高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全圓錐曲線一、考點(diǎn)（限考）概要：1 、橢圓：（ 1）軌跡定義：定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距，且定長(zhǎng)2a 大于焦距2c。用集合表示為：；定義二：在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個(gè)常數(shù) e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線， 常數(shù) e 是離心率。用集合表示為：；（ 2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個(gè)。（ 3）參數(shù)方程：（ 為參數(shù)）；3 、雙曲線：（ 1）軌跡定義：定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，兩定點(diǎn)

2、是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距。用集合表示為：定義二：到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個(gè)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e 是離心率。用集合表示為：（ 2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個(gè)。4 、拋物線：（ 1）軌跡定義： 在平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線，定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線是準(zhǔn)線，定點(diǎn)與定直線間的距離叫焦參數(shù)p。用集合表示為：（ 2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：焦點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)與方程符號(hào)一致，與準(zhǔn)線方程的符號(hào)相反；標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的字母與對(duì)稱軸和準(zhǔn)線方程的字母一致；標(biāo)準(zhǔn)方程的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，有

3、別于一元二次函數(shù)的圖像；二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：1 、平面解析幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)：2、橢圓各參數(shù)間的關(guān)系請(qǐng)記熟“六點(diǎn)六線，一個(gè)三角形”，即六點(diǎn)：四個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)；六線：兩條準(zhǔn)線，長(zhǎng)軸短軸，焦點(diǎn)線和垂線PQ；三角形：焦點(diǎn)三角形。則橢圓的各性質(zhì)（除切線外）均可在這個(gè)圖中找到。3 、橢圓形狀與e 的關(guān)系：當(dāng)e0，c0，橢圓圓，直至成為極限位置的圓，則認(rèn)為圓是橢圓在 e=0 時(shí)的特例。 當(dāng) e1，ca橢圓變扁， 直至成為極限位置的線段此時(shí)也可認(rèn)為是橢圓在 e=1 時(shí)的特例。，4 、利用焦半徑公式計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：若斜率為k 的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則弦長(zhǎng)這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而

4、不求”的解題思想。5 、若過(guò)橢圓左（或右）焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB，則；6、結(jié)合下圖熟記雙曲線的：“四點(diǎn)八線，一個(gè)三角形”，即：四點(diǎn)：頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；八線：實(shí)軸、虛軸、準(zhǔn)線、漸進(jìn)線、焦點(diǎn)弦、垂線PQ。三角形：焦點(diǎn)三角形。7 、雙曲線形狀與e 的關(guān)系：，e 越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊。線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊。由此可知， 雙曲8、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為 b。9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸， 這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三常數(shù)a、 b、 c 中 a、 b 不同（互換） c 相同 , 它們共用一對(duì)漸近線。雙曲線

5、和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將 1 變?yōu)?1。10 、過(guò)雙曲線外一點(diǎn) P（ x,y ）的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：（ 1）P 點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；（ 2）P 點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；（ 3） P 在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；（ 4） P 為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；11 、結(jié)合圖形熟記拋物線：“兩點(diǎn)兩線，一個(gè)直角梯形”，即：兩點(diǎn)：頂點(diǎn)

6、和焦點(diǎn)；兩線：準(zhǔn)線、焦點(diǎn)弦；梯形：直角梯形ABCD。12、對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化計(jì)算；13、拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）為AB，且，則有如下結(jié)論：14 、過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線；15 、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法：即設(shè)為曲線上不同的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)， 則可得到弦中點(diǎn)與兩點(diǎn)間關(guān)系：16 、當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，即把直線方程代入曲線方程， 消元后， 用韋達(dá)定理求相關(guān)參數(shù) （即設(shè)而不求） ；二是點(diǎn)差法， 即設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后把交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程， 兩式相減后， 再求相

7、關(guān)參數(shù)。 在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件 0 是否成立。5、圓錐曲線：（ 1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點(diǎn)集：，其中F 為定點(diǎn)，d 為點(diǎn)P 到定直線的l距離，e為常數(shù)，如圖。（ 2）當(dāng) 0 e 1 時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡是橢圓；當(dāng)e 1 時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線；當(dāng) e=1 時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡是拋物線。（ 3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的、固有的性質(zhì)，不因?yàn)槲恢玫母淖兌淖儭６ㄐ裕航裹c(diǎn)在與準(zhǔn)線垂直的對(duì)稱軸上橢圓及雙曲線：中心為兩焦點(diǎn)中點(diǎn)，兩準(zhǔn)線關(guān)于中心對(duì)稱；橢圓及雙曲線關(guān)于長(zhǎng)軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸為軸對(duì)稱，關(guān)于中心為中心對(duì)稱；拋物線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心是原點(diǎn)。定量：（ 4）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及解析量（隨坐標(biāo)改變而變）以焦點(diǎn)在x 軸上的方程為例：6 、曲線與方程：（ 1）軌跡法求曲線方程的程序：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；設(shè)曲線上任一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)） M的坐標(biāo)為 (x,y) ；列出符合條件 p(M)