1 角平分線的性質（經(jīng)典實用）

1、1 角平分線的性質 12.3角平分線的性質（一） 1 角平分線的性質 角平分線的定義： 從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成 相等的兩個角的射線叫做這個角的角 O B A C 平分線。平分線。 1 角平分線的性質 O B A C AOC =BOC AOB =2AOC =2BOC 1 角平分線的性質 不利用工具，請你將一張用紙不利用工具，請你將一張用紙 片做的角分成兩個相等的角。你有什片做的角分成兩個相等的角。你有什 么辦法？么辦法？ A O B C 活活 動動1 （對折對折） 1 角平分線的性質 1、如圖，是一個角平分儀，、如圖，是一個角平分儀， 其中其中AB=AD,BC=DC。 將點將點A放在角

2、的頂點放在角的頂點,AB和和AD 沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一畫一 條射線條射線AE,AE就是角平分線，就是角平分線， 你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎? 活活 動動2 A D B C E 如果前面活動中的紙片換成木板、如果前面活動中的紙片換成木板、 鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？ 1 角平分線的性質 p2、證明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對應邊相等）對應邊相等） AC平分平分DAB

3、（角平分線的定義）（角平分線的定義） A DB C E 1 角平分線的性質 B A D C 探究體驗探究體驗 1 角平分線的性質 作法: 以O為圓心,任意長為半徑作 弧,交OA于M,交OB于N. 分別以M,N為圓心,大于 的長為半徑作弧,兩弧在 AOB的內部交于點C. 作射線OC, 射線射線OC即為所求即為所求. 1 2 MN 0 溫馨提示溫馨提示: 作角平分線是最基本的作角平分線是最基本的 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢大家一定要掌握噢! 試一試試一試 由上面的探究可以得出作已知角的平分線的方法由上面的探究可以得出作已知角的平分線的方法 已知:AOB. 求作:AOB的平分線. 1 角平分

4、線的性質 將將 AOB對折對折,再折出一個直角三角形再折出一個直角三角形(使使 第一條折痕為斜邊第一條折痕為斜邊),然后展開然后展開,觀察兩次折觀察兩次折 疊形成的三條折痕疊形成的三條折痕,你能得到什么結論你能得到什么結論? O A B A O B E D 探究探究2-做一做做一做 1 角平分線的性質 已知：已知：OC是是AOB的平分線，點的平分線，點P在在OC上，上， PD OA ，PE OB，垂足分別是，垂足分別是D、E. 求證：求證：PD=PE. A O B P E D 證一證證一證 1 角平分線的性質 已知：已知：AOC= BOC ，點，點P在在OC上，上，PDOA于于D， PEOB于

5、于E 求證求證: PD=PE A O BE D P P C PDOAPDOA，PEOBPEOB 證明：證明： PDO= PEO= 90 在在PODPOD和和PEOPEO中中 PDO PEO（AAS） PDOPEO AOCBOC OP=OP PDPE 1 角平分線的性質 角平分線上的點到角的兩邊的距離相等角平分線上的點到角的兩邊的距離相等 你能用文字語言敘述一下發(fā)現(xiàn)的結論嗎？你能用文字語言敘述一下發(fā)現(xiàn)的結論嗎？ 說一說 A O B P E D PD OA ，PE OB OP平分平分AOB PD=PE. 用符號表示為：用符號表示為： 1 角平分線的性質 1 角平分線的性質 如圖，如圖，AD平分平分

6、BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這 個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。 AD C B BD CD （） 1 角平分線的性質 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這 個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。 A D C B BD CD （） 1 角平分線的性質 AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC 在角的平分線上的點到這個在角的平分線上的點到這個 角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。 A D C B 不必再證全等不

7、必再證全等 1 角平分線的性質 如圖，如圖， OC是是AOB的平分線，的平分線， 又又 _ PD=PE ( ) PDOA，PEOB B O A C D P E 角的平分線上的點角的平分線上的點 到角的兩邊的距離相等到角的兩邊的距離相等 1 角平分線的性質 思考：思考： 要在區(qū)建一個集貿市場，使它到公路，鐵要在區(qū)建一個集貿市場，使它到公路，鐵 路距離相等且離公路，鐵路的交叉處路距離相等且離公路，鐵路的交叉處 米，應建在何處？（比例尺米，應建在何處？（比例尺 1：20 000） 公路 鐵路 1 角平分線的性質 1 1 、 如 圖、 如 圖 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平

8、分 線的 平 分 線 , , 點點 P P 在在 O CO C 上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,則則 PE=_cm.PE=_cm. A D O B E P C 4 1 角平分線的性質 例例1:1:如圖，在如圖，在ABCABC中，中，C C90900 0，ADAD平分平分 BACBAC交交BCBC于點于點DD，若，若BCBC8,BD8,BD5 5，則點，則點 DD到到ABAB的距離為？的距離為？ A A C C D DB B E E E 1 角平分線的性質 例例2 2：如圖，：如圖，ABCABC的角平分線的角平分線BMB

9、M、CNCN相交相交 于點于點P P。求證：點。求證：點P P到三角形三邊的距離均相等。到三角形三邊的距離均相等。 A B C P E F G M N 1 角平分線的性質 例例3 3：在：在OABOAB中，中，OEOE是是 AOBAOB的角平分線，的角平分線， 且且EA=EBEA=EB，ECEC、EDED分別垂直分別垂直O(jiān)AOA，OBOB，垂足，垂足 為為C C，DD，求證：，求證：AC=BDAC=BD。 O O A AB BE E C CD D 1 角平分線的性質 合作交流合作交流 1 角平分線的性質 如圖：在如圖：在ABC中，中， C=90 AD是是BAC的平分的平分 線，線，DEAB于于

10、E，F(xiàn)在在AC上，上， BD=DF； 求證：求證：CF=EB A CD E B F 分析分析:要證要證CF=EB,首先我們想到的是要證它首先我們想到的是要證它 們所在的兩個三角形全等們所在的兩個三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個條件現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等),還需還需 要我們找什么條件要我們找什么條件 DC=DE (因為角的平分線的性質因為角的平分線的性質) 再用再用HL證明證明. 試試自己寫試試自己寫 證明。你一證明。你一 定行！定行！ 1 角平分線的性質 A A 0 0 B B M M N N P P C C 1 1、如圖，、如圖，OCOC平分平分AOB

11、AOB， PMOBPMOB于點于點MM， PNOAPNOA于點于點N N， POMPOM的面積為的面積為6 6，OM=6OM=6， 則則PN=_PN=_。2 1 角平分線的性質 2 2、如圖、如圖: :ABCABC中中, C=90, C=900 0，ADAD是是 BACBAC的平分線，的平分線，DEABDEAB于于E E，F(xiàn) F在在ACAC上，上， BD=DFBD=DF，求證：，求證：CF=EBCF=EB A A C C D D B B E E F 1 角平分線的性質 3 3、如圖，如圖，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=CBAC=CB， ADAD為為BACBAC的平分線，的平分線，

12、DEABDEAB于點于點E E。 求證：求證：DBEDBE的周長等于的周長等于ABAB。 A B C D E 1 角平分線的性質 B 思考：思考： 如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意 一點一點,問問PE=PD?為什么為什么? O A E D C P PD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角它們不是角 平分線上任一點這個角兩邊的距離平分線上任一點這個角兩邊的距離, 所以不一定相等所以不一定相等. 1 角平分線的性質 如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公 路圍成的一塊平地上修建一個度假村路圍成的一塊平地

13、上修建一個度假村. .要使這個度要使這個度 假村到三條公路的距離相等假村到三條公路的距離相等, ,應在何處修建？應在何處修建？ 1 角平分線的性質 練習練習1：如圖，如圖，的的的外角的平的外角的平 分線與分線與的外角的平分線相交于的外角的平分線相交于 點求證：點到三邊，點求證：點到三邊， 所在直線的距離相等所在直線的距離相等 F F G H 1 角平分線的性質 豐收樂園豐收樂園 1 角平分線的性質 這節(jié)課我們學習了哪些知識？這節(jié)課我們學習了哪些知識？ 1、“作已知角的平分線作已知角的平分線”的尺規(guī)作圖法；的尺規(guī)作圖法； 2、角的平分線的性質：、角的平分線的性質： 111角的平分線上的點到角的兩

14、邊的距離相等。角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。 OC是是AOB的平分線的平分線, 又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分線上的點角的平分線上的點 到角的兩邊距離相等到角的兩邊距離相等). E D O A B P C 幾何語言幾何語言: : 1 角平分線的性質 回味無窮回味無窮 w 定理（文字語言）定理（文字語言）: : 角平分線角平分線 上的點到這個角的兩邊的距離上的點到這個角的兩邊的距離 相等相等. . w 符號語言：符號語言： w 1 12 PDOA,PEOB(2 PDOA,PEOB( 已知）已知） w PD=PE(PD=PE(角平分線上的點到這角平分線上的點到這 個角的兩邊距離相等個角的兩邊距離相等).). w 用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. . O C B 1 A 2 P D E 1 角平分線的性質 練習練習2： 如圖,求作一點P,使PC=PD, 并且點P到AOB的兩邊的距離相等. C