小學(xué)奧數(shù)--排列組合教案

1、小學(xué)奧數(shù) -排列組合教案加法原理和乘法原理排列與組合 :熟悉排列與組合問題。 運用加法原理和乘法原理解決問題。在日常生活中我們經(jīng)常會遇到像下面這樣的兩類問題: 問題一：從 A 地到 B地，可以乘火車，也可以乘汽車或乘輪船。一天中，火車有4 班，汽車有3班，輪船有 2 班。那么從 A 地到 B 地共有多少種不同的走法？ 問題二：從甲村到乙村有兩條道路，從乙村去丙村有 3 條道路（如下圖） 。從甲村經(jīng)乙村去丙村，共有多少種不同的走法？解決上述兩類問題就是運用加法原理和乘法原理。加法原理 ：完成一件工作共有 N 類方法。在第一類方法中有 m1 種不同的方法，在第二類方法中有 m2 種不同的方法， ，

2、在第 N類方法中有 mn 種不同的方法，那么完成這件工作共有 N m1m2m3 mn 種不同方法。運用加法原理計數(shù)， 關(guān)鍵在于合理 分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù)； 兩類不同辦法中的具體方法， 互不相同 ( 即分類不重 ) ；完成此任務(wù)的任何一種方法， 都屬于某一類 ( 即分類不漏 ) 。合理分類也是運用加法原理解決問題的難點， 不同的問題， 分類的標(biāo)準(zhǔn)往往不同， 需要積累一定的解題經(jīng)驗。乘法原理 ：完成一件工作共需 N 個步驟：完成第一個步驟有 m1 種方法，完成第二個步驟有 m2 種方法， ，完成第 N 個步驟有 mn 種方法，那么，完成這件工作共有 m1

3、m2 mn 種方法。運用乘法原理計數(shù)， 關(guān)鍵在于合理 分步 。完成這件工作的N個步驟，各個步驟之間是相互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這 N 步才能完成此工作； 各步計數(shù)相互獨立； 只要有一步中所采取的方法不同， 則對應(yīng)的完成此工作的方法也不同。這兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)， 與教材聯(lián)系緊密（如四下搭配的規(guī)律），教學(xué)時要先通過生活中淺顯的實例，如購物問題、行程問題、搭配問題等，幫助孩子理解兩個原理，再讓孩子學(xué)習(xí)運用原理解決問題。運用兩個原理解決的都是比較復(fù)雜的計數(shù)問題， 在解題時要細(xì)心、 耐心、有條理地分析問題。計數(shù)時要注意區(qū)分是分類問題還是分步問題，正確運用兩個

4、原理。靈活機動地分層重復(fù)使用或綜合運用兩個原理， 可以巧妙解決很多復(fù)雜的計數(shù)問題。小學(xué)階段只學(xué)習(xí)兩個原理的簡單應(yīng)用?！纠}一】每天從武漢到北京去，有4 班火車， 2 班飛機， 1 班汽車。請問：每天從武漢到北京去，乘坐這些交通工具共有多少種不同的走法？【解析】 運用加法原理，把組成方法分成三類：一類乘坐火車 ,二類乘坐飛機 ,三類乘坐洗車 .1解 :4+2+1=7(種 )【例題二】 用 1 角、 2 角和 5 角的三種人民幣（每種的張數(shù)沒有限制）組成1 元錢，有多少種方法？【解析】 運用加法原理，把組成方法分成三大類：只取一種人民幣組成1 元，有 3 種方法： 10 張 1 角； 5 張 2

5、角； 2 張 5 角。取兩種人民幣組成 1 元，有 5 種方法： 1 張 5 角和 5 張 1 角；一張 2 角和 8 張1角；2張2角和6張1角；3張2角和 4張 1角；4張2角和 2張1角。取三種人民幣組成 1 元，有 2 種方法： 1張 5角、1 張 2 角和 3 張 1 角的；1張 5角、2張 2角和 1張 1角的。解 : 所以共有組成方法： 3+5+2=10（種）?！纠}三】 在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個位數(shù)字大的兩位數(shù)共有多少個？【解析】運用加法原理，把組成的三位數(shù)分為九類：十位是 9 的有 9 個，十位是 8 的有 8 個， 十位是 1 的有 1 個.解: 共有： 1+2+3+

6、9=45(個)【例題四】 各數(shù)位的數(shù)字之和是24 的三位數(shù)共有多少個？【解析】 一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字，最大只能是 9，24 可分拆為： 24=9+9+6；24=9+8+7；24=8+8+8。運用加法原理，把組成的三位數(shù)分為三大類：由 9、9、8 三個數(shù)字可組成3 個三位數(shù)： 998、 989、 899；由 9、8、7 三個數(shù)字可組成6 個三位數(shù)： 987、 978、 897、879、798、 789；由 8、8、8 三個數(shù)字可組成1 個三位數(shù)： 888。解 : 所以組成三位數(shù)共有： 3+6+1=10（個）?！纠}五】 有一批長度分別為 1，2，3，4，5，6，7 和 8 厘米的細(xì)木條若干，從

7、中選取適當(dāng)?shù)?3 根木條作為三條邊可以圍成多少個不同的三角形？【解析】圍三角形的依據(jù)： 三根木條能圍成三角形， 必須滿足任意兩邊之和大于第三邊。要滿足這個條件，需要且只需要兩條較短邊的和大于最長邊就可以了。這道題的計數(shù)比較復(fù)雜，需要分層重復(fù)運用加法原理。根據(jù)三角形三邊長度情況，我們先把圍成的三角形分為兩大類：第一大類：圍成三角形的三根木條，至少有兩根木條等長（包括三根等長的）。由題目條件，圍成的等腰三角形腰長可以為 1、2、3、4、5、6、7、8 厘米，根據(jù)三角形腰長，第一大類又可以分為 8 小類，三邊長依次是：腰長為 1 的三角形 1 個： 1、1、1。腰長為 2 的三角形 3 個： 2、2

8、、1；2、2、2；2、2、 3。腰長為 3 的三角形 5 個： 3、3、1；3、3、2；3、3、 3； 3、 3、 4； 3、 3、 5。2腰長為 4 的三角形 7 個： 4、4、1；4、4、2； 4、4、7。腰長為 5 的三角形 8 個： 5、5、1；5、5、2； 5、5、8。同理，腰長為 6、7、8 厘米的三角形都是8 個。第一大類可圍成的不同的三角形：1+3+5+7+84=48（個）。第二大類：圍成三角形的三根木條，任意兩根木條的長度都不同。根據(jù)最長邊的長度， 我們再把第二大類圍成的三角形分為五小類 （最長邊不可能為是 3 厘米、 2 厘米、 1 厘米）：最長邊為 8 厘米的三角形有 9

9、 個，三邊長分別為： 8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。最長邊為 7 厘米的三角形有 6 個，三邊長分別為： 7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。最長邊為 6 厘米的三角形有 4 個，三邊長分別為： 6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。最長邊為 5 厘米的三角形有2 個，三邊長分別為： 5、4、3；5、4、2。最長邊為 4 厘米的三角形有1 個，三邊長為： 4、3、 2。第二大類可圍成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（個）。所以，這一題共可以圍成不同的三角形：48+

10、22=70（個）?！纠}六】 一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有 10 把鑰匙和 10 把鎖全部都搞亂了，最多要試驗多少次才能全部配好鎖和相應(yīng)的鑰匙？【解析】要求“最多”多少次配好鎖和鑰匙，就要從最糟糕的情況開始考慮：第 1 把鑰匙要配到鎖，最多要試 9 次（如果 9 次配對失敗，第 10 把鎖就一定是這把鑰匙，不用再試）；同理，第 2 把鑰匙最多要試 8 次； 第 9 把鎖最多試 1 次，最好一把鎖不用試。解 :最多試驗次數(shù)為： 9+8+7+2+1=45（次）?！纠}七】 如圖 , 從甲地到乙地有三條路 , 從乙地到丙地有三條路 , 從丙地到丁地有四條路 , 從甲地到丙地有二條路。問：甲地到丁地共

11、有多少種走法？甲乙丁丙【解析】從甲地到乙地的走法分兩大類： 一大類從甲地直接到達(dá)乙地， 二大類是經(jīng)過乙地和丙地到達(dá)丁地， 用加法原理。第二大類中，從甲地到丁地走法分三步，第一步，從甲地到乙地，第二步，從乙地到丙地，第三步，從丙地到丁地，用乘3法原理。、第一大類從甲地到丁地有 2 條路，用加法原理有 2 種走法。、第二大類從甲地到丁地分三步完成，用乘法原理。第一步，從甲地到乙地，有 3 條路，用加法原理有 3 種走法。第二步，從乙地到丙地，有 3 條路，用加法原理有 3 種走法。第三步，從丙地到丁地，有 4 條路，用加法原理有 4 種走法。根據(jù)乘法原理，第二大類共有 33436 種走法。、用加法

12、原理，從甲地到乙地共有236 38 種走法。解： 2+33438（種）【例題七 】 某人到食堂去買飯菜，食堂里有 4 種葷菜， 3 種蔬菜， 2 種湯。他要各買一樣，共有多少種不同的買法？【解析】 運用乘法原理，把買飯菜分為三步走：第一步：選湯有2 種方法。第二步：選葷菜有4 種方法。每種選湯方法對應(yīng)的都有 4 種選葷菜的方法， 湯和葷菜共有 2 個 4 種，即 8 種不同的搭配方法。第三步：選蔬菜有3 種方法。葷菜和湯有 8 種不同的搭配方法， 每種搭配方法， 對應(yīng)的都有 3 種選蔬菜的方法與其二次搭配，共有 8 個 3 種，即 24 種不同搭配方法。如下圖所示解： 共有不同的買法：243=

13、24（種）。【例題八 】 數(shù)學(xué)活動課上，張老師要求同學(xué)們用0、1、2、3 這四個數(shù)字組成三位數(shù)，請問：（1）可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2）可以組成多少個不相等的三位數(shù)？4【解析】組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)要求千位、十位、個位上的數(shù)字不同，數(shù)位之間是互相聯(lián)系的，用乘法原理。完成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的組成，分三步。第一步，看千位有多少種放法， 0 不能放首位， 1、 2、 3 任一個都可以放，有 3 種放法。第二步，看十位有多少種放法，四個數(shù)字千位放了一個，還剩三個，有3 種放法。第三步，看個位有多少種放法，四個數(shù)字千位、十位各放了一個，還剩二個，有 2 種放法。解： （） 332=18

14、（個）不相等的三位數(shù)， 可以看出各數(shù)位上的數(shù)字是能重復(fù)的。 要完成數(shù)的組合應(yīng)該分三步：第一步，看千位有多少種放法， 0 不能放首位， 1、2、3 任一個都可以放，有 3 種放法。第二步，看十位有多少種放法，四個數(shù)字都可以放，有4 種放法。第三步，看個位有多少種放法，四個數(shù)字都可以放，有4 種放法，有 4 種放法。解：（ 2）344=48（個）【例題九】 小新、阿呆等七個同學(xué)照像， 分別求出在下列條件下有多少種站法？（ 1）七個人排成一排；（ 2）七個人排成一排，小新必須站在中間 .（ 3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間 .（ 4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊 .（ 5

15、）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上 .（ 6）七個人站成兩排，前排三人，后排四人 .（ 7）七個人站成兩排，前排三人，后排四人 . 小新、阿呆不在同一排?！窘馕觥浚?）七個人排成一排要有序的分步進行，第一步，七個人每人都可以站第一位， 7 選 7 叫全選，有 7 種選法，也就是完成七個人排成一排的第一步。第二步，七人已選出一人站到第一位，還剩六人，有 6 種選法。同理，第三步有 5 種選法。第四步有 4 種選法。第五步有 3 種選法。第六步有 2 種選法。第七步有1 種選法。解：根據(jù)乘法原理得： 76543215040（種）7注：用排列公式寫作：P75040 （種）。（ 2）確定小新站

16、中間，只要考慮六人站一排的排列問題。只需排其余6 個人站剩下的 6 個位置。分六步，第一步 6 種選法、第二步 5 種選法、第三步 4 種選法、第四步 3 種選法、第五步 2 種選法、第六步 1 種選法。解：根據(jù)乘法原理得： 654321720（種）注：用排列公式寫作：P66720 （種） .（ 3）先確定中間的位置站誰，有 2 種選法。再排剩下的 6 個位置。解：根據(jù)乘法原理得：（654321） 21440（種）注：用排列公式寫作： 2 P66 =1440(種) （ 4）先排兩邊， 再排剩下的 5 個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置如圖可知，小新和阿呆站兩邊位置是 2 選 2，有 2

17、 1 2 種選法。其余五個位置5站法：第一位 5 種選法、第二位 4 種選法、第三位 3 種選法、第四位 2 種選法、第五位 1 種選法。其余 5 人所站位置2543211小新和阿呆所站位置解：根據(jù)乘法原理得：（54321）（ 2 1） 240（種）注：用排列公式寫作：5240 ( 種)2 P5（ 5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5 個人中選 2 人，也就是邊上的兩個位置 5 人去站，第一個位置有 5 種選法，第二個位置有 4 種選法，根據(jù)乘法原理得：5420（種）。再排剩下的 5 個人，有 5 4321120（種）。解：根據(jù)乘法原理得： 201202400（種）注：用排列公式寫作：P52P

18、552400 （種） .（ 6）七個人排成一排時， 7 個位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人， 7 個位置還是各不相同的， 所以本題實質(zhì)就是 7 個元素的全排列解：根據(jù)乘法原理得： 76543215040（種）注：用排列公式寫作： P77 5040 （種） .（ 7）可以分為兩類情況： “小新在前，阿呆在后”和“小新在后，阿呆在前” ，兩種情況是對等的， 所以只要求出其中一種的排法數(shù)， 再乘以 2 即可排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。解：根據(jù)乘法原理得： 43（ 5 4 3 2 1） 2 2880( 種)注：用排列公式寫作： 43 P55 2=2880(種) 【例題十

19、】 用 1、 2、3、4、5、6 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5 的三位數(shù)？【解析】 個位數(shù)字已知，問題變成從 5 個元素中取 2 個元素的排列問題，三位數(shù)的個位已確定為 5，那么， 1、 2、 3、 4、 6 可以任意選擇十位或百位，百位有 5 種選法，十位有 4 種選法。如圖：5種選法4種選法1種選法5千位百位個位解：根據(jù)乘法原理得： 5420（種）注：用排列公式解題：已知n5 ， m2 ，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成6P525420 ( 個 ) 符合題意的三位數(shù)。【例題十一】 用 1、 2 、 3、 4 、 5 這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個 3 的倍數(shù)？【解析】 按

20、位數(shù)來分類考慮：首先要知道3 的倍數(shù)的數(shù)的各位數(shù)值之和的規(guī)律:各位數(shù)值之和為3 的倍數(shù) , 則這個數(shù)是 3 的倍數(shù) . 一位數(shù)只有 1個 3 ； 兩位數(shù)：由 1與 2 ， 1與 5 ， 2 與 4 ， 4 與 5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成P22212 ( 個 ) 不同的兩位數(shù)，共可組成248 ( 個) 不同的兩位數(shù)； 三位數(shù)：由 1， 2 與 3；1， 3與 5； 2 ， 3與 4 ； 3， 4 與 5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成 P333 2 1 6 ( 個 ) 不同的三位數(shù)，共可組成6424 ( 個) 不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由 1 ， 2 ， 4 ， 5 這四個數(shù)字組成，有 P4

21、4432124 ( 個) 不同的四位數(shù)； 五位數(shù)：可由 1 ，2 ，3， 4 ， 5 組成，共有 P555 4321120( 個) 不同的五位數(shù)解：根據(jù)加法原理得：一共有 1 8 24 24 120177 ( 個) 能被 3 整除的數(shù)，即 3的倍數(shù)【例題十二】 某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0 數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是 9 ，那么確保打開保險柜最多要試幾次？【解析】 用排除法分析：四個非 0 數(shù)碼之和等于9 的組合數(shù)位上不能有9、8、7數(shù)字，否則，其和大于 9。首先，從合題意的大數(shù) 6 尋找有 1， 1， 1， 6 一種組合；從 5 尋找有 1， 1， 2， 5 一各

22、組合；從 4 尋找有 1，1，3，4；1，2，2，4；二種組合；從 3 尋找有 1， 2，3，3；2，2，2，3 二種組合；從 1、2 分析其和小于 9；因此分析得共有六種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮 6 的位置就可以了， 6 可以任意選擇 4 個位置中的一個， 其余位置放 1，共有 4 種選擇；第二種中，先考慮放 2 ，有 4種選擇，再考慮 5 的位置，可以有 3 種選擇，剩下的位置放 1，共有 4 3 12( 種) ，選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12 種選擇最后一種，與第一種的情形相似， 3的位置有 4 種選擇，其余位置放 2 ，共有 4 種選擇解：根據(jù)加法原

23、理得：一共可以組成 4 12 12 12 12 4 56 ( 個 ) 不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜最多要試 56次【例題十三】 兩對三胞胎喜相逢， 他們圍坐在桌子旁， 要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰， ( 同一位置上坐不同的人算不同的坐法 ) ，那么共有多少種不同的坐法？【解析】 第一個位置在 6 個人中任選一個，有 C616 ( 種 ) 選法，第二個位置在另一胞胎的 3人中任選一個，有 C313( 種) 選法同理，第 3， 4 ，5 ，6 個位置依次有 2，2，1，1 種選法如圖：6選13選 32選 22選 21選 11選 1632211甲乙胞乙胞甲胞乙胞甲胞乙胞解：根據(jù)乘法原理得：

24、 63221172（種）注：用排列公式寫作： P61P31P21P21P11P116 32 21172(種)。7【例題十四】 一種電子表在 6 時 24 分 30 秒時的顯示為 6:24 ：30，那么從 8 時到 9 時這段時間里，此表的 5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個 ?【解析】 設(shè)A BC是滿足題意的時刻，有A 為 ，B、D應(yīng)從，: :DE8012 3 45 這 6 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有6 5=30 種選法，而 C、 E 應(yīng)從剩下的 7 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有7 6=42 種選法 . 如圖：7 選 2ABCDE16756確定為 86 選 2解：根據(jù)乘法原理得

25、：所以共有P62 P72 =1260 種選法。從8 時到 9 時這段時間里，此表的 5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260 個?！纠}十五】 一個六位數(shù)能被11 整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個六位數(shù)的 6 個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11 整除的六位數(shù) ?【解析】 設(shè)這個六位數(shù)為 abcdef ，則有 (ac e) 、 (bdf ) 的差為 0 或 11 的倍數(shù)且a、b、c、d、e、f 均不為 ，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。0先考慮 a、c、e 偶數(shù)位內(nèi)， b、d、f 奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換， 有 P33 P33 =36 種順序；再考慮形如 badcfe 這種奇數(shù)位與偶數(shù)

26、位的組間調(diào)換，也有 P33 P33 =36 種順序。所以，用均不為 0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出 36+36=72 個能被 11 整除的數(shù) ( 包含原來的 abcdef ) 。所以最少還能排出 72-1=71 個能被 11 整除的六位數(shù)?！纠}十六】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同學(xué)進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次 甲、乙兩名參賽者去詢問成績， 回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍 ”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的 ”從這個回答分析， 5 人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】這道題乍一看不太像是排列問題， 這就需要靈活地對問題進行轉(zhuǎn)化 仔細(xì)審題，已

27、知“甲和乙都未拿到冠軍” ，而且“乙不是最差的” ，也就等價于 5 人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有3 種排法，再排甲，也有3 種排法，剩下的人隨意排，有P333216(種)排法解：根據(jù)乘法原理得：一共有3 3 654 ( 種) 不同的排法?！纠}十七】 4 名男生， 5 名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法： 甲不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起； 男女相間【解析】 先排甲， 9 個位置除了中間和兩端之外的 6 個位置都可以，有 6 種選擇，剩下的 8 個人隨意排，也就是 8個元素全排列的

28、問題，有P887654321403208( 種) 選擇解：根據(jù)乘法原理得：共有6 40320 241920( 種) 排法 甲、乙先排，有 P22212 ( 種) 排法；剩下的 7 個人隨意排，有8P7776543215040( 種) 排法解：根據(jù)乘法原理得：共有25040 10080( 種) 排法分別把男生、 女生看成一個整體進行排列， 有 P222 1 2( 種) 不同排列方法，再分別對男生、女生內(nèi)部進行排列，分別是4 個元素與 5 個元素的全排列問題，分別有 P44432124(種)和P555 4 321120( 種) 排法解：根據(jù)乘法原理得：共有224 120 5760( 種) 排法先排

29、 4 名男生，有 P44432 124 ( 種) 排法，再把 5 名女生排到 5 個空檔中，有 P55 5 4 3 2 1 120(種)排法解：根據(jù)乘法原理得：一共有241202880( 種) 排法。【例題十八】 一臺晚會上有 6 個演唱節(jié)目和 4 個舞蹈節(jié)目求： 當(dāng) 4 個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 當(dāng)要求每2 個舞蹈節(jié)目之間至少安排 1 個演唱節(jié)目時， 一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 先將 4 個舞蹈節(jié)目看成1 個節(jié)目，與 6個演唱節(jié)目一起排，則是 7個元素全排列的問題， 有 P777!765 4 3 2 1 5040 ( 種) 方法第二步再排 4個舞蹈節(jié)

30、目，也就是 4 個舞蹈節(jié)目全排列的問題， 有 P444! 4 3 2 1 24 (種)方法解：根據(jù)乘法原理得：一共有 504024 120960( 種 ) 方法 首先將 6 個演唱節(jié)目排成一列 ( 如下圖中的“”) ，是 6 個元素全排列的問題，6一共有 P66!654321720 ( 種 ) 方法第二步，再將 4 個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或2 個演唱節(jié)目之間 ( 即上圖中“”的位置 ) ，解：根據(jù)乘法原理得：一共有720 840604800( 種 ) 方法?！纠}十九】 從 1，2， ，8 中任取 3 個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要求列式）從 8 位候選人中任選三位分別任團支書

31、， 組織委員，宣傳委員， 共有多少種不同的選法？ 3 位同學(xué)坐 8 個座位，每個座位坐 1 人，共有幾種坐法？ 8 個人坐 3 個座位，每個座位坐 1 人，共有多少種坐法？一火車站有 8 股車道，停放 3 列火車，有多少種不同的停放方法？ 8 種不同的菜籽，任選 3 種種在不同土質(zhì)的三塊土地上， 有多少種不同的種法？【解析】 按順序，有百位、十位、個位三個位置， 8 個數(shù)字（ 8 個元素）取出 3 個往上排，有 P83 種 3 種職務(wù) 3 個位置，從 8 位候選人（ 8 個元素）任取 3 位往上排，有 P83 種 3 位同學(xué)看成是三個位置，任取 8 個座位號（ 8 個元素）中的 3 個往上排（

32、座號找人），每確定一種號碼即對應(yīng)一種坐法，有 P83 種 3 個坐位排號 1，2，3 三個位置，從 8 人中任取 3 個往上排（人找座位），有 P83種 3 列火車編為 1，2，3 號，從 8 股車道中任取 3 股往上排，共有 P83 種土地編 1，2， 3 號，從 8 種菜籽中任選 3 種往上排，有 P83 種。9【例題二十】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成 3 個階段進行，第一階段：將參加比賽的 48 名選手分成 8 個小組，每組 6 人，分別進行單循環(huán)賽； 第二階段：將 8 個小組產(chǎn)生的前 2 名共 16 人再分成 4 個小組，每組 4 人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由 4 個小組產(chǎn)

33、生的 4 個第 1名進行 2 場半決賽和 2 場決賽，確定 1至 4 名的名次問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？265【解析】第一階段中，每個小組內(nèi)部的 6 個人每 2 人要賽一場，組內(nèi)賽 C62151場，共 8 個小組，有158 120 場；第二階段中，每個小組內(nèi)部 4 人中每 2人賽一場，組內(nèi)賽 C42 436場，共 4 個小組，有 6 424場；第三階段賽 224 場21解：根據(jù)乘法原理得：整個賽程一共有 120 244 148場比賽?！纠}二十一】 由數(shù)字1，2，3 組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中 1，2，3 至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有 _個。(2007 年“迎春杯” 高年級組

34、決賽 )【解析】 這是一道組合計數(shù)問題由于題目中僅要求1， 2 ， 3 至少各出現(xiàn)一次，沒有確定 1， 2 ， 3 出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由 1,2,3 組成的五位數(shù)中，去掉僅有 1個或 2 個數(shù)字組成的五位數(shù)即可( 法 1) 分兩類：， ， 中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)3次，這樣的數(shù)有 C1 5 460(個；1 2 33) 1， 2 ， 3 中有兩個數(shù)字各出現(xiàn) 2 次，這樣的數(shù)有 C32 5 C4290 ( 個) 符合題意的五位數(shù)共有 6090 150(個)( 法 2) 從反面想，由 1 ， 2 ， 3組成的五位數(shù)共有 35個，由 1， 2 ， 3中的某

35、 2 個數(shù)字組成的五位數(shù)共有 3 (2 52) 個，由 1， 2， 3 中的某 1個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3 個，所以符合題意的五位數(shù)共有 353 (252)3150(個)。【例題二十二】 10 個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】 ( 法 1) 乘法原理按題意，分別站在每個人的立場上，當(dāng)自己被選中后，另一個被選中的， 可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有 7 種選擇，總共就有 710 70 種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是 ( 10 11 1

36、)10235( 種) ( 法 2) 排除法可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為C102 ，而被選的兩個人相鄰的情況有 10 種，所以共有 C10210 45 1035( 種) ?！纠}二十三】 8 個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰） ，小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】冬冬要站在小悅和阿奇的中間， 就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬， 而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)

37、為：C73P22C41P22P333360 （種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：C63P22P32P22P22960 （種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：33609602400（種）。10【例題二十四】小明有 10 塊大白兔奶糖 , 從今天起 , 每天至少吃一塊 . 那么他一共有多少種不同的吃法 ?【解析】我們將 10 塊大白兔奶糖從左至右排成一列 , 如果在其中 9 個間隙中的某個位置插入“木棍” , 則將 lO 塊糖分成了兩部分。我們記從左至右 , 第 1 部分是第 1 天吃的 , 第 2 部分是第 2 天吃的 , ，如 : | 表示第一天吃了 3 粒 ,

38、 第二天吃了剩下的 7 粒： | | 表示第一天吃了 4 粒, 第二天吃了 3 粒, 第三天吃了剩下的 3 粒不難知曉 , 每一種插入方法對應(yīng)一種吃法 , 而 9 個間隙 , 每個間隙可以插人也可以不插入 , 且相互獨立，故共有 29=512 種不同的插入方法 , 即 512 種不同的吃法?！纠}二十五】某池塘中有 A、B、C 三只游船， A 船可乘坐 3 人，B 船可乘坐 2 人，C 船可乘坐 1 人，今有 3 個成人和 2 個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同， 那么他們 5 人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】由于有兒童乘坐的游船上必

39、須至少有 1個成人陪同，所以兒童不能乘坐 C 船若這 5人都不乘坐 C 船，則恰好坐滿 A、B 兩船，若兩個兒童在同一條船上，只能在 A 船上，此時 A 船上還必須有 1個成人，有 C313 種方法；若兩個兒童不在同一條船上，即分別在 A、 B 兩船上，則 B 船上有 1 個兒童和 1個成人， 1 個兒童有 C212種選擇， 1 個成人有 C313 種選擇，所以有 23 6 種方法故 5 人都不乘坐C船有 3 6 9種安全方法；若這 5人中有 1人乘坐 C 船，這個人必定是個成人， 有 C313 種選擇其余的 2 個成人與 2個兒童，若兩個兒童在同一條船上，只能在A 船上，此時 A 船上還必須

40、有 1 個成人，有 C21 2 種方法，所以此時有 3 2 6 種方法；若兩個兒童不在同一條船上，那么 B 船上有 1個兒童和 1 個成人，此時 1 個兒童和 1 個成人均有C212 種選擇，所以此種情況下有3 2212 種方法；故 5 人中有 1 人乘坐 C 船有6 12 18 種安全方法所以，共有 9 18 27 種安全乘法【例題二十六】 從 10名男生， 8 名女生中選出 8 人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有 3 名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生， 某兩名男生不能同時入選； 某兩名女生， 某兩名男生最多入選兩人。【解析】 恰有

41、3名女生入選，說明男生有5 人入選，應(yīng)為 C83C10514112 種；要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求運用包含與排除的方法， 從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：8871；C18C10C10C8 43758 4 人必須入選，則從剩下的 14 人中再選出另外 4 人，有 C144 1001 種；從所有的選法 C188 種中減去這 4 個人同時入選的 C144 種：C188C14443758100142757 分三類情況：4 人無人入選；4 人僅有 1 人入選； 4 人中有 2 人入選，共：C148C14C147C42C14634749 。11【例題二十七】 在 10 名學(xué)生中，有 5 人會裝電腦，有3 人會安裝音響設(shè)備，其余 2 人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由 6 人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要 3 人，安裝音響設(shè)備要 3人，共有多少種不同的選人方案？【解析】 按具有雙項技術(shù)的學(xué)生分類：3543( 種) 選派方法； 兩人都不選派，有 C5103 2 1 兩人中選派 1人，有 2 種選法而針對