖可知幾何體是下部為棱長為 2 的正方體，上部是底面為邊長 2 的正方形奧為 2 的正四棱錐，所求幾何體的體積為：23+222=故選： C點評：本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系的判斷，幾何體的體積的求法，考查計算能力13（ 5 分）（ 2015?浙江）設(shè)a，b 是實數(shù)，則 “a+b 0”是“ab 0”的（）A 充 分不必要條件B 必要不充分條

3、件C 充分必要條件D 既 不充分也不必要條件考點 ：必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題 ：簡易邏輯分析：利用特例集合充要條件的判斷方法，判斷正確選項即可解答：解： a，b 是實數(shù)，如果a= 1， b=2 則“a+b0”，則 “ab 0”不成立如果 a=1， b=2， ab 0，但是 a+b 0 不成立，所以設(shè) a， b 是實數(shù)，則 “a+b 0”是 “ab 0”的既不充分也不必要條件故選： D 點評：本題考查充要條件的判斷與應(yīng)用，基本知識的考查4（ 5 分）（2015?浙江）設(shè) ，是兩個不同的平面，l，m 是兩條不同的直線，且 l? ，m? ，（）A 若 l ，則 B 若 ，則 l m C

4、 若 l ，則 D 若 ，則 l m考點 ：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系專題 ：綜合題；空間位置關(guān)系與距離分析：A 根據(jù)線面垂直的判定定理得出A 正確；B 根據(jù)面面垂直的性質(zhì)判斷B 錯誤；C 根據(jù)面面平行的判斷定理得出C 錯誤；D 根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D 錯誤解答：解：對于 A ， l ，且 l? ，根據(jù)線面垂直的判定定理，得， A 正確；對于 B，當(dāng) ，l? ， m? 時， l 與 m 可能平行，也可能垂直，B 錯誤；對于 C，當(dāng) l ，且 l? 時， 與 可能平行，也可能相交， C 錯誤；對于 D，當(dāng) ，且 l? ， m? 時， l 與 m 可能平行，也可能異面， D 錯誤故選： A

5、點評：本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)符號語言的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目5（ 5 分）（ 2015?浙江）函數(shù)f（ x）=（ x）cosx（ x且 x0）的圖象可能為（）A BCD考點 ：函數(shù)的圖象專題 ：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由條件可得函數(shù) f （x）為奇函數(shù)，故它的圖象關(guān)于原點對稱；再根據(jù)在（ 0，1）上， f （ x） 0，結(jié)合所給的選項，得出結(jié)論2解答：解：對于函數(shù)f（ x）=（ x） cosx（ x且 x0），由于它的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足 f （ x） =（ x） cosx= f（ x），故函數(shù)f （x）為奇函數(shù)，故它的圖象關(guān)于原點對稱故排除 A 、B 再根

6、據(jù)在（ 0， 1）上， x，cosx 0， f（ x）=（ x） cosx 0，故排除C，故選： D 點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，奇函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題6（ 5 分）（2015?浙江）有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同已知三個房間的粉刷面積（單位：m2）分別為x，y， z，且 x yz，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/m 2）分別為a，b， c，且 ab c在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是（）A ax+by+czB az+by+cxC ay+bz+cxD ay+bx+cz考點 ：函數(shù)的最值及其幾何意義專

7、題 ：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：作差法逐個選項比較大小可得解答：解： x y z 且 a b c， ax+by+cz （ az+by+cx ）=a（ x z） +c（ z x）=（ x z）（ a c） 0， ax+by+cz az+by+cx ；同理 ay+bz+cx （ ay+bx+cz ）=b （ z x） +c（ xz）=（ z x）（ b c） 0， ay+bz+cx ay+bx+cz ；同理 az+by+cx （ ay+bz+cx ）=a（ z y） +b（ y z）=（ z y）（ a b） 0， az+by+cx ay+bz+cx ， 最低費用為 az+by+cx故選： B點評：本

8、題考查函數(shù)的最值，涉及作差法比較不等式的大小，屬中檔題7（ 5 分）（ 2015?浙江）如圖，斜線段AB 與平面 所成的角為60， B 為斜足，平面上的動點 P 滿足 PAB=30 ，則點 P 的軌跡是（）3A 直 線B 拋物線C 橢圓D 雙曲線的一支考點 ：圓錐曲線的軌跡問題專題 ：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：根據(jù)題意， PAB=30 為定值，可得點P 的軌跡為一以AB 為軸線的圓錐側(cè)面與平面的交線，則答案可求解答：解：用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線此題中平面 上的動點 P 滿足 PAB=30 ，可理解為 P

9、在以 AB 為軸的圓錐的側(cè)面上，再由斜線段 AB 與平面 所成的角為 60，可知 P 的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義故可知動點 P 的軌跡是橢圓故選： C點評：本題考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)8（ 5 分）（ 2015?浙江）設(shè)實數(shù) A 若 t 確定，則 b2 唯一確定C 若 t 確定，則sin唯一確定a， b， t 滿足 |a+1|=|sinb|=t（a2）B 若 t 確定，則+2a 唯一確定D 若 t 確定，則a2+a 唯一確定考點 ：四種命題專題 ：開放型；簡易邏輯分析：根據(jù)代數(shù)式得出a2+2a=t2 1， sin2b=t 2，運用條件，結(jié)合三角函數(shù)可判斷答案解答：

10、解： 實數(shù) a， b，t 滿足 |a+1|=t，22 （ a+1） =t ，a2+2a=t 2 1，2t 確定，則t 1 為定值sin2b=t 2，A ，C 不正確，2 若 t 確定，則a +2a 唯一確定，點評：本題考查了命題的判斷真假，屬于容易題，關(guān)鍵是得出a2+2a=t 2 1，即可判斷二、填空題（本大題共7 小題，多空題每題6 分，單空題每題4 分，共 36 分）9（ 6 分）（ 2015?浙江）計算： log 2=， 2=考點 ：對數(shù)的運算性質(zhì)專題 ：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：直接利用對數(shù)運算法則化簡求值即可4解答：解： log2=log 2=；2=3 故答案為：；點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運

11、算法則的應(yīng)用，基本知識的考查10（ 6 分）（ 2015?浙江）已知 a n 是等差數(shù)列，公差d 不為零，若 a2， a3， a7 成等比數(shù)列，且 2a1 21， d= 1 +a =1，則 a =考點 ：等比數(shù)列的性質(zhì)專題 ：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：運用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，計算可得d= a1，再由條件2a1+a2=1，運用等差數(shù)列的通項公式計算即可得到首項和公差解答：解：由 a2， a3， a7 成等比數(shù)列，則 a322 7=a a ，即有（ a1+2d ） 2=（ a1+d）（ a1+6d），即 2d21+3a d=0，由公差 d 不為零，則 d= a1，又 2a1+a2

12、=1，即有 2a1+a1+d=1 ，即 3a1 a1=1 ，解得 a1= ， d= 1故答案為：， 1點評：本題考查等差數(shù)列首項和公差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用11（6 分）（ 2015?浙江）函數(shù)2的最小正周期是 ，最小值是f（ x）=sin x+sinxcosx+1考點 ：二倍角的余弦；三角函數(shù)的最值專題 ：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)5分析：由三角函數(shù)恒等變換化簡解析式可得f（ x） =sin（ 2x） +，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得最小正周期，最小值解答：解： f（x） =sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1= sin（ 2x

13、） + 最小正周期T=，最小值為：故答案為： ，點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查12（6 分）（ 2015?浙江）已知函數(shù)f（ x） =，則 f（ f（ 2）=，f （ x）的最小值是2 6考點 ：函數(shù)的最值及其幾何意義專題 ：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由分段函數(shù)的特點易得f （ f（ 2） =的值；分別由二次函數(shù)和基本不等式可得各段的最小值，比較可得解答：解：由題意可得f （ 2） =（ 2） 2=4， f（ f （ 2） =f （ 4） =4+ 6= ； 當(dāng) x1 時， f （ x） =x 2，由二次函數(shù)可知當(dāng)x=0 時，函數(shù)取最小值0

14、；當(dāng) x 1 時， f（ x） =x+ 6，由基本不等式可得f（ x） =x+ 62 6=2 6，當(dāng)且僅當(dāng) x= 即 x=時取到等號，即此時函數(shù)取最小值2 6； 2 6 0， f（ x）的最小值為2 6故答案為：； 2 6點評：本題考查函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，屬中檔題613（ 4 分）（ 2015?浙江）已知1，2 是平面向量，且1?2=，若平衡向量滿足?1=?=1，則 | |=考點 ：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律專題 ：平面向量及應(yīng)用分析：根據(jù)數(shù)量積得出1， 2 夾角為 60，1= ，2=30 ，運用數(shù)量積的定義判斷求解即可解答：解： 12是平面單位向量，且12，?=

15、1， 2 夾角為 60， 平衡向量滿足?1=?=1與1，2 夾角相等，且為銳角，應(yīng)該在1，2 夾角的平分線上，即，1 =，2 =30，|1cos30=1， | |=故答案為：點評：本題簡單的考查了平面向量的運算，數(shù)量積的定義，幾何圖形的運用，屬于容易題，關(guān)鍵是判斷夾角即可14（ 4 分）（ 2015?浙江）已知實數(shù)x，y 滿足 x2+y 21，則 |2x+y 4|+|6 x3y|的最大值是15 考點 ：簡單線性規(guī)劃專題 ：開放型；不等式的解法及應(yīng)用分析：由題意可得2x+y 4 0，6 x 3y 0，去絕對值后得到目標(biāo)函數(shù)z= 3x 4y+10 ，然后結(jié)合圓心到直線的距離求得|2x+y 4|+|

16、6 x 3y|的最大值解答：解：如圖，7由 x2+y21，可得 2x+y 4 0，6 x3y 0，則 |2x+y 4|+|6 x 3y|= 2x y+4+6 x 3y= 3x4y+10 ，令 z= 3x 4y+10，得，如圖，要使 z=3x 4y+10 最大，則直線在 y 軸上的截距最小，由 z= 3x 4y+10，得 3x+4y+z 10=0則，即 z=15 或 z=5由題意可得z 的最大值為15故答案為： 15點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題15（ 4 分）（ 2015?浙江）橢圓+=1（ a b 0）的右焦點F（ c， 0）關(guān)

17、于直線y=x 的對稱點 Q 在橢圓上，則橢圓的離心率是考點 ：橢圓的簡單性質(zhì)專題 ：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：設(shè)出 Q 的坐標(biāo)， 利用對稱知識， 集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系， 然后求解離心率即可8解答：解：設(shè) Q（ m， n），由題意可得，由 可得： m=， n=，代入 可得：，解得 e2（4e4 4e2+1 ）+4e2=1，62即 4e6 2e4+2e4 e2+2e21=0，242） =0可得（ 2e 1）（ 2e+e +1解得 e=故答案為：點評：本題考查橢圓的方程簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對稱知識以及計算能力三、解答題：本大題共5 小題，共74 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程

18、或演算步驟。16（ 14 分）（2015?浙江）在 ABC 中，內(nèi)角 A ，B ，C 所對的邊分別為a，b， c，已知 tan（ +A ） =2（ ）求的值；（ ）若 B=， a=3，求 ABC 的面積考點 ：二倍角的余弦；兩角和與差的正切函數(shù)專題 ：解三角形分析：（ ）由兩角和與差的正切函數(shù)公式及已知可得 tanA ，由倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可得解（ ）由 tanA= ，A （ 0，），可得 sinA ， cosA又由正弦定理可得b，由 sinC=sin（ A+B ）=sin （A+），可得 sinC，利用三角形面積公式即可得解解答：解：（ ）由 tan（+A ） =2可得 tanA

19、= ，9所以=（ ）由 tanA=， A （ 0， ），可得 sinA=， cosA=又由 a=3， B=及正弦定理，可得 b=3，由 sinC=sin （ A+B ） =sin （A+），可得 sinC=設(shè) ABC 的面積為 S，則 S= absinC=9點評：本題主要考查了三角函數(shù)及其變換、正弦定理和余弦定理等基本知識的應(yīng)用，同時考查了運算求解能力，屬于中檔題17（ 15 分）（ 2015?浙江）已知數(shù)列 a n 和 b n 滿足 a1=2， b1 =1， an+1=2an（nN* ）， b1+ b2 + b3+ bn=bn+1 1（nN *）（ ）求 an 與 bn；（ ）記數(shù)列 a n

20、bn 的前 n 項和為 Tn，求 Tn考點 ：數(shù)列的求和專題 ：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（ ）直接由 a1=2， an+1=2an，可得數(shù)列 a n 為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列 a n 的通項公式；再由 b1=1， b1+ b2+b3+bn=bn+1 1，取 n=1求得 b2=2，當(dāng) n2 時，得另一遞推式，作差得到，整理得數(shù)列 為常數(shù)列，由此可得 b n 的通項公式；（ ）求出，然后利用錯位相減法求數(shù)列a nbn 的前 n 項和為 Tn解答：解：（ ）由 a1=2，an+1=2an，得由題意知，當(dāng) n=1 時， b1=b2 1，故 b2=2，當(dāng) n2 時， b1+ b2+b3+

21、=bn 1，和原遞推式作差得，整理得：，；（ ）由（ ）知，因此10，兩式作差得：，（ nN * ）點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查數(shù)列求和等基本思想方法，以及推理論證能力，是中檔題18（ 15 分）（ 2015?浙江）如圖，在三棱柱 ABC A 1B1C1 中， BAC=90 ，AB=AC=2 ，A 1A=4 ， A 1 在底面 ABC 的射影為 BC 的中點， D 是 B 1C1 的中點（ ）證明： A 1D 平面 A 1BC ；（ ）求直線 A 1B 和平面 BB 1C1C 所成的角的正弦值考點 ：直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定專題

22、：空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：（ I）連接 AO ，A 1D ，根據(jù)幾何體的性質(zhì)得出 A 1O A 1D ，A 1D BC ，利用直線平面的垂直定理判斷（ II ）利用空間向量的垂直得出平面BB 1C1C 的法向量=（，0，1），|根據(jù)與數(shù)量積求解余弦值，即可得出直線A 11 1B 和平面 BB C C 所成的角的正弦值解答：證明：（I ） AB=AC=2 ，D 是 B 1C1 的中點 A1D B 1C1， BC B1C1， A1D BC， A1O面 ABC ，A 1D AO ， A1OAO ， A1OBC BCAO=O ， A 1O A 1D， A 1D BC A1D 平面 A 1BC1

23、1解：（ II ）建立坐標(biāo)系如圖 在三棱柱 ABC A 1B 1C1 中， BAC=90 ， AB=AC=2 ， A 1A=4 O（ 0， 0，0）， B（ 0， 0）， B1（，）， A 1（ 0， 0）即=（ 0，），=（ 0， 0），=（， 0，），設(shè)平面 BB 1C1C 的法向量為=（ x， y， z），即得出得出=（， 0， 1）， |=4， | |=， cos， =，可得出直線A1B 和平面 BB 1C1C 所成的角的正弦值為點評：本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，直線平面的垂直問題，空間向量的運用，空間想象能力，計算能力，屬于中檔題19（ 15 分）（ 2015?浙江）如圖，已知拋物線

24、12，圓 C222，過點 PC ： y= x：x +（y 1） =1（ t ，0）（ t 0）作不過原點 O 的直線 PA，PB 分別與拋物線 C1 和圓 C2 相切， A ，B 為切點（ ）求點 A ，B 的坐標(biāo)；（ ）求 PAB 的面積12注：直線與拋物線有且只有一個公共點， 且與拋物線的對稱軸不平行， 則稱該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點考點 ：直線與圓錐曲線的綜合問題專題 ：開放型；圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（ I）由直線PA 的斜率存在，設(shè)切線 PA 的方程為： y=k（ x t）（ k0），與拋物線方 200），由題意可知：點B 與 O 關(guān)于直線 PD 得出，可得，1），

25、設(shè) B（ x ，y解得 B 坐標(biāo)（ II ）由（ I）可得：（ t2 1） x 2ty+2t=0 ，可得點P 到直線 AB 的距離 d，又|AB|=即可得出SPAB=解答：解：（ I ）由直線PA 的斜率存在，設(shè)切線PA 的方程為： y=k （ x t）（ k0），聯(lián)立，化為 x2 4kx+4kt=0 ， =16k2 16kt=0 ，解得 k=t ， x=2t ， A （ 2t， t2）圓 C2 的圓心 D （ 0，1），設(shè) B （ x0， y0），由題意可知：點B 與 O 關(guān)于直線PD 得出，解得 B（ II ）由（ I）可得： kAB =，直線 AB 的方程為： y13t2=，化為（ t 2 1） x 2ty+2t=0 ， 點 P 到直線 AB 的距離 d=t，又 |AB|=t 2 SPAB=點評：本小