15.2_線段的垂直平分線_能力培優(yōu)訓練

1、15.2線段的垂直平分線 專題一線段垂直平分線知識的應(yīng)用 1.如圖， ABC中，D為BC的中點, 求證：B巳CF EF. 2. ABC中，/ A=90 AB=ACD E、F分別在 AB AC BC上，且 ADAE CD為EF的中垂線，求證 BF=2AD 3.已知，如圖所示， DEL AB DF丄AC垂足分別為 E, F, DE=DF.求證：AD垂直平分 EF. 合作學習小組的兩位同學在證明以上結(jié)論時的過程如下： 學生甲：因為 DE=DF,所以點D在線段EF的垂直平分線上（？到一條線段兩個端點距 離相等的點，在這條線段的垂直平分線上），所以AD垂直平分EF. 學生乙：因為 DEL AB DFL

2、AC,所以在 Rt ADE和 Rt ADF中，DE=DF AD=AD ?所 以Rt ADE Rt ADF（HL）,所以AE=AF （全等三角形的對應(yīng)邊相等），所以 A點在線段EF 的垂直平分線上，又因為DE=DF,所以點D在線段EF的垂直平分線上，所以AD垂直平分EF. 分析兩位同學的證明過程，指出誰對誰錯，并說明錯誤的原因. 專題二 作圖與實際問題 4. 如圖，A B C三點表示三個鎮(zhèn)的地理位置，隨著鄉(xiāng)鎮(zhèn)工業(yè)的發(fā)展需要，現(xiàn)三鎮(zhèn)聯(lián)合 建造一所變電站，要求變電站到三鎮(zhèn)的距離相等 ，請你作出變電站的位置 （用P點表示），并 說明你的理由 5. A、B兩所學校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在直線

3、為x軸建立如圖所示的 (1) 一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點C,使C點到A B兩校的距 離相等，如果有？請用尺規(guī)作圖找出該點，保留作圖痕跡，不求該點坐標. (2) 若在公路邊建一游樂場 P,使游樂場到兩 校距離之和最小，通過作圖在圖中找出建游樂場P T 的位置，并求出它的坐標.片口勺 AC, 2) 6. 如圖所示，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，MN分別是位于公路 AB兩 側(cè)的村莊. (1) 設(shè)汽車行駛到公路 AB上點P的位置時，距離村莊 M最近，行駛到點 Q的位置時， ?距離村莊N最近，請在公路 AB上分別畫出P, Q的位置(保留作圖痕跡). (2) 當汽車從 A出發(fā)

4、向B行駛時，在公路 AB的哪一段上距離 M N兩村都越來越近？ 在哪一段上距村莊 N越來越近，而離村莊M越來越遠(分別用文字表述你的結(jié)果，？不必證 明)？ (3) 在公路AB上是否存在這樣一點 H,使汽車行駛到該點時， 與村莊M N?的距離相 等？如果存在，請在圖中 AB上畫出這一點(保留作圖痕跡，不必證明)；如果不存在，？ 請簡要說明理由. 【知識要點】 1. 垂直并且平分一條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線. 2. 線段的垂直平分線上的點與線段兩端點距離相等，與線段兩端點距離相等的點在這條 線段的垂直平分線上 3. 線段的垂直平分線可以看作到線段的兩個端點距離相等的所有點的集合 【溫馨提

5、示】 1. 某條線段的垂直平分線是直線,不是線段或射線. 2. 注意區(qū)分線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理 【方法技巧】 1. 在證明某條直線是一條線段的垂直平分線時，可證明該直線垂直且平分這條線段，即 根據(jù)定義證明，也可以證明直線上有不同的兩點到這條線段的兩個端點距離相等 2. 解與線段的垂直平分線有關(guān)的問題時，常先利用線段垂直平分線的性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化， 再結(jié)合其他知識解決問題. 參考答案 1. 證明：延長ED至M點，使DMED連接MC MF則F在線段EM的垂直平分線上， EF=FM 又T BD=CDDE=DM/ BDE：/ CDM BDECD( SAS , BE=CM 在厶 CFM中， C

6、F+CMMF - BBCFEF 2. 證明：連DE DF作DGL BC于G t DC為EF的中垂線， DE=DFCE=CF DCL EF / 1=/ 2. 又/ A=90， DAL Ac DGL BC DA=DG 又 DE=DF, Rt AD降 Rt GDF( HL)， GFAE 又 AEAD - AD=DG=GF / A=90, ABAC / B=45. 在厶 BDG/ B=45，T/ DGB90，/ BDG45. 11 DGBG - DG=BCGF - DG 丄 BF AD=丄 BF 即 BF=2AD. 22 3. 學生乙的證明過程正確； 學生甲的證明有錯誤. 學生甲在解題過程中， 過點D

7、的直線 有無數(shù)條，它們不都是EF的垂直平分線,所以在上述解題過程中， 僅僅由D在EF的垂直平 分線上就推得AD垂直平分EF是不正確的.產(chǎn)生錯誤的原因是對垂直平分線的判定定理理解 至少應(yīng)找出直線上的兩點在這條 不透，而實際上要判定一條直線是一條線段的垂直平分線, 線段的垂直平分線上，根據(jù)兩點確定一條直線解決問題. 4. 解：連接AB AC作AB和AC的垂直平分線,交點即為P點. 理由：連結(jié)PA PB PC / P點是邊AB AC的垂直平分線, PA=PB PB=PC 二 PA=PB=PC 5. (1)存在滿足條件的點 C,如圖所示. (2)作點A關(guān)于x軸對稱的點A(2, - 2)，連接AB,與x軸的交點即為所求的點 P.設(shè)AB所在直線的解析式為：y=kx+b, r j h 一朝厲助 0 - 把（ 2, - 2）和（7, 3）代入得：嚴 + 3 = 3 2k + h - 2 解得：* 1 y=x-4,當 y=0 時，x=4, （b = ”4 所以交點P的坐標為（4, 0）. 6. (1)作法：過點 M作AB