三年級(jí)奧數(shù).計(jì)算綜合.數(shù)陣圖與幻方

1、知識(shí)框架、數(shù)陣圖定義及分類： 定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖 . 數(shù)陣： 是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖 .數(shù)陣圖的種類繁多， 這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖： 即封閉型 數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖 .、解題方法：解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手： 第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn) （或方格 ）和關(guān)鍵點(diǎn) （或方格 ）； 第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn) （一般是交叉點(diǎn) ）上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系， 得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍； 第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試這個(gè)步驟并不是對(duì)所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對(duì) 數(shù)學(xué)方法

2、的綜合運(yùn)用、幻方起源： 幻方也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方幻方起源于我國，古 人還為它編撰了一些神話傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都 無濟(jì)于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會(huì)爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是 3 行，豎 著數(shù)是 3列，每塊烏龜殼上都有幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至 9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什么意思一次，大烏龜又從河里爬上來，一個(gè)看熱鬧的小孩驚叫起來： “瞧多有趣啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論 橫著加、豎著加還是斜著加，結(jié)果都等于十五！ ”于是人們趕緊把十五份祭品獻(xiàn)給河神，說來也怪， 河水果然從此不再泛濫了這個(gè)神奇的圖案

3、叫做 “幻方”，由于它有 3行 3列，所以叫做 “三階幻方 ”， 這個(gè)相等的和叫做 “幻和”“洛書”就是幻和為 15 的三階幻方如下圖：Page 1 of國北周時(shí)期的數(shù)學(xué)家甄鸞在算數(shù)記遺里有段注解： “九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央 ”這段文字說明了九個(gè)數(shù)字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的： “四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團(tuán)圓 ”幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)了解它們四、幻方定義：幻方是指橫行、豎列、對(duì)角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的 3 3

4、的數(shù)陣稱作三階幻方， 4 4 的數(shù)陣稱作四階幻方， 5 5的稱作五階幻方 如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣，81635749211514412679810115133216、解決這幻方常用的方法：適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連上出框時(shí)往下填，右出框時(shí)往左填排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣適用于三階幻方的三大法則有： 求幻和：所有數(shù)的和 行數(shù)(或列數(shù))求中心數(shù)：我們把幻方中對(duì)角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù) ”，中心數(shù)幻和 3 角上的數(shù) = 與它不同行、不同列、不同對(duì)角線的兩數(shù)和2六、數(shù)獨(dú)簡介：數(shù)獨(dú)前身為 “九宮格 ”，最早起源于中國。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了

5、洛書，其特點(diǎn)較之現(xiàn)在的數(shù)獨(dú)更為復(fù)雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個(gè)數(shù)字之和等于15，而非簡單的九個(gè)數(shù)字不能重復(fù)。中國古籍易經(jīng)中的 “九宮圖 ”也源于此，故稱 “洛書九宮圖 ”。而 “九宮 ”之名也因易經(jīng)在中華文化發(fā)展史上的重要地位而保存、沿用至今。拉丁方塊 ”( Latin Square )的游戲， 這個(gè)Page 2 of 141783 年， 瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德 歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時(shí)稱作游戲是一個(gè) n n的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n 個(gè)數(shù)字或者字母組成的。19 世紀(jì)70 年代，美國的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志戴爾鉛筆字謎和詞語游戲 （Dell Puzzle M g）z開ine始s刊 登現(xiàn)在

6、稱為 “數(shù)獨(dú)”的這種游戲，當(dāng)時(shí)人們稱之為 “數(shù)字拼圖 ”（ Number Place ），在這個(gè)時(shí)候， 99的 81 格數(shù)字游戲才開始成型。填充完整后 1984 年 4 月，在日本游戲雜志字謎通訊 Nikoil （通信 ）上出現(xiàn)了 “數(shù)獨(dú) ”游戲，提出了 “獨(dú)立的數(shù)字 ”的概念，意思就是 “這個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)一次 ”或者 “這個(gè)數(shù)字必須是唯一的 ”，并將這個(gè)游戲命名為 “數(shù)獨(dú) ”（ sudoku）。一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德 （ Wayne Gould）在 1997年3月到日本東京旅游時(shí)， 無意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國的泰晤士報(bào)上發(fā)表，不久其他報(bào)紙也發(fā)表，很快便風(fēng)靡全英國，之 后他用

7、了 6 年時(shí)間編寫了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個(gè)游戲很快在全世界流行。從此，這個(gè) 游戲開始風(fēng)靡全球。后來更因數(shù)獨(dú)的流行衍生了許多類似的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲，例如：數(shù)和、殺手?jǐn)?shù) 獨(dú)。中國大陸是在 2007年2月28日正式引入數(shù)獨(dú) . 2007年2月 28日，北京晚報(bào)智力休閑數(shù)獨(dú)俱樂部 （數(shù)獨(dú)聯(lián)盟 sudokufederation 前身 ） 在新聞大廈舉行加入世界謎題聯(lián)合會(huì)的頒證儀式，會(huì)上謎題聯(lián)合會(huì)秘書長皮特 -里米斯特和俱樂部會(huì)長在證書上簽字， 這標(biāo)志著北京晚報(bào)智力休閑俱樂部成為世界謎題聯(lián)合 會(huì)的 39 個(gè)成員之一，這也標(biāo)志著俱樂部走向國際舞臺(tái)，它將給數(shù)獨(dú)愛好者帶來更多與世界數(shù)獨(dú)愛好 者們交流

8、的機(jī)會(huì)。七、解題技巧：數(shù)獨(dú)游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個(gè)空格所在的三個(gè)單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一個(gè) 空格只位于兩個(gè)單元之內(nèi)，但是同時(shí)多了一個(gè)大小關(guān)系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍。 總結(jié) 4 個(gè)小技巧：1、巧選突破口：數(shù)獨(dú)中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規(guī)則的限制來 分析每一個(gè)空格的可選數(shù)字的個(gè)數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開始，一般來說，我們會(huì)選 擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而 大小數(shù)獨(dú)中已知的數(shù)字往往非常少，這個(gè)時(shí)候大小關(guān)系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外 更加需要考慮大小關(guān)系的限制。2、相對(duì)不確定法：

9、有的時(shí)候我們不能確定2 個(gè)方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯 定不會(huì)出現(xiàn)什么數(shù)字，這個(gè)就是我們說的相對(duì)不確定法。舉例說明，A1 可以填入 1 或者 2，A2也可以填入 1或者 2，那么我們可以確定， 1和 2必定出現(xiàn)在 A1和 A2兩者之中， A行其他位置 不可能出現(xiàn) 1 或者 2.Page 3 of 143、相對(duì)排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個(gè)空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個(gè)空格的可選 數(shù)字進(jìn)行對(duì)比分析來確定它們中的某一個(gè)或者幾個(gè)空格。 舉例說明， A行中已經(jīng)確定 5 個(gè)數(shù)字， 還有 4 個(gè)數(shù)字（我們假設(shè)是 1、2、3、4）沒有填入，通過這 4 個(gè)空格所在的其他單元我們知道 A

10、1可以填入 1 、2、 3、 4，A2 可以填入 1、3，A3 可以填入 1、2、3，A4可以填入 1、3，這個(gè) 時(shí)候我們可以分析， 數(shù)字 4 只能填入 A1 中，所以 A1 可以確定填入 4，我們就可以不用考慮 A1， 這樣就可以發(fā)現(xiàn) 2 只能填入 A3 中，所以 A3 也能確定， A2 和 A4 可以通過其他辦法進(jìn)行確定。4、假設(shè)法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進(jìn)行假設(shè)，當(dāng)然，假設(shè)也是原則的，我們不能 進(jìn)行無意義的假設(shè)，假設(shè)的原則是：如果通過假設(shè)一個(gè)空格的數(shù)字，可以確定和這個(gè)空格處在 同一個(gè)單元內(nèi)的其它某一個(gè)或者某幾個(gè)空格的數(shù)字， 那么我們就以選擇這樣的空格來假設(shè)為佳。 舉例說明，

11、B3可以填入 1或者2，A3可以填入 2或者 3， B4可以填入 1或者2，這個(gè)時(shí)候我們 就應(yīng)該假設(shè) B3填入 2，這樣就可以確定 A3 填入 3，B4填入 1，然后以這個(gè)為基礎(chǔ)進(jìn)行推理。例題精講、輻射型數(shù)陣圖例 1】 把1991，1992，1993，1994，1995分別填入圖 2的 5個(gè)方格中，使得橫排的三個(gè)方格中的數(shù)的和等于豎列的三個(gè)方格中的數(shù)的和。則中間方格中能填的數(shù)是 。鞏固】 將 15 五個(gè)數(shù)字，分別填入右圖的五個(gè)中，使橫、豎線上的三個(gè)數(shù)字和都是10。Page 4 of 14例 2】 請(qǐng)你把 17 這七個(gè)自然數(shù)，分別填在下圖（ 1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)的和都相等應(yīng)怎樣填？

12、鞏固】 將 17 七個(gè)數(shù)字，分別填入圖中的各個(gè)內(nèi)，使每條線上的三個(gè)數(shù)和相等。例 3】 將 1 11 十一個(gè)數(shù)字，填入下圖各 中，使每條線段上的數(shù)字和相等。Page 5 of 14鞏固】將 10 20填入左下圖的內(nèi)，其中 15 已填好，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都相等。、封閉型數(shù)陣?yán)?4】 把 2、3、4、5、6、7 六個(gè)數(shù)字，分別填入 中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。鞏固】 在如圖 6所示的內(nèi)填入不同的數(shù)，使得三條邊上的三個(gè)數(shù)的和都是 12，若 A、B、C 的和為18 ，則三個(gè)頂點(diǎn)上的三個(gè)數(shù)的和是 。Page 6 of 14例 5】 把 19 九個(gè)數(shù)字，分別填入下圖 中，使每邊上四個(gè)數(shù)的和

13、都是 21 。鞏固】 將1至 6這六個(gè)數(shù)字填入圖中的六個(gè)圓圈中（每個(gè)數(shù)字只能使用一次 ），使每條邊上的數(shù)字和相等那么，每條邊上的數(shù)字和是 三、復(fù)合型數(shù)陣圖【例 6】 右邊的一排方格中，除 9 、 8外，每個(gè)方格中的字都表示一個(gè)數(shù) （不同的字可以表示相同的數(shù) ），已 知其中任何 3個(gè)連續(xù)方格中的數(shù)相加起來都為22，則 “走”+“進(jìn)”+“數(shù)”+“學(xué)”+花“”+“園”=15，豎列任意三鞏 固】 請(qǐng)?jiān)谙聢D中每個(gè)方格中填一個(gè)數(shù)，使橫行任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是 18Page 7 of 1458例 7】 如圖所示，圓圈中分別填人 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)，且每個(gè)正方形頂點(diǎn)

14、上的四個(gè)數(shù)之和都是18，則中間兩個(gè)數(shù) A 與 B 的和是 。鞏固】將 1 8 這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的 中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。例 8】 把 1 8 的數(shù)填到下圖中，使每個(gè)四邊形中頂點(diǎn)的數(shù)字和相等。Page 8 of 14鞏固】 把 210 九個(gè)數(shù)字，分別填入下圖 中，使每條直線上的三個(gè)數(shù)和為15。鞏固】 將1 9填入下圖的 中，使得任意兩個(gè)相鄰的數(shù)之和都不是3，5 ， 7的倍數(shù)四、數(shù)陣圖與數(shù)論例 9】 把 0 9 這十個(gè)數(shù)字填到右圖的圓圈內(nèi)，使得五條線上的數(shù)字和構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，而且這個(gè)等種可能的取值差數(shù)列的各項(xiàng)之和為 55，那么這個(gè)等差數(shù)列的公差有五、數(shù)獨(dú)例 10】在下圖中的

15、每個(gè) 填入一位適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使每一行、每一列、每一宮中包含數(shù)字1 到 4，并且每Page 9 of 14個(gè)數(shù)字只出現(xiàn)一次。鞏固】 如圖 4 4方格被分成了五塊；請(qǐng)你在每格中填入l、2、3、4 中的一個(gè)，使得每行、每列的四個(gè)數(shù)各不相同，且每塊上所填數(shù)的和都相等。則A 、 B 、C、D 四處所填數(shù)字之和是ABDC六、幻方例 11】 3 3 的正方形中，在每個(gè)格子里分別填入 1 9 的 9 個(gè)數(shù)字，要求每行每列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和相等（請(qǐng)給出至少一種填法）鞏固】 3 3的正方形格子中， 在每個(gè)格子里分別填入 210 的 9個(gè)數(shù)字，要求每行每列及對(duì)角線上的三 個(gè)數(shù)的和相等（請(qǐng)給出至少一種填法） 例 1

16、2】 在 圖的九個(gè)方格里，每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等，則N=Page 10 of 148N61612鞏 固】 在 下面兩幅圖的每個(gè)空格中，填入 7 個(gè)自然數(shù)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和等 于 218484課堂檢測(cè)隨練 1】 將 1 9 九個(gè)數(shù)字，填入下圖各10。Page 11 of 14隨練 2】 將 17 這七個(gè)自然數(shù)填入左下圖的七個(gè) 內(nèi)，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于隨練 3】 將 1 8 八個(gè)數(shù)字，分別填入下圖 中，使每個(gè)面的四個(gè)數(shù)和相等。隨練 4】 如圖，請(qǐng)將 1 個(gè) 1，2 個(gè) 2，3 個(gè) 3，7個(gè) 7，8個(gè) 8填入 66 的表格中，使得相同的數(shù)所在的方格都連在一起 （相連的兩個(gè)方格必須有公共邊） ；現(xiàn)在已經(jīng)給出了其中 8 個(gè)方格的數(shù)， 并且知道 A、B、C、D、E、F 各不相同，那么，六位數(shù) 是。9。作業(yè) 1】 把 15 這五個(gè)數(shù)分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數(shù)之和與豎列三數(shù)之和都等于Page 12 of 14作業(yè) 2】把 1 5 這五個(gè)數(shù)填入下頁左上圖中的里 （已填入 5），使兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等。作業(yè) 3】把 1 5 這五個(gè)數(shù)填入右圖中的 里，使每