1.5-1.6極限運算法則極限存在準則,兩個重要

1、第四節(jié)無窮小與無窮大 （一）無窮小 :無窮小的定義 如果函數(shù)ZU）當文（或VTOO）時的極限為零，那么稱 函數(shù)/（X）為當X-KT0（或rtoo）時的無窮小，記為 lim /（X）=0 （lim/（x） = 0）. 例如:因lim- = O,所以函數(shù)丄為當XTOC時的無窮小. XTS XX 注意：1無窮小是極限為零的函數(shù)，而不是很小很小的數(shù). 2 無窮小這個概念和極限過程有關(guān). 判斷正誤 sin X是無窮小; sin X是XTOO時的無窮小; 時的無窮小. 定理1在自變量的同一變化過程中，只兀）具有極限4的 充分必要條件是f （兀）=A + a,其中a是無窮小. 2 （-）無窮大 無窮大的定義

2、 如果當xfr。（或兀-00）時，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值!/U）【 無限增大，稱函數(shù)心）為或vToo）時的無窮尢記為 lim /（x）=Qo （或 lim f（x）=AoXf6 注：無窮大屬于極限不存在的情形. 如果lim 7*（兀）= 00,則稱直線x = x是函數(shù)=/（*）的 ” f 圖形的鉛直漸近線. 例如，直線*1是函數(shù)y = 丄的圖形的鉛直漸近線. X-1 無窮大與無窮小之間的關(guān)系 定理2在自變量的同一變化過程中，如果r（對為無窮大, 則詵為無窮?。环匆胰绻?U）為無窮小，且y（x）HO, /（兀） 則4為無窮大. /（X） 4 6 第一章函數(shù)與極限（三） 第五節(jié)極限運算法則 第六節(jié)極

3、限存在準則 兩個重要極限 第五節(jié)極限運算法則 :無窮小的性質(zhì) 性質(zhì)1 性質(zhì)2 有限個無窮小的和也是無窮小. 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. lim sinx = iJmCsinx*）= 0 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小. 有限個無窮小的乘積也是無窮小.（只證兩個的情形） 證明：設(shè) lim/(x) = 0, lim g(x) = O 片一總-V Ay V X - 尤0 4 時,右 /(X) s 8 V 對上述G 3Q,使得Ov兀一兀0 2時,冇g（K） W = minJpJ2,使得為Ovx-兀。m. fMg(x) i3 X -8F X -9 解(l)lim

4、(2x-x+l) = 21imx-Iimx + l=2. XTlXTlX-l _3_ Iim(x-3) 岀址=碗耳畤 x-3 (3) lim=- = 0. lim= oo. x-3 X + 25宀工2_9 10 E + 勺.iX +勺，則 lim P(x) = Pxq) 11 結(jié)論: 1 多項式的極限 若 P（兀）=4, +ax 2有理分式函數(shù)等（尸（兀）、0U）都是多項式）的極限 0（x） 當0（勺）工0時，1曲鵲=職 尤TX0 0（丄）Q（Xq） 當 e（xo）= 0 H-P（勺）H（）時，lim 舉=00 *-勺 Qf（x） 當Q（Xo）=P（X“）=O時，約去分子分母的公因式（X-X）

5、 例2求lim箸器嶺. x-co 7卅+50 3 解 先用工3去除分子及分母，然后取極限: 3+2 7衛(wèi)+50_3 1曲汽+?；十務(wù)1計詔 x-xo 7x3+503 x-xo 7 I 537 匚 例3求lim背七一!. K-oo Zxx- +j 解先用0去除分子及分母,然后取極限： 3_2_L 3x2-2 X-1 lim幹牛1= lim匚孑歹=0 x- 2% X +5XT8 n 1 丄 32 2一匚+豆 例4求吧需缶 3x-2x-l 解因為輒總塔 所以. lim 竺-嚴+5士 3x-2x- 一般地 lim XTS fo 吋+3如 +4“ Jq 00 gm +妬Xl1 +/7川 nm 復(fù)合函數(shù)的

6、極限運算法則 設(shè)復(fù)合函數(shù)y*(切在點心的某去心鄰域內(nèi)有定義.若 g(X)T心(兀0), /()f4(MTM0), n 存在心 0, Ie67(p6)時，冇g(x)H0,貝I lim fs(x)= lim f(u)=A. A：o W 0,找到相應(yīng)的5,便得、|x-xj V別寸, 0, 3 0, Fv w-wn vz/H寸，力 VW; u 囚為lim g(x) = %所以對上述的H 0, 3J, 0, X-Ah 使得o 兀一兀vq時，有g(shù)(_r)-如/ 耳“ = min%Q,則0 X X。vd時,6 xf3 X 3 所以I也J譽皿 第六節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限 :準則I 如果數(shù)列仇、bu及匕

7、滿足下列條件: 幾仝,0”（71=1,23 (2) lim 兒=a Jim j = a, rtconco 那么W存在，且limx“ = a. ms 17 例6求凹（殞亍殞h磚） 又 lim = lim I H 172+ 由準則I得 lim(+ F = H h 嚴)=1 z 厶2+1 dr+ 2Jz?+n 準則r 如果函數(shù)心)、g(x)及“(X)滿足下列條件: (1) gOr)9Cv)GCv), (2) lim 舟仗)=A, limCr)m4, 那么limyir)存在,且lim/(x). 4 Sin X 11 tn= I ktO ;v 證：當XE(O,幻時， AAOB勺而積V扇形AO濟KJ而積

8、AAO的而積 尹nx -X -tdnx 亦即 sinxx tanx (0 x 5) 兩邊同時除以 sinx 有 cosxsml (0 1 xj 0X 0 X sinx , 21 求lim型（記住該結(jié)論） X-M） X A-0 XXT（） X eosx = lim沁lim丄 N-0 X A-OCOSX p. . 1-cosx 求 Inn； 心0 xsinX Q1 -cosX 解 lim=lim 2 xsin X tto X sin 2 X 2 2sin2 =lim 2xsinXcos- z 2二 cos 2 2 2 注：一般地，若JCfx。時，函數(shù)卩f0,則有 曲空字年2= 1伽51哄0 = 1

9、. 0（*）e（X） 練一練: 恤畔12=恤鯉12 = _1 *4 X +X EtO x(x + 1) 注：一般地，若Xf幾時，函數(shù)卩f 0,則有 Hm呼字=Hm呼詁=1. HfTo 0（X）glU 0（X） :準則H 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 （1十丄）”單調(diào)有界，所以收斂. n Hm(l d) = e Sfl 24 準則n 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 把/1換成,得到 r xf 0 I X8 lim(l + 二)* = (或 lim(l + x)* =e) X 外大內(nèi)小內(nèi)外互倒 例3求下列極限 wT V 2x +1 ) (1) lima+ -)7； *T8 X 解原式=Iim(l +丄)亍7(7) X 33 = liin(l + ) JC 3 例3求下列極限 KT l2x + l ) (1) nm