高中數(shù)學選修23教案　全冊

1、【中學數(shù)學教案】高中數(shù)學教案選修全套第一章 計數(shù)原理11分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理第一課時1 分類加法計數(shù)原理（1）提出問題問題1.1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？（2）發(fā)現(xiàn)新知分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法. 那么完成這件事共有 種不同的方法.（3）知識應(yīng)用例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，a,b

2、兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下： a大學 b大學 生物學 數(shù)學 化學 會計學 醫(yī)學 信息技術(shù)學 物理學 法學 工程學如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析：由于這名同學在 a , b 兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又由于兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件解：這名同學可以選擇 a , b 兩所大學中的一所在 a 大學中有 5 種專業(yè)選擇方法，在 b 大學中有 4 種專業(yè)選擇方法又由于沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學可能的專業(yè)選擇共有 5+4=9（種）.變式：若還有c大學，其中強項專業(yè)

3、為：新聞學、金融學、人力資源學.那么，這名同學可能的專業(yè)選擇共有多少種？探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，在第3類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當如何計數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法在第n類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.理解分類加法計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立

4、，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.例2.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？ 解:從總體上看,如,螞蟻從頂點a爬到頂點c1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以, 第一類, m1 = 12 = 2 條 第二類, m2 = 12 = 2 條 第三類, m3 = 12 = 2 條所以, 根據(jù)加法原理, 從頂點a到頂點c1最近路線共有 n = 2 + 2 + 2 = 6 條練習: ( 1 ）一件工作可以用 2 種方法完成，有 5 人只會用第 1 種方法完成，另有 4 人只會用第 2 種方法完成，從中選出 l 人來完成這件工作，不同選法的種

5、數(shù)是 ; ( 2 ）從 a 村去 b 村的道路有 3 條，從 b 村去 c 村的道路有 2 條，從 a 村經(jīng) b 的路線有條第二課時2 分步乘法計數(shù)原理（1）提出問題問題2.1：用前6個大寫英文字母和19九個阿拉伯數(shù)字，以,，,的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？用列舉法可以列出所有可能的號碼： 我們還可以這樣來思考：由于前 6 個英文字母中的任意一個都能與 9 個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有 69 = 54 個不同的號碼（2）發(fā)現(xiàn)新知分步乘法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法. 那么完成

6、這件事共有 種不同的方法.（3）知識應(yīng)用例1.設(shè)某班有男生30名，女生24名. 現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟第 l 步選男生第2步選女生解：第 1 步，從 30 名男生中選出1人，有30種不同選擇；第 2 步，從24 名女生中選出1人，有 24 種不同選擇根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有3024 =720種不同的選法一般歸納： 完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.理解分步乘法計數(shù)原理：分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事

7、要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事.3理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.例2 .如圖,要給地圖a、b、c、d四個區(qū)域分別涂上3種

8、不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 解: 按地圖a、b、c、d四個區(qū)域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 種, 第二步, m2 = 2 種, 第三步, m3 = 1 種, 第四步, m4 = 1 種,所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案種數(shù)共有n = 3 2 11 = 6 第三課時3 綜合應(yīng)用例1. 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的

9、取法？【分析】要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應(yīng)用分類計數(shù)原理.要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應(yīng)用分步計數(shù)原理.要完成的事是“取2本不同學科的書”，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算機和文藝書各1本，再要考慮取1本計算機書或取1本文藝書都只完成了這件事的一部分，應(yīng)用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應(yīng)運用分類計數(shù)原理.解： (1) 從書架上任取1本書，有3類方法：第1

10、類方法是從第1層取1本計算機書，有4 種方法；第2 類方法是從第2 層取1本文藝書，有3 種方法；第3類方法是從第 3 層取 1 本體育書，有 2 種方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 =4+3+2=9; ( 2 ）從書架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成3個步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計算機書，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取1本文藝書，有 3 種方法；第 3 步從第3層取1 本體育書，有 2 種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=432=24 .（3）。例2. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問

11、共有多少種不同的掛法？解：從 3 幅畫中選出 2 幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第 1 步，從 3 幅畫中選 1 幅掛在左邊墻上，有 3 種選法；第 2 步，從剩下的 2 幅畫中選 1 幅掛在右邊墻上，有 2 種選法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是 n=32=6 . 6 種掛法可以表示如下：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事例3.

12、隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和 3 個不重復的阿拉伯數(shù)字，并且 3 個字母必須合成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為 2類，即字母組合在左和字母組合在右確定一個牌照的字母和數(shù)字可以分6個步驟解：將汽車牌照分為 2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字：第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法；第2步，從剩下的25個字母中選 1個，放在第2

13、位，有25種選法；第3步，從剩下的24個字母中選 1個，放在第3位，有24種選法；第4步，從10個數(shù)字中選1個，放在第 4 位，有10種選法；第5步，從剩下的 9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法；第6步，從剩下的 8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26 25241098=11 232 000（個） .同理，字母組合在右的牌照也有11232 000 個所以，共能給11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個） .輛汽車上牌照用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析 需要分類還是需要分步分

14、類要做到“不重不漏”分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)分步要做到“步驟完整” 完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當然步與步之間要相互獨立分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)練習1乘積展開后共有多少項？2某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到 9 之間的一個數(shù)字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？3從 5 名同學中選出正、副組長各 1 名，有多少種不同的選法？4某商場有 6 個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出

15、商場的方式？ 第四課時例1.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母 ag 或 uz , 后兩個要求用數(shù)字19問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第 1 步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符而首字符又可以分為兩類解：先計算首字符的選法由分類加法計數(shù)原理，首字符共有7 + 6 = 13 種選法再計算可能的不同程序名稱由分步乘法計數(shù)原理，最多可以有1399 = = 1053 個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名例2. 核糖核酸（rna）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學成分一個 rna 分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，

16、長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據(jù)總共有 4 種不同的堿基，分別用a,c,g,u表示在一個 rna 分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)假設(shè)有一類 rna 分子由 100 個堿基組成，那么能有多少種不同的 rna 分子？分析：用圖1. 1一2 來表示由100個堿基組成的長鏈，這時我們共有100個位置，每個位置都可以從a , c , g , u 中任選一個來占據(jù)解：100個堿基組成的長鏈共有 100個位置，如圖1 . 1一2所示從左到右依次在每一個位置中，從 a , c , g , u 中任選一個填人，每個位置有 4 種填充方法根據(jù)

17、分步乘法計數(shù)原理，長度為 100 的所有可能的不同 rna 分子數(shù)目有（個）例3.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有 o 或 1 兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由 8 個二進制位構(gòu)成問：(1）一個字節(jié)（ 8 位）最多可以表示多少個不同的字符？ (2）計算機漢字國標碼（gb 碼）包含了6 763 個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？分析：由于每

18、個字節(jié)有 8 個二進制位，每一位上的值都有 0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解本題解：(1）用圖1.1一3 來表示一個字節(jié)圖 1 . 1 一 3 一個字節(jié)共有 8 位，每位上有 2 種選擇根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示 22222222= 28 =256 個不同的字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠 6 763 個，我們就考慮用2 個字節(jié)能夠表示多少個字符前一個字節(jié)有 256 種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有 256 種表示方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示 256256 = 65536 個不同的字符，這

19、已經(jīng)大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù) 6 763所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用 2 個字節(jié)表示例4.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成如圖1.1一4，它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？圖1.1一4分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第 1 步是從開始執(zhí)行到 a 點；第 2 步是從 a 點執(zhí)行到結(jié)束而第 1 步

20、可由子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 來完成；第 2 步可由子模塊 4 或子模塊 5 來完成因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 中的子路徑共有18 + 45 + 28 = 91 （條） ; 子模塊 4 或子模塊 5 中的子路徑共有38 + 43 = 81 （條） . 又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有9181 = 7 371（條）. 在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊這樣，他可以先分別單獨測試 5 個模塊，以考察每個子模塊

21、的工作是否正?？偣残枰臏y試次數(shù)為18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1 步中的各個子模塊和第 2 步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為32=6 . 如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?172 + 6=178（次）. 顯然，178 與7371 的差距是非常大的鞏固練習：1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

22、2.書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？（2）若從這些書中，取數(shù)學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？3.如圖一,要給,四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為() a. 180 b. 160 c. 96 d. 60圖一圖二圖三若變?yōu)閳D二,圖三呢?5.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？6（2007年重慶

23、卷）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（ c ）a5部分 b.6部分 c.7部分 d.8部分教學反思：課堂小結(jié)1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想.2理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，并加區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.3運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點：分類加法計數(shù)原理：首先確定分

24、類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即不重不漏. 分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這件事才算完成.分配問題把一些元素分給另一些元素來接受這是排列組合應(yīng)用問題中難度較大的一類問題因為這涉及到兩類元素：被分配元素和接受單位而我們所學的排列組合是對一類元素做排列或進行組合的，于是遇到這類問題便手足無措了事實上，任何排列問題都可以看作面對兩類元素例如，把10個全排列，可以理解為在10個人旁邊，有序號為1，2，10的10把椅子，每把椅子坐一個人，那么有多少種坐法？這樣就出現(xiàn)了兩類元素，一類是人，

25、一類是椅子。于是對眼花繚亂的常見分配問題，可歸結(jié)為以下小的“方法結(jié)構(gòu)”：.每個“接受單位”至多接受一個被分配元素的問題方法是，這里.其中是“接受單位”的個數(shù)。至于誰是“接受單位”，不要管它在生活中原來的意義，只要.個數(shù)為的一個元素就是“接受單位”，于是，方法還可以簡化為.這里的“多”只要“少”.被分配元素和接受單位的每個成員都有“歸宿”,并且不限制一對一的分配問題，方法是分組問題的計算公式乘以.121排列第一課時一、復習引入： 1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同

26、的方法2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個步驟,只有各個步驟都完成才算做完這件事 應(yīng)用兩種原理解題:1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還是分步完成,

27、“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制二、講解新課：1問題：問題1從甲、乙、丙3名同學中選取2名同學參加某一天的一項活動，其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學中每次選取2名同學，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對象叫做元素解決這一問題可分兩個步驟：第 1 步，確定參加上午活動的同學，從 3 人中任選 1 人，有 3 種方法；第 2 步，確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的同學確定后，

28、參加下午活動的同學只能從余下的 2 人中去選，于是有 2 種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，在 3 名同學中選出 2 名，按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有 32=6 種，如圖 1.2一1 所示把上面問題中被取的對象叫做元素，于是問題可敘述為：從3個不同的元素 a , b ，。中任取 2 個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 32=6 種問題2從1,2,3,4這 4 個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在4個

29、字母中任取1個，有4種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的3個數(shù)中取，有3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2個數(shù)中取，有2種方法由分步計數(shù)原理共有：432=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法顯然，從 4 個數(shù)字中，每次取出 3 個，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，就得到一個三位數(shù)因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)可以分三個步驟來解決這個問題：第 1 步，確定百位上的數(shù)字，在 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個數(shù)字中任取 1 個，有 4 種方法；第 2 步，確定十位上的數(shù)字，當百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的 3 個數(shù)字中去

30、取，有 3 種方法；第 3 步，確定個位上的數(shù)字，當百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的 2 個數(shù)字中去取，有 2 種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個不同的數(shù)字中，每次取出 3 個數(shù)字，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，共有432=24種不同的排法， 因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖1. 2一2 所示由此可寫出所有的三位數(shù)： 123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243，312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431

31、, 432 。同樣，問題 2 可以歸結(jié)為：從4個不同的元素a, b, c，d中任取 3 個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有432=24種.樹形圖如下 a b 2排列的概念：從個不同元素中，任取（）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列說明：（1）排列的定義包括兩個

32、方面：取出元素，按一定的順序排列； （2）兩個排列相同的條件：元素完全相同，元素的排列順序也相同3排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從個不同元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列4排列數(shù)公式及其推導：由的意義：假定有排好順序的2個空位，從個元素中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，

33、所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法，=由此，求可以按依次填3個空位來考慮，=，求以按依次填個空位來考慮，排列數(shù)公式： （）說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是，共有個因數(shù)；（2）全排列：當時即個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)：（叫做n的階乘）另外，我們規(guī)定 0! =1 .例1用計算器計算： (1）； (2）; (3）.解：用計算器可得：由（ 2 ) ( 3 ）我們看到，那么，這個結(jié)果有沒有一般性呢？即.排列數(shù)的另一個計算公式： =.即 = 例2解方程：3 解：由排列數(shù)公式得：， ，即，解得 或，且，原方程的解為例

34、3解不等式：解：原不等式即，也就是，化簡得：，解得或，又，且，所以，原不等式的解集為例4求證：（1）；（2）證明：（1），原式成立（2）右邊 原式成立說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù)中，且這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（2）公式常用來求值，特別是均為已知時，公式=，常用來證明或化簡例5化簡：；解：原式提示：由，得， 原式 說明：第二課時例1(課本例2)某年全國足球甲級（a組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，共進行多少場比賽？解：任意兩隊間進行1次主場比賽與 1 次客場比賽，對應(yīng)于從14個元素中任取2個元素的一個排列

35、因此，比賽的總場次是=1413=182. 例2(課本例3)(1）從5本不同的書中選 3 本送給 3 名同學，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ (2）從5種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：(1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應(yīng)于從5個不同元素中任取 3 個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是=543=60. (2）由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有 5 種不同的選購方法，因此送給 3 名同學每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是555=125. 例 8 中兩個問題的區(qū)別在于： ( 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學

36、，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計數(shù)原理進行計算例3(課本例4)用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的。到 9 這 10 個數(shù)字中，因為。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此。是一個特殊的元素一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題解法 1 ：由于在沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是o，因此可以分兩步完成排列第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1到9 這九個數(shù)字中任選 1 個，有種選法；第2步，排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的9個數(shù)字中

37、任選2個，有種選法（圖1.2一 5) 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)有=998=648（個） .解法 2 ：如圖1.2 一6 所示，符合條件的三位數(shù)可分成 3 類每一位數(shù)字都不是位數(shù)有 a 母個，個位數(shù)字是 o 的三位數(shù)有揭個，十位數(shù)字是 0 的三位數(shù)有揭個根據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有=648個解法 3 ：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中 o 在百位上的排列數(shù)是，它們的差就是用這10個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求的三位數(shù)的個數(shù)是-=1098-98=648.對于例9 這類計數(shù)問題，可用適當?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方

38、法解法 1 根據(jù)百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選 3 個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計數(shù)原理；解法 2 以 o 是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標準，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計數(shù)原理；解法 3 是一種逆向思考方法：先求出從10個不同數(shù)字中選3個不重復數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)（即不是三位數(shù)的個數(shù)），就得到?jīng)]有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)從上述問題的解答過程可以看到，引進排列的概念，以及推導求排列數(shù)的公式，可以更加簡便、快捷地求解“從n個不同元素中取出 m (mn）個元素的所有排列的個數(shù)”這類特殊的計數(shù)問題 1.1節(jié)中的例 9 是否也是這類計數(shù)問題？你能用排列

39、的知識解決它嗎？四、課堂練習： 1若，則 （ ） 2與不等的是 （ ） 3若，則的值為 （ ） 4計算： ； 5若，則的解集是 6（1）已知，那么 ； （2）已知，那么= ；（3）已知，那么 ； （4）已知，那么 7一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車）？8一部紀錄影片在4個單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序？答案：1. b 2. b 3. a 4. 1,1 5. 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 教學反思：排列的特征：一個是“取出元素”；二是“按照一定順序排列” ,“

40、一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志。根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，且僅當兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同. 了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。對于較復雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是“正面湊”，一個是“反過來剔”前者指，按照要求，一點點選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。第三課時例1（1）有5本不同的書，從中選3本送給3

41、名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應(yīng)于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：，所以，共有125種不同的送法說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那

42、種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計數(shù)原理進行計算例2某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有種；第二類用2面旗表示的信號有種；第三類用3面旗表示的信號有種，由分類計數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是：，例3將位司機、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個問題可以分為兩步，第一步：把位司機分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從個不同元素中取出個元素排成一列，有種方法；第二步：把位售票

43、員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法，利用分步計數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計數(shù)原理，分配方案共有（種）例4用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個數(shù)是：解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個，個位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，由分類計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是：解法3：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是-說明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進行恰當?shù)姆诸惡头植剑苯佑嬎?/p>

44、符合條件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3對于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當?shù)卮_定分類與分步的標準，防止重復與遺漏第四課時例5（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個元素的全排列5040（2）7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：76543217！5040（3）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列=720（4）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多

45、少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種；第二步 余下的5名同學進行全排列有種，所以，共有=240種排列方法（5）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有種方法，所以一共有2400種排列方法解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素

46、可以優(yōu)先考慮例6.從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮）；解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：，則共有種；解法三：（間接法）第五課時例7 7位同學站成一排，（1）甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學）一起進行全排列有種方法；再將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法所以這樣的排法一共有種（2）甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有720種（3）甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭

47、和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個元素進行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法所以這樣的排法一共有960種方法解法二：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法解法三：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法，再將其余的5個元素進行全排列共

48、有種方法，最后將甲、乙兩同學“松綁”，所以，這樣的排法一共有960種方法（4）甲、乙、丙三個同學必須站在一起，另外四個人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個同學“捆綁”在一起看成一個元素，另外四個人“捆綁”在一起看成一個元素，時一共有2個元素，一共有排法種數(shù)：（種）說明：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）例87位同學站成一排，（1）甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）；解法二：（插空法）先將其余五個同學排好有種方法，此時他們留下六個位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學分別插入這六個位置（空）有種方法，所以一共有種方法（2）甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？

49、解：先將其余四個同學排好有種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學分別插入這五個“空”有種方法，所以一共有1440種說明：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）第六課時例95男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列解：（1）先將男生排好，有種排法；再將5名女生插在男生之間的6個“空擋”（包括兩端）中，有種排法故本題的排法有（種）；（2）方法1：；方法2：設(shè)想有10個位置，先將男生排在其中的任意5個位置上，有種排法；余下的5個位置排女生，因為女生的位置已經(jīng)指定，所以她們只有一種排法故本題的結(jié)論為（種）2007年高考題1（2007年

50、天津卷）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有390種（用數(shù)字作答）2（2007年江蘇卷）某校開設(shè)9門課程供學生選修，其中三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規(guī)定每位同學選修4門，共有75種不同選修方案。（用數(shù)值作答）3（2007年北京卷）記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）1440種960種720種480種4圖是某汽車維修公司的維修點分布圖，公司在年初分配給、四個維修點的某種配件各件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將、四個維修點的這批配件分別調(diào)整為、

51、件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行，那么完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（個配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為）為答案：b；（）（）（）（）5（2007年全國卷i）從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有 種（用數(shù)字作答）6（2007年全國卷）從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（ b ）a40種b60種c100種d120種7. （2007年陜西卷）安排3名支教老師去6所學校任教，每校至多2人，則不同的分配

52、方案共有 種.（用數(shù)字作答）8（2007年四川卷）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（）（a）288個 （b）240個 （c）144個 （d）126個解析：選b對個位是0和個位不是0兩類情形分類計數(shù)；對每一類情形按“個位最高位中間三位”分步計數(shù)：個位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；個位不是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；故共有個本題考查兩個基本原理，是典型的源于教材的題目9（2007年重慶卷）某校要求每位學生從7門課程中選修4門，其中甲乙兩門課程不能都選，則不同的選課方案有_25_種.（以數(shù)字作答）10（2007年寧夏卷）某校安排5個班

53、到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有240種（用數(shù)字作答）11（2007年遼寧卷）將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第個數(shù)為，若，則不同的排列方法有 種（用數(shù)字作答）解析：分兩步：（1）先排，=2，有2種；=3有2種；=4有1種，共有5種；（2）再排，共有種，故不同的排列方法種數(shù)為56=30，填30122組合第一課時一、復習引入： 1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 3排列的概念：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一