浙江專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章不等式第1節(jié)不等關(guān)系與不等式一元二次不等式及其解法習(xí)題含解析

1、第1節(jié)不等關(guān)系與不等式、一元二次不等式及其解法考試要求 1. 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景；2.會從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次 不等式，會設(shè)計(jì)求解的程序框圖.知識梳理1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法a b0? ab,(1)作差法 a b= 0? a= b,a bv0? avb；ab 1? ab (a R b0),(2)作商法丿ab= 1 ? a = b (a R b工0),ak 喬 1? avb (a R b0).2.不等式的性質(zhì)

2、(1)對稱性：a b? bv a；(2)傳遞性：ab, bc? ac；可加性：ab? a+ cb+ c； ab, cd? a+ cb+ d；(4)可乘性：ab, c0? acbc； ab0, cd0? acbd；可乘方：ab0? anbn(n N, n1)； 可開方：ab0?nT)(n N, n2).3.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式 = b 若不等式ax + bx+ cv 0的解集為(xi, X2)，則必有a 0.() 若方程ax2 + bx + c= 0( av 0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2 + bx+ c 0的解集為R.() 不等式ax2 + bx + c 0在R上恒成立的條件是 av 0

3、且4 = b2 4ac bc2? a b;反之，c= 0時(shí)，a b c2 bc2. 若方程ax2 + bx + c= 0( a0的解集為?. 當(dāng)a= b= 0, c 0時(shí)，不等式 ax2 + bx+ c 0 = 0 v 0二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c ( a 0)的圖象l一兀二次方程 ax + bx+ c = 0 ( a 0)的根有兩相異實(shí)根xi,X2( xi V X2)有兩相等實(shí)根 Xi= X2b2a沒有實(shí)數(shù)根ax2 + bx+ c 0(a 0)的解集x|x x2 或 x v xiR2ax + bx+ cv 0(a 0)的解集 x| xi V xv X2?常用結(jié)論與易錯(cuò)提醒1.對于不

4、等式ax2+ bx+ c0,求解時(shí)不要忘記討論a= 0時(shí)的情形.2當(dāng) b? ac bc .()答案 (1) X (2) V (3) X (4) X2.若 a b 0, cv dv 0，則一定有（a bA. - d ca bB.dv c22a bD.cv da bC.c da等式的性質(zhì)可知一d-解析 因?yàn)閏vdv0,所以0ed，兩邊同乘一1，得一d 20,又ab0,故由不c0.兩邊同乘1，得dvb.故選B.cde答案 B3當(dāng)x0時(shí)，若不等式x2 + ax+1 0恒成立，則a的最小值為（）A. 2B. 3C. 13D. 2解析 當(dāng) = a 4 0,即一2 0對任意x 0恒成立，當(dāng) a2 4 0,=

5、a2 4 0，則需a解得a2,所以使不等式 x2 + ax+1 0對任意x 0恒成立l2v 0的實(shí)數(shù)a的最小值是一2.答案 Ax 一 14.（2017 上海卷）不等式T1的解集為1 1解析111? 10? x0的解集為12,11，則 a=11 b二、 2ii I 2+3=-a解析 由題意知，方程 ax + bx+ 2= 0的兩根為xi=-, X2=，貝U231122X3=aa= 12,解得b=-2.答案 12- 26.(必修5P80A3改編)若關(guān)于x的一元二次方程X2(3 b a= a a+ 1 = a+ 0,二 ba,= c ba.(2)因?yàn)?a, b, c 為非負(fù)實(shí)數(shù)，且 a+ b+ c

6、= 1,貝U a+ b= 1 c, 0 c 0.即 m+ 6m 1 0,解得 n 3+ 2 ,2或 m baB. ac bC.cbaD.acb(2019 衢州二中二模)已知非負(fù)實(shí)數(shù)a, b, c滿足a+ b+ c= 1,則(c a)( c b)的取值 范圍為.2 2解析 (1) t c b= 4 4a + a = (2 a) 0,. c b.2 2 2又 b+ c = 6 4a + 3a , 2b= 2 + 2a , b= a + 1,2 2=| c- a| c- b| w c 2, x R,則p, q的大小關(guān)系是A. pqB.pqC.pb0,且ab= 1，則下列不等式成立的是()A.a+ v

7、 2ba log 2(a+ b)b1B. 石 log 2( a+ b) a+b1bC. a+ log 2(a+ b) 石1 bD.log 2(a+ b) a+石2,故p= a+= (a-2) + 22 + 2 = 4,當(dāng)且僅當(dāng)a= 3時(shí)取等號a 2a 22什2-2 1 -2因?yàn)閤2- 2一2,所以q=w= 4,當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時(shí)取等號，所以pq.令 a= 2, b= 則 a+1= 4, 2a=右 Iog2(a+ b) = log 2| (1 , 2)，則曇 log 2( a+ b) 答案(1)A(2)B考點(diǎn)二一元二次不等式的解法-多維探究角度1不含參的不等式【例2- 1】 求不等式一2x2

8、+ x+ 30的解集.2 2解 化2x + x + 30,、231) U |,+ ,解方程 2x x 3 = 0 得 xi= 1, X2= 2,不等式2x2 x 30的解集為（一g.即原不等式的解集為（一g, 1） U |,+ .角度2含參不等式【例2 2】解關(guān)于x的不等式ax2 22x ax(a R).解原不等式可化為2ax + (a 2)x 2 0.當(dāng)a= 0時(shí)，原不等式化為 x+ K 0，解得xw 1.當(dāng)a 0時(shí)，原不等式化為x 2 (x+1) 0,當(dāng)av 0時(shí)，原不等式化為x-2(x+1) w 0.當(dāng)-1,即 av 2 時(shí)，解得一 1wxw2;aa當(dāng)2= 1, 即卩a= 2時(shí)，解得x

9、= 1滿足題意; a2 2當(dāng)訐j即一 2-0時(shí)，不等式的解集為x|x或x- 1a當(dāng)一2v av 0時(shí)，不等式的解集為x 2 x- 1 a當(dāng)a=- 2時(shí)，不等式的解集為 1; 21當(dāng)av 2時(shí)，不等式的解集為 * Kx-，:規(guī)律方法討論：含有參數(shù)的不等式的求解， 往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對參數(shù)進(jìn)行分類(1) 若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可 對判別式進(jìn)行分類討論；(2) 若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零 的情形，以便確定解集的形式；(3) 其次對相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便正確寫出解集2 2

10、【訓(xùn)練2】 已知不等式x 2x 3v 0的解集為 A,不等式x + x 60的解集為B,不等式 x2 + ax+ bv 0的解集為AH B,貝U a+ b等于()A. 3B.1C. 1D.3解析 由題意得，A= x| 1 v xv 3 , B= x| 3vxv 2，所以 AH B= x| 1 v xv2，由 題意知，一1, 2為方程x2 + ax + b= 0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a= 1, b= 2,則 a+ b= 3.答案 A考點(diǎn)三一元二次不等式的恒成立問題-多維探究角度1在R上恒成立【例3 1】 若一元二次不等式2kx2 + kx 0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為8( )A

11、. ( 3, 0C. 3, 0B. 3, 0)D.( 3, 0)解析 2kx2 + kx 8 0對一切實(shí)數(shù)x都成立,2k 0,則必有fk2 4X 2kX 8 0,8解之得3 k 0.答案 D角度2在給定區(qū)間上恒成立【例 3 2( 一題多解)設(shè)函數(shù) f (x) = mX mx- 1( m 0)，若對于 x 1 , 3 , f (x) m+ 5恒成立，則m的取值范圍是.解析 要使f(x) m 5在1 , 3上恒成立，貝U mx mx+ m- 6 0,/r2 3即mx+ -m- 60在x 1 , 3上恒成立. 0時(shí)，g( x)在1 , 3上是增函數(shù)，所以g(x) max= g(3) = 7m- 6

12、0.6 6 所以 n 7,貝U 07.當(dāng)m 0時(shí)，g( x)在1 , 3上是減函數(shù)，所以g(x) max= g(1) = m- 6 0.所以m 6,所以m 0.綜上所述，m的取值范圍是mOv m 0, 2又因?yàn)閙(x -x + 1) - 6v 0，所以 mv6x2-x + 1.因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-6Ti621 2 3x - 2 + 4在1 , 3上的最小值為7,所以只需me6即可.因?yàn)閙 0,所以m的取值范圍是6m|0v me或 mv 0答案 m|0v mv號或mv 0 角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問題【例3 - 3】已知a - 1, 1時(shí)不等式2x + (a-4)x+ 4-2a0 恒成立，則x的

13、取值范圍A.( s, 2) U (3 ,+s )C.( -s, 1) U (3 ,+s )B.( -s, 1) U (2 ,+s )D.(1 , 3)解析把不等式的左端看成關(guān)于a 的一次函數(shù)，記 f (a) = (x- 2) a+ x2-4x + 4,則由f (a) 0對于任意的a - 1, 1恒成立,所以 f( 1) = x2- 5x + 6 0,且f(1) = x2-3x+ 20即可，解不等式組x2 5x + 6 0,得 x v 1 或 x 3.x2 3x + 2 0,答案 C規(guī)律方法恒成立問題求解思路(1) 一元二次不等式在 R上恒成立確定參數(shù)的范圍時(shí)，結(jié)合一元二次方程，利用判別式來求解

14、(2) 元二次不等式在x a, b上恒成立確定參數(shù)范圍時(shí)，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，讓最小值大于等于0，從而求參數(shù)的范圍(3) 一元二次不等式對于參數(shù)m a, b恒成立確定x的范圍，要注意變換主元，一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)【訓(xùn)練3】(1)若不等式x2 2x+ 5 a2 3a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是( )A. 1 , 4B.( s, 2 U 5 ,+s )C.( s, 1 U 4 ,+s )D. 2, 5 已知函數(shù)f (x) = x + mx 1,若對于任意 x m m 1,都有f (x) v 0成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是.解析 由于

15、x2 2x+ 5 = (x 1)2+ 4的最小值為4 ,所以x2 2x + 5 a2 3a對任意實(shí)數(shù)x 恒成立，只需 a 3aw 4,解得1 w aw 4. 二次函數(shù)f (x)對于任意x m,1,都有f(x) v 0成立,f (n) = m2 m2-1 v 0 ,則f (m 1) = ( m+1) 2+ m(m+1) 1 v 0 ,解得子 m g( x)22解析 f (x) - g(x) = x - 2x + 2 = (x- 1) + 1 0? f (x) g( x).答案 B1 12. 已知下列四個(gè)條件： b 0a,0a b,a0 b,a b0,能推出首 b, ab0可得-V匚，、正確.又正

16、數(shù)大于負(fù)數(shù)，正確，a b錯(cuò)誤，故選C.答案 C3. 若集合 A= x|3 + 2x-x20，集合 B=x|2x2，則 An B等于（）A.(1 , 3)B.( -a, - 1)c.( -1, 1)D.( - 3, 1)解析依題意，可求得 A= ( - 1, 3) , B= ( a, 1) , An B= ( -1, 1).答案 C4. 若集合A= x| ax2- ax+ 1v 0 = ?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. a|0 v av 4B. a|0 w av 4C. a|0 v a 4D. a|0 w a得 0v aw 4，所以 0w aw 4.A =a2- 4a 0恒成立，則b的取值范圍是

17、()A. ( 1，0)B.(2 ,+s )C.( a, 1) U (2 ,+s )D.不能確定a解析 由f(1 x) = f (1 + x)知f (x)的圖象關(guān)于直線x = 1對稱，即2= 1,解得a= 2.又因?yàn)閒 (x)開口向下，所以當(dāng)x 1, 1時(shí)，f (x)為增函數(shù)，2 2所以f(x) min = f ( 1) = 1 2+ b b+ 1 = b b 2,2f (x) 0恒成立，即b b 20恒成立，解得bv 1或b2.答案 C6. 若實(shí)數(shù)a, b, c滿足對任意實(shí)數(shù) x, y有3x + 4y 5 ax+ by + cw 3x + 4y + 5,則()A. a+ b c的最小值為2B.

18、 a b+ c的最小值為一4C. a+ b c的最大值為4D. a b+ c的最大值為6解析 由題意可得5 ( a 3)x+ (b 4)y + c 0,7. 已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x) 3的解集為 .x2 + 2x, xv 0,解析由題意知X，或 XV，x2 + 2x 3 一 x2 + 2x 3,解得x 1.故原不等式的解集為x| x 1.答案x|x 18. 若關(guān)于x的不等式ax b的解集為 一汽 1，則關(guān)于x的不等式ax2 + bx善a 的解集為.解析由已知ax b的解集為1，可知a兩2 b 42邊同除以a，得x+ax-5 ，即x+ 1x 45的解集為一1,4.答案9. 不等式a2

19、+ 8b2入b（a+ b）對于任意的a,b R恒成立，則實(shí)數(shù)入的取值范圍為解析 因?yàn)閍2 + 8b2入b（a+ b）對于任意的a, b R恒成立，所以 a2+ 8b2入b（a + b） 對于任意的a, b R恒成立，即a2入ba+ （8 入）b2恒成立， 由二次不等式的性質(zhì)可得，2 2 2 2 2 =b + 4（入一8）b = b（入 + 4 入一32） ,所以（入+ 8）（入一4） 在（a, b）上恒成立， 則2a + b的最小值為 .解析 要使2a+ b取得最小值，盡量考慮 a, b取負(fù)值的情況.因此當(dāng)ab 等價(jià)于 2x + b, 即卩 b 2x 在（a, b）上恒成立，則 b 2a，與

20、b 矛盾；當(dāng)a等價(jià)于2x + b，即b 2x在（a, b）上恒 成立，則b 2a,即2a+ b,此時(shí)2a+ b的最小值為；當(dāng)w a. 綜上可知2a+ b的最小值為.答案 0三、解答題 211. 已知 f(x) =- 3x + a(6 -a)x+ 6.(1) 解關(guān)于a的不等式f (1) 0;若不等式f(x) b的解集為(一1, 3)，求實(shí)數(shù)a, b的值解 (1)由題意知 f(1) = 3 + a(6 a) + 6= a + 6a + 3 0,即 a 6a 3 v 0,解得 3 2 J 3 v a v 3 + 2雪3.所以不等式的解集為a|3 2 3v av 3+ 2 3.(2) / f (x)

21、b 的解集為(1, 3),2方程一3x + a(6 a)x + 6 b= 0 的兩根為一1, 3,(1)+ 3=a (6 a)3解得(1)x 3= a= 3土羽,J3= 3.即a的值為33, b的值為一3.12. 已知一1x+ y4且2x y3,求z= 2x 3y的取值范圍解 設(shè) z = 2x 3y= m(x + y) + n(x y),即 2x 3y= ( n+ n) x+ ( m- n) y,所以n= 2m-n= 3,n = _n 2,1 1由一1x+ y4 知一2 (x + y)2，由 2x y3 知 5荻y)15，15+得 3 2(x+ y) + 2(xy)8，即 3zb成立的充分而不

22、必要的條件是()A.ab+ 1B. ab 12. 23.3C.a bD.a b解析 A項(xiàng)：若ab+ 1，則必有ab,反之，當(dāng)a=2, b= 1時(shí)，滿足ab，但不能推出ab +1，故ab+ 1是ab成立的充分而不必要條件； B項(xiàng)：當(dāng)a= b= 1時(shí)，滿足ab 1，反之， 由ab 1不能推出ab； C項(xiàng)：當(dāng)a= 2, b= 1時(shí)，滿足a2b2,但ab不成立；D項(xiàng)：ab 是a3b3的充要條件，綜上所述答案選 A.答案 A14. ( 一題多解)已知函數(shù)f(x) = ax2 + bx+ c(a 0)，若不等式f (x)0的解集為x|x3為則f(ex)0(e是自然對數(shù)的底數(shù))的解集是()A. x| xln

23、 3B. x|ln 2 xIn 3C. x| xIn 3D. x| ln 2 xIn 3解析法依題意可得 f (x) = a x(x 3)( a0)，貝U f(ex) = a ex (ex 3)( a0，可得 e 3，解得ln 2 x0的解集為x| 2x3心令2ex3，得ln 2 x 0在R上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ;若在區(qū)間1 , 5上有解，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .解析 設(shè)f (x) = x2 + ax 2, f(x)的圖象開口向上, 2對任意a R, f(x)0在R上有解；由于 = a + 80恒成立，所以方程x2+ ax 2= 0恒有一正一負(fù)兩根，2f 23于是不等式x + ax 20在區(qū)間1 ,5上有解的充要條件是 f(5) 0,即a 5,.(23、答案 R 5，16.若關(guān)于x的不等式aw 4x2 3x + 4 2,則a, b是方程4f(x) = x的兩個(gè)實(shí)根，解得 a=3, b= 4，矛盾；84若b 2，貝U f (a) = b, f ( b) = a,兩式相減得 a+ b= 3,代入可得 a= b= 3,矛盾;若a2b,則f (x)min= 1,所以aw 1(否則在頂點(diǎn)處不滿足af (x),所以此時(shí)a2f (a)= 4,解得b= 4,由*解得a= 0.a0時(shí)，原不等式可以化為a(x 2) ix v 0,根據(jù)不等式的性質(zhì)，這個(gè)不等式等1時(shí)，2v a