小學(xué)奧數(shù)-還原問題(教師版)

1、還原問題還原問題是逆解應(yīng)用題，還原問題先提出一個(gè)未知量，經(jīng)過一系列的運(yùn)算，最后給出另一個(gè)已知量，要求求出原來的未知數(shù)量。解題時(shí)，從最后一個(gè)已知量出發(fā)，逐步進(jìn)行逆推性運(yùn)算，即原來是加的，運(yùn)算時(shí)就減；原來是減的，運(yùn)算時(shí)就加；原來是乘的，運(yùn)算時(shí)就除；原來是除的，運(yùn)算時(shí)就乘。列綜合算式時(shí)，要特別注意運(yùn)算順序，為此要正確使用括號(hào)。如小莉要把一個(gè)包裝精美的盒子打開。她先拆開最外層的彩紙；接著打開紙盒，紙盒里有一個(gè)絨布盒；再打開絨布盒一看，里面是兩支“派克”金筆。媽媽說，這禮物是送給大學(xué)老師的，要小莉把它重新包裝起來。小莉是按這樣的順序做的： 先把兩支筆放入絨布盒蓋上絨布盒，并把它放進(jìn)紙盒蓋上紙盒，并用彩紙

2、封好。小莉重新包裝的步驟（順序）恰好與她打開這盒禮物的順序相反。這是生活中常會(huì)遇到的“還原問題”。在數(shù)學(xué)中，還原問題也很多?！纠?1】 小剛的奶奶今年年齡減去7 后，縮小 9 倍，再加上2 之后，擴(kuò)大10 倍，恰好是100 歲。小剛的奶奶今年多少歲？【解析】從最后一個(gè)條件恰好是100 歲向前推算，擴(kuò)大10 倍后是 100 歲，沒有擴(kuò)大10 倍之前應(yīng)是100 10=10 歲；加上 2 之后是 10 歲，沒有加 2 之前應(yīng)是10 2=8 歲；沒有縮小9 倍之前應(yīng)是8 9=72歲；減去7 之后是 72 歲，沒有減去7 前應(yīng)是 72 7=79 歲。所以，小剛的奶奶今年是79 歲?！拘≡嚺５丁磕成虉?chǎng)出售

3、洗衣機(jī)，上午售出總數(shù)的一半多10 臺(tái)，下午售出剩下的一半多20 臺(tái)，還剩 95 臺(tái)。這個(gè)商場(chǎng)原來有洗衣機(jī)多少臺(tái)？【解析】從“下午售出剩下的一半還多20 臺(tái)”和“還剩95 臺(tái)”向前倒推，從圖中可以看出，剩下的 95 臺(tái)和下午多賣的20 臺(tái)合起來， 即 95 20=115 臺(tái)正好是上午售后剩下的一半，那么 1152=230臺(tái)就是上午售出后剩下的臺(tái)數(shù)。而230 臺(tái)和 10 臺(tái)合起來，即230 10=240 臺(tái)又正好是總數(shù)的一半。那么， 240 2=480 臺(tái)就是原有洗衣機(jī)的臺(tái)數(shù)?！纠?2】 小明、小強(qiáng)和小勇三個(gè)人共有故事書60 本。如果小強(qiáng)向小明借3 本后，又借給小勇 5 本，結(jié)果三個(gè)人有的故事書的

4、本數(shù)正好相等。這三個(gè)人原來各有故事書多少本？【解析】不管這三個(gè)人如何借來借去，故事書的總本數(shù)是60本，根據(jù)結(jié)果三個(gè)人故事書本數(shù)相同，可以求最后三個(gè)人每人都有故事書60 3=20 本。如果小強(qiáng)不借給小勇5 本，那么小強(qiáng)有20 5=25本，小勇有 20 5=15 本；如果小強(qiáng)不向小明借3 本，那么小強(qiáng)有 25 3=22 本，小明有 203=23 本?！拘≡嚺５丁考滓覂赏坝透饔腥舾汕Э?，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再?gòu)囊彝暗钩龊图淄巴瑯佣嗟挠头湃爰淄?，這時(shí)兩桶油恰好都是36千克。問兩桶油原來各有多少千克？【解析】如果后來乙桶不倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，甲桶內(nèi)應(yīng)有油362=18 千

5、克，乙桶應(yīng)有油 36 18=54 千克；如果開始不從甲桶倒出和乙桶同樣多的油倒入乙桶，乙桶原有油應(yīng)為54 2=27千克，甲桶原有油 18 27=45 千克?！纠?3】 兩只猴子拿 26 個(gè)桃，甲猴眼急手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多，就搶去一半；甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴5 個(gè)，這時(shí)乙猴比甲猴多5 個(gè)。問甲猴最初準(zhǔn)備拿幾個(gè)？【解析】先求出兩個(gè)猴現(xiàn)在各拿多少，根據(jù)“有26 個(gè)桃”和“這時(shí)乙猴比甲猴多2 個(gè)”，可知乙猴現(xiàn)在拿（ 26 2） 2=14 個(gè)，甲猴現(xiàn)在拿26 14=12 個(gè)。甲猴從乙猴那兒搶走一半，又還給乙猴5個(gè)后有12 個(gè)，如果甲猴不還給乙猴，那么甲猴有1

6、2 5=17 個(gè)；如果甲猴不搶乙猴一半，那么乙猴現(xiàn)在有（26 17） 2=18 個(gè)。乙猴看甲猴拿得太多，搶去甲猴的一半后有18 個(gè)，如果不搶，那么甲猴最初準(zhǔn)備拿（26 18） 2=16 個(gè)?！纠?】 小馬虎在做一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的9 看作6 ，十位上的6 看作 9 ，結(jié)果和是174 ，那么正確的結(jié)果應(yīng)該是多少呢？【解析】我們可以這樣理解這道題的意思：一個(gè)數(shù)( 正確答案 ) ，由于小馬虎兩次錯(cuò)誤的計(jì)算，變成了另一個(gè)數(shù) ( 錯(cuò)誤結(jié)果 ) ，我們知道引起這種變化的原因是：把個(gè)位上的9看作 6，這就相當(dāng)于把正確答案減少了9 63把十位上的6看作 9，這就相當(dāng)于把正確答案增加了：10（96）

7、 30這樣原題就變成了“一個(gè)數(shù)減去3 ，再加上 30 ，所得結(jié)果是174 ，求這個(gè)數(shù) ”我們只要把少加的加上，多加的減去，就可以求出正確的結(jié)果174 （96）10（96）174330147【小試牛刀】淘氣在做一道減法時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的9 看成了 3，把十位上的4 看成了 7，得到的結(jié)果是 164，請(qǐng)你幫淘氣算算正確的答案應(yīng)該是多少呢?【解析】 164(7349)188 或 164630188 .【例 5】 學(xué)學(xué)看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長(zhǎng)的一半還多2 米，第二次用去余下的一半少10 米，第三次用去15 米，最后還剩9 米，那么這根繩子原來有多少米呢？【解析】根據(jù)題意，畫圖

8、倒推分析：15 9 24( 米)（ 24 10） 2 28( 米)（28 2） 2 60( 米 )所以，這根繩子全長(zhǎng) 60 米【小試牛刀】一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3 米，第二次用去余下的一半少10 米，第三次用去 15 米，最后還剩 7 米。這捆電線原來有多少米？【解析】為了幫助同學(xué)們分析數(shù)量關(guān)系，可依照題意畫出右圖。從線段圖上可以看出：全長(zhǎng)的一半3 米余下的一半第一次用去的第二次用去的10 米第三次用去的15 米7 米全長(zhǎng)？米圖 2（ 1） 7151012 （米），就是第一次用去后余下的一半。（ 2） 12 2 24 （米），就是余下的電線長(zhǎng)度。（ 3） 24 3 27 （米），就是

9、全長(zhǎng)的一半。（ 4） 27 2 54 （米），就是原來電線的長(zhǎng)度。綜合列式計(jì)算：71510232(1223)227254 （米）【例 6】 桃園里來了第一群猴子，吃去桃子總數(shù)的一半又半個(gè)；第二群猴子又來吃掉剩下桃子的一半又半個(gè)；第三群猴子又來吃掉剩下桃子數(shù)的一半又半個(gè). 這時(shí)桃園里還只有100 個(gè)桃了 . 那么園中原有多少桃？【解析】第三群猴沒吃，相應(yīng)有桃(1000.5)2201 ( 個(gè) )第二群猴沒吃，相應(yīng)有桃(2010.5)2403 ( 個(gè))第一群猴沒吃，相應(yīng)有桃( 即桃園中原有桃(4030.5)2807 ( 個(gè))【小試牛刀】山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2 個(gè)

10、，第二天又偷吃了剩下的一半多【解析】 2 （12 個(gè)，這時(shí)還剩1 個(gè)，問：樹上原來有多少個(gè)桃子？2） 2216(個(gè)).【例7】 袋里有若干個(gè)球，小明每次拿出其中的一半再放回一個(gè)球，這樣共操作了5 次，袋中還有3 個(gè)球。問：袋中原有多少個(gè)球？【解析】利用逆推法從第5 次操作后向前逆推。第5 次操作后有3 個(gè)，第4 次操作后有（3 1） 2 4（個(gè)），第 3 次 為了簡(jiǎn)潔清楚，可以列表逆推如下：所以原來袋中有34 個(gè)球?！拘≡嚺５丁?三堆蘋果共48 個(gè)。先從第一堆中拿出與第二堆個(gè)數(shù)相等的蘋果并入第二堆；堆中拿出與第三堆個(gè)數(shù)相等的蘋果并入第三堆；最后又從第三堆中拿出與這時(shí)第一堆個(gè)數(shù)相等的蘋果并入第一

11、堆。這時(shí)，三堆蘋果數(shù)恰好相等。問：三堆蘋果原來各有多少個(gè)？【解析】由題意知，最后每堆蘋果都是483 16（個(gè)），由此向前逆推如下表：再?gòu)牡诙瓉淼谝弧⒍?、三堆依次?2，14， 12 個(gè)蘋果?！纠?8】 甲、乙兩班各要種若干棵樹，如果甲班拿出與乙班同樣多的樹給乙班，乙班再?gòu)默F(xiàn)有的樹中也拿出與甲班同樣多的樹給甲班，這時(shí)兩班恰好都有28 棵樹，問甲、乙兩班原來各有樹多少棵？【解析】如果后來乙班不給與甲班同樣多的樹，甲班應(yīng)有樹282（棵），乙班有2814（棵），1442如果開始不從甲班拿出與乙班同樣多的樹，乙班原有樹42 221 （棵），甲班原有樹1421 35（棵）列表倒推如下 :甲班乙班3521

12、14422828【小試牛刀】一班、二班、三班各有不同數(shù)目的圖書如果一班拿出本班的一部分圖書分給二班、三班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍；然后二班也拿出一部分圖書分給一班、三班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍；接著三班也拿出一部分圖書分給一班、二班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍這時(shí)，三個(gè)班的圖書數(shù)目都是48 本求三個(gè)班原來各有圖書多少本？【解析】我們可采用倒推法，再結(jié)合列舉法進(jìn)行分析推理在每一次重新變化后，三個(gè)班的圖書總數(shù)目是一個(gè)不變的數(shù)，由此，可從最后三個(gè)班的圖書數(shù)目都是48 本出發(fā)進(jìn)行倒推，求每一次重新變化以前三個(gè)班各自的圖書數(shù)目，逐步倒推出原有的圖書數(shù)目依據(jù)題意可知，一班、二班的圖書數(shù)目各增加一倍

13、才是48 本，因此增加前各應(yīng)有24 本，所以一班、二班的圖書數(shù)目各應(yīng)減半，還給三班其余各次，以此類推，把倒推解答的過程用下表表示：一班二班三班結(jié)果484848第三次242496第二次128448第一次784224【例 9】 3 個(gè)籠子里共養(yǎng)了78 只鸚鵡，如果從第 1 個(gè)籠子里取出 8 只放到第 2 個(gè)籠子里，再?gòu)牡?2 個(gè)籠子里取出 6 只放到第3 個(gè)籠子里，那么 3 個(gè)籠子里的鸚鵡一樣多求3 個(gè)籠子里原來各養(yǎng)了多少只鸚鵡 ?【解析】 3 個(gè)籠子里的鸚鵡不管怎樣取，78 只的總數(shù)始終不變 變化后 “3 個(gè)籠子里的鸚鵡一樣多” ，可以求出現(xiàn)在每個(gè)籠里的是78326 （只）根據(jù)“從第1 個(gè)籠子里

14、取出 8 只放到第 2 個(gè)籠子里”，可以知道第 1 個(gè)籠子里原來養(yǎng)了26834 （只）；再根據(jù)“從第 2 個(gè)籠子里取出6 只放到第 3 個(gè)籠子里”，得出第 2 個(gè)籠子里有： 2668 24 （只），第 3 個(gè)籠子里原有 26 620 （只）【小試牛刀】甲、乙、丙3 人共有192 張郵票從甲的郵票中取出乙那么多給乙后，再?gòu)囊业泥]票中取出丙那么多給丙，最后從丙的郵票中取出甲那么多給甲，這時(shí)甲、 乙、丙 3 人郵票數(shù)相同， 甲、乙、丙原來各有多少?gòu)垼俊窘馕觥考?、乙、丙原共?92 張郵票，經(jīng)過三次交換后，甲乙丙三人仍有郵票192 張，而且三人郵票數(shù)相同，即 3 人各有郵票：192 364 （張）第三

15、次交換從丙的郵票中取出甲那么多給甲，說明這次交換前甲有郵票642 32 （張），丙有郵票： 6432 96 （張），依此類推，就可以推出答案了最后相等時(shí)各有192364（張），列表倒推如下：甲( 張)乙( 張)丙( 張)最后646464前次326496再前次3211248原來885648【例 10】 一群小神仙玩扔沙袋游戲，他們分為甲、乙兩個(gè)組，共有140 只沙袋如果甲組先給乙組 5 只，乙組又給甲組8 只，這時(shí)兩組沙袋數(shù)相等兩個(gè)組原來各有沙袋多少只?【解析】甲乙兩組的沙袋經(jīng)歷了兩次交換第二次交換后兩組沙袋相等，又知沙袋總數(shù)為140 只，所以這時(shí)兩組各有沙袋70 只解答時(shí)可以從70 開始倒推列

16、表倒推如下：甲組乙組最后結(jié)果140270140270第二次交換前7086270878第一次交換前( 原來 )6256778573解決此類問題的關(guān)鍵是找到從哪里開始倒推因?yàn)榧滓覂山M的沙袋經(jīng)歷了兩次交換后數(shù)量相等，所以應(yīng)從兩組各有沙袋70 只開始倒推【小試牛刀】科學(xué)課上，老師說：“土星直徑比地球直徑的9 倍多 4800 千米，土星直徑除以24 等于水星直徑，水星直徑加上2000 千米是火星直徑，火星直徑除以2 減去 500 千米等于月亮的直徑，月亮直徑是3000 千米 . ”請(qǐng)你算一算，地球的直徑是多少？【解析】先求土星直徑：(3000500)2200024120000 ( 千米 )再求地球直徑：

17、(1200004800)912800 ( 千米 ) ，即：地球的直徑是12800 千米 .【例 11】 有甲、乙兩堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆現(xiàn)在按如下方法移動(dòng)棋子：第一次從甲堆中拿出和乙堆一樣多的棋子放到乙堆；第二次從乙堆中拿出和甲堆剩下的同樣多的棋子放到甲堆；第三次又從甲堆中拿出和乙堆同樣多的棋子放到乙堆照此移法，移動(dòng)三次后，甲、乙兩堆棋子數(shù)恰好都是 32 個(gè)問甲、乙兩堆棋子原來各有多少個(gè)？【解析】我們從最后一步倒著分析因?yàn)榈谌问菑募锥涯贸銎遄臃诺揭叶?，這樣做的結(jié)果是兩堆棋子都是32 個(gè)，因此，在未進(jìn)行第三次移動(dòng)之前，乙堆只有32216 ( 個(gè) ) 棋子，而甲堆的棋子數(shù)是 32 16 4

18、8 ( 個(gè) ) ，這樣再逆推下去， 逆推的過程可以用下表來表示， 表中的箭頭表示逆推的方向 所以，甲堆原有 44 個(gè)棋子；乙堆原有 20 個(gè)棋子乙堆棋子甲堆棋子第三次移動(dòng)后32322第二次移動(dòng)后1632482第一次移動(dòng)后4016242原有棋子20 2444采用列表法非常清楚甲乙結(jié)果3232第三次交換前4816第二次交換前2440第一次交換前44201. 某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多存折上還剩 1250 元。他原有存款多少元？50 元，第二次取了余下的一半多100 元。這時(shí)他的【解析】從上面那個(gè)“重新包裝”的事例中，我們應(yīng)受到啟發(fā)：要想還原，就得反過來做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100 元”可知，“余下的一半少100 元”是 1250 元，從而 “余下的一半”是1250+100=1350（元）余下的錢（余下一半錢的2 倍）是：1350 2=2700（元）用同樣道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。綜合算式是： （ 1250+100） 2+50 2=5500（元）2. 食堂買進(jìn)一批大米，第一天吃了全部的一半少28 千克，第二天吃了余下的一半少8 千克，最后剩下 122千克這批大米共有多少千克？【解析】列式為：（1228）22822002400 (千克 )3. 山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2 個(gè)，第二天又偷吃了剩下的一半多 2 個(gè)，