三圓的切線的性質(zhì)及判定定理

1、三圓的切線的性質(zhì)及判定定理 對應(yīng)學(xué)生用書P25 1. 切線的性質(zhì) (1) 性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑. 如圖，已知 AB切O O于A點(diǎn)，貝U OA丄AB. (2) 推論1:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn). 推論2:經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心. 2. 圓的切線的判定方法 定義：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線. (2) 數(shù)量關(guān)系：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線. (3) 定理：過半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線是圓的切線. 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用數(shù)量關(guān)系來判定，而 (3)是用位置關(guān)系加以判定的. 說明在切線的判定定理中要分清定理的題設(shè)和結(jié)

2、論, 經(jīng)過半徑的外端”和垂直于這條半徑”這兩個(gè)條 件缺一不可，否則該直線就不是圓的切線. 對應(yīng)學(xué)生用書P25 圓的切線的性質(zhì) 徑，O 0切AB 連接0E構(gòu)造Rt E C 例1 如圖，已知/ C= 90點(diǎn)0在AC上，CD為O O的直 于E，若BC = 5, AC= 12求O 0的半徑. 思路點(diǎn)撥O0切AB于點(diǎn)E,由圓的切線的性質(zhì)，易聯(lián)想到 OAE ,再利用相似三角形的性質(zhì)，求出O0的半徑. 解連接0E, AB與O 0切于點(diǎn)E, 0E丄 AB,即/ 0EA = 90 / C = 90 / A =Z A, Rt ACB s Rt AE0, 0E= A0 BC AB. / BC= 5, AC = 12

3、,. AB = 13, 0E_ 12 OE 10 即。O的半徑為扌. 方法-規(guī)律小結(jié)J 利用圓的切線的性質(zhì)來證明或進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算有時(shí)需添加輔助線，其中連接圓心和切點(diǎn)的半徑是常用輔助 線，從而可以構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形邊角關(guān)系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解 1.如圖，AB切O 0于點(diǎn)B,延長A0交O 0于點(diǎn)C,連接BC.若/ A= 40 則/ C =( A. 20 D . 50 C. 40 解析：連接0B,因?yàn)锳B切O 0于點(diǎn)B,所以0B丄AB,即/ ABO = =50 90 所以/ A0B 又因?yàn)辄c(diǎn)C在A0的延長線上，且在O 0上, 1 所以/ C = 2/ A0B =

4、 25. 答案：B 2如圖，已知PAB是O 0的割線，AB為O 0的直徑.PC為O 0 點(diǎn)，BD丄 PC 于點(diǎn) D，交O 0 于點(diǎn) E, FA= A0 = 0B= 1. 求/ P的度數(shù); 求DE的長. 解：連接0C. C為切點(diǎn)， 0C丄PC, P0C為直角三角形. 0C = 0A= 1 , P0 = PA + A0 = 2, / 0C 1 - sin / P= F0= 2/ P= 30 的切線，C為切 / BD 丄 PD，在 Rt PBD 中， 由/P = 30 PB= FA+ A0 + 0B = 3, 得 BD = 3. 連接 AE.則/ AEB = 90 AE / PD. / EAB =Z

5、 P= 30 BE = ABsin 30 = 1, DE = BD - BE =1 2 IXL1 圓的切線的判定 例2 已知D是厶ABC的邊AC上的一點(diǎn)，AD : DC = 2 : 1,Z C= 45 / ADB = 60 求證: BCD的外接圓的切線. 4 除此以外，還有圓心到直線的距離等于半徑等判 思路點(diǎn)撥 連接OB, OC , OD t /BOD = 90 宀 ZOBC = ZOCB = 30 ZABO= 90 證明如圖，連接 OB, OC, OD , OD交BC于E. / DCB是BD所對的圓周角， / BOD是BD所對的圓心角， / BCD = 45 / BOD = 90 / ADB

6、是厶BCD的一個(gè)外角， / DBC = Z ADB-Z ACB =60 - 45 = 15 Z DOC = 2Z DBC = 30 從而Z BOC = 120 / OB= OC,.Z OBC=Z OCB = 30 在厶 OEC 中，因?yàn)閆 EOC = Z ECO= 30 OE= EC , 在厶 BOE 中，因?yàn)閆 BOE = 90 Z EBO = 30 BE= 2OE = 2EC , CE= CD = 1 BE DA 2， AB/ OD , / ABO= 90 故AB是厶BCD的外接圓的切線. 方法*規(guī)律小結(jié) 要證明某直線是圓的切線，主要是運(yùn)用切線的判定定理, 定方法，但有時(shí)需添加輔助線構(gòu)造判

7、定條件，其中過圓心作直線的垂線是常用輔助線. 3本例中，若將已知改為“/ABD =Z C”，怎樣證明：AB是厶BCD的外接圓的切線. 證明：作直徑BE,連接DE , / BE是O O的直徑， / BDE = 90 / E +Z DBE = 90 / C =Z E,Z ABD = Z C, / ABD + Z DBE = 90 即/ ABE = 90 AB是厶BCD的外接圓的切線. 1 4如圖， ABC內(nèi)接于O O,點(diǎn)D在OC的延長線上，sin B= 2，z D = 求證：AD是O O的切線. 若AC= 6，求AD的長. 解：證明：如圖，連接 OA, 1 / sin B= 一，B= 30 2 /

8、 AOC = 2/B，/ AOC = 60 / D = 30 / OAD = 180 / D-Z AOC = 90 AD是O O的切線. (2) / OA = OC，/ AOC = 60 AOC是等邊三角形， OA= AC= 6, / OAD = 90 / D = 30 AD = _3AO = 6 3. 圓的切線的性質(zhì)和判定的綜合考查 的延長線于E, O 例3如圖，AB為O O的直徑，D是BC的中點(diǎn)，DE丄AC交AC O的切線BF交AD的延長線于點(diǎn)F. 求證：DE是O O的切線； (2)若DE = 3, O O的半徑為5,求BF的長. 思路點(diǎn)撥連接OD，證明OD丄DE ; 作DG丄AB. 證明

9、連接OD , / D是BC中點(diǎn), / 1 = Z 2. / 0A= OD, / 2=Z 3. 1 = Z 3. OD / AE. / DE丄AE,. DE丄OD，即DE是O O的切線. (2)過D作DG丄AB, / 1 = Z 2, DG = DE = 3. 在 Rt ODG 中，OG=52-32= 4, - AG= 4+ 5 = 9. / DG 丄 AB, FB 丄 AB, DG / FB . ADGAFB. DG = AG bF = Ab. .39“10 -BF = 10. BF =亍 方法”規(guī)律卜結(jié) 對圓的切線的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點(diǎn)， 線的性質(zhì)來求解相關(guān)結(jié)果. 其解答思路常常是

10、先證明某直線是圓的切線，再利用切 5如圖，已知兩個(gè)同心圓 O,大圓的直徑 AB交小圓于C、D，大圓的 C, ED交小圓于G,若小圓的半徑為 2, EF = 4.3，試求EG的長. 解:連接GC,貝U GC丄ED. / EF和小圓切于C, 弦EF切小圓于 1 EF 丄 CD , EC =尹=2 ,3. 又 CD = 4，在 Rt ECD 中， 有 ED = EC2 + CD2 =2 3 2 + 42 = 2 , 7. 由射影定理可知 EC2= EG ED , ec!= 一(血2=也 ED 2.77 6.如圖，以 Rt ABC直角邊 AC上一點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的 A O O與AC的另 個(gè)交點(diǎn)為

11、 E, D為斜邊 AB上一點(diǎn)且在O O上，AD2= AEAC. 證明：AB是O O的切線； (2)若DE OB = 8,求O O的半徑. 解: (1)證明：連接 OD , CD , / AD2= AE AC, AE AC Ad 又/ DAE =Z DAC DAE CAD ,/ ADE = Z ACD. / OD = 0C,./ ACD = Z ODC , 又 CE是O 0的直徑， / ODE + Z CDO = 90 ODA = 90 AB是O O的切線. / AB, BC是O O的切線， OB丄 DC,. DE / OB，/ CED = Z COB , / EDC = Z OCB , CDE

12、BCO , DE - co CO,DE 0B=2r2=8, O O的半徑為2. 對應(yīng)學(xué)生用書 P27 、選擇題 1下列說法：與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線；垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；與圓心的距 離等于半徑的直線是圓的切線；過直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線是圓的切線.其中正確的有 A .B . C .D . 答案：C =6, BC= 8，貝U 2.如圖，AB是O O的直徑，BC是O O的切線，AC交O O于DAB BD等于() A . 4B . 4.8 C . 5.2D . 6 解析：/ AB是O O的直徑， BD丄AC. / BC是O O的切線， AB丄BC. / AB= 6, BC =

13、8,. AC= 10. BD = AB BC AC =4.8. 答案：B 3如圖，CD切O O于B, CO的延長線交O O于A,若/ C= 36 貝 ( ) ABD的度數(shù)是 A. 72 63 C. 54 36 解析：連接OB. / CD 為O O 的切線，/ OBC = 90. vZ C = 36BOC = 54. 又/ BOC = 2/ A ,/ A= 27 / ABD = / A+Z C= 27 + 36 = 63. 答案：B 4.如圖，在O O中，AB為直徑, AD為弦, C,若 AD= DC , 則sin / ACO等于( 的延長線交于 過B點(diǎn)的切線與AD C逅 C. 5 2 DW 解

14、析：連接 BD，貝U BD 丄 AC. / AD = DC, BA= BC, Z BCA = 45. BC是O O的切線，切點(diǎn)為 B, Z OBC = 90 OB OB 5 -sin Z BCO =, OC V5OB 5 BC 2OB 2需 cos Z BCO= OC 5OB 5 . sin Z ACO= sin(45 Z BCO) =sin 45 cos Z BCO cos 45 sin Z BCO 2,2 *5_2、/二 U0 X 252 答案：A 二、填空題 5.如圖，已知Z AOB = 30 M為OB邊上一點(diǎn)，以 M為圓心、 2為半徑作O M.若點(diǎn)M在OB邊上運(yùn)動(dòng), 則當(dāng)OM = 時(shí)，

15、O M與OA相切. 徑2. 解析：若O M與OA相切，則圓心M到直線OA的距離等于圓的半 過M作MN丄OA于點(diǎn)N , 則 MN = 2. 在 Rt MON 中，/ MON = 30 OM = 2MN = 2 X 2 = 4. 答案：4 6.已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為 A, FA= 2, AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB = 1則圓O 的半徑R=. 解析:AB = AP2- PB2= 3. 由 AB2= PB BC, BC= 3, Rt ABC 中， AC= AB2+ BC2= 2 3. R= ,3. 答案：3 7.圓O的直徑AB= 6, C為圓周上一點(diǎn)，BC = 3,過C作圓的切線

16、I，過A作I的垂線AD , AD分別與 直線I、圓交于點(diǎn) D、E,則/ DAC =, DC =. 解析：連接OC, / OC = OB,./ OCB=Z OBC. 又/ DCA + Z ACO = 90 / ACO+Z OCB = 90 / DCA = Z OCB , / OC = 3, BC = 3, OCB是正三角形. Z OBC = 60 即Z DCA = 60 Z DAC = 30 在 Rt ACB 中，AC = AB2- BC2 = 3 3, DC = ACsi n 30 Z D = 30 答案：30乎 三、解答題 8如圖所示，D是O O的直徑AB的延長線上一點(diǎn), 求證：PA = P

17、D. 證明：如圖，連接OP, PD是O O的 切線，P是切點(diǎn), TJ D PD是O O的切線，P為切點(diǎn). P0丄 PD. / D = 30 POD = 60 又 OA = OP, / A =Z APO= 30 /A =Z D. PA = PD. 9如圖，已知在 ABC中，AB= AC,以AB為直徑的O O交BC于D, 切線交AC于E. 求證：(1)DE丄AC ; (2)BD2= CE CA. 證明：（1）連接OD , AD. DE是O O的切線，D為切點(diǎn), OD 丄 DE. / AB是O O的直徑， AD 丄 BC.又 AB = AC, BD = DC. OD / AC. DE丄 AC. (2) / AD 丄 BC, DE 丄 AC, CDE CAD. CD. CD2= CE CA* BD = DC. BD2= CE CA. 足為E, DA平分 10.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于O O , BD是O O的直徑，AE丄CD，垂 / BDE. 求證：AE是O O的切線； 若/ DBC = 30 DE = 1 cm，求 BD 的長. 解：證明：連接OA. / DA 平分/ BDE , / BDA = Z EDA. / OA= OD, / ODA = Z OAD. / OAD = Z EDA. OA / CE. / AE丄 DE， /