高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題(附答案)

1、()高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題1、已知函數(shù)f (x). 2 xarcta n(x2），則函數(shù)f （x）的定義域?yàn)椋?,2），（1,3，1,2，（，2.2、已知函數(shù)f （x）的定義域?yàn)?,1，則函數(shù) f (. 2x）的定義域?yàn)椋ǎ?，(1,2)，0，1,1,2.3、已知函數(shù)f (x)arcs in |x 1 |，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?,1，（1,1，（0,2），0,2.4、 lim xsin（、選擇題(x1不存在05、下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 loga(x 、X21)， COSX，2.6、F列函數(shù)中是相同函數(shù)的是 f(x) -,g(x)1xf(x)vx4 x3, g(x) f(x) x,g(x)G.x)2

2、f(x)2lg x ,g(x) 2lg x2，+9、7、sin3x limx 0 x1lim 1 2x xlimx 0arcsinxx1， 2,不存在.x10、limX11、limX22x2 2x 42 -x 3x102,不存在.12、2 xlimXe2，13、limXarctan xX不存在.14、e2，15、當(dāng) X0時(shí)，下列函數(shù)為無窮小量的是 sin x x2 sin11 In(x 1) 1 XXXX16、 當(dāng)x0時(shí)，與tan 2x等價(jià)的無窮小量是() X，X，2X，X2.17、 下列函數(shù)在指定變化趨勢下是無窮小量的是() ex, x ln x, x 1， ln x, x 0 ， ex,

3、x18、下列函數(shù)在指定變化趨勢下不是無窮小量的是 ln x,x 1， cos x,x 0，sing,x19、當(dāng)x 0時(shí)，與sin2x等價(jià)的無窮小量是 X，X，2X，X2.20、點(diǎn)X 0是函數(shù)f(x)XX,X 0的ex 1,x0連續(xù)點(diǎn)可去間斷點(diǎn)()第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)，但不是可去間斷點(diǎn)21、函數(shù)y f (x)由參數(shù)方程acostasint sint tantcott sect22、設(shè) y e x,則dyxe xdx， e xdx， e dx,2 x23、設(shè) y1e 則dy1 ex dx，1 e xdx ,x1ex dx ,x11 - e xdxx24、sin2 x,貝y dy2sin xco

4、sx 2cosxdx 2sin xdx sin 2xdx25、設(shè)函數(shù)f (x) |x | 則在x 0點(diǎn)處不連續(xù),連續(xù)但左右導(dǎo)數(shù)均不存在,連續(xù)且可導(dǎo),連續(xù)但不可導(dǎo)26、設(shè)函數(shù)f (x) cos | x | 則在x 0點(diǎn)處不連續(xù),連續(xù)但左右導(dǎo)數(shù)均不存在,連續(xù)且可導(dǎo),連續(xù)但不可導(dǎo)27、設(shè)函數(shù)f(x)f (x)在點(diǎn)x 0處可導(dǎo)不連續(xù)連續(xù)，但不可導(dǎo)可微28、設(shè) f (x)x23x1,1,匕，則f(x)在x=1處1既可導(dǎo)又連續(xù)可導(dǎo)但不連續(xù)不連續(xù)也不可導(dǎo)連續(xù)但不可導(dǎo)29、函數(shù) y sin x，貝Uy(12) cosx cosx sinxsin x30、曲線y 2x2 3x 26在點(diǎn)(3,1)處的切線的斜率k

5、3115031、設(shè)f (滄)存在，則lim 口h 02h)hf(Xo).() 2f(Xo)35、設(shè)函數(shù)f(x)在X。處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (xo)o，f (Xo)o，則 f (Xo)為 f (xo) f (Xo h) 2 f (xo h)32設(shè)函數(shù)f(x) x3 , 則在x o是函數(shù)的駐點(diǎn)與極值點(diǎn)；不是駐點(diǎn)與極值點(diǎn)；極值點(diǎn)；駐點(diǎn).33、設(shè)函數(shù)fX區(qū)間0,1滿足羅爾定理的是( )2x x 0.5 f(x)| X0.5|, f(x) c cci f (x) sin( x), f (x) x2x 2 x 0.534、設(shè)函數(shù)f X在x0的f Xo0 ,則f X在x0( )一定取極大值 一定取極小值一定

6、不取極值極值情況不確定最小值極小值最大值極大值36、d F (x)dx() F (x)dx， F (x)， F(x)dx，.F (x)37、 設(shè)sinx是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則f (x)dx()sinx C cosx Csinx cosx C xsinx C2x38、dx()X2 arcsinx C， 1 x2 C， 2 1 x2 C，丄arcsinx2 C239、dx()1 X21 arctanx C，一 arctanx2 C， x2 C， ln(1 x2) C240、下列函數(shù)中，為 y 2(e2x e 2x)的原函數(shù)的是 .()2x2 x1 2x2x2x2x1 2x2x、 e e 一(

7、e e ) e e 一(e e )2 2141、 In 2 1In 2In 2b42、da a f (x)dx f(b) f (a)f (a) f(b )43、dx ：xsinxdxxsin x 0b44、db a f (x)dx f(b) f(a),f(b ), f(a),0.二、填空題1、若f (x)的定義域?yàn)?0),則f (In x)的定義域?yàn)?、已知函數(shù)f (x) 1，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? x23、1若 f(-)x則 f(x)=4、已知函數(shù)f(x 1)2x 2x，則函數(shù)f(x)=5、已知函數(shù)f (cosx)sin2 x 2，則函數(shù) f (x)=6、7、曲線y2x2 3x 26在點(diǎn)

8、(3,1)處的切線的斜率kf (x) x(x 1)(x 2),則 f ( 1)9、f (cosx), f (u)可導(dǎo)1 則 dye2xb x0設(shè)f(x)在x 0處可導(dǎo)，則asin ax, x 010、11、(n)f(x)在點(diǎn)Xo處可導(dǎo)且貝1 -3叫Hhh h3xox012、13、14、15、16、17、1819、20、21、22、23、24、25、26、27、2&29、30、31、32、33、12?曲線y = ex 2x在x=0處的切線方程為用微分作近似計(jì)算時(shí)，31.003 函數(shù)f (x) x2 2x 3在1,2上滿足拉格朗日中值定理的函數(shù)y x . 1 x的極大值為已知函數(shù)f(x) asin

9、 x sin 2x在x-q處取得極值，則 a=若 f (x) dx xex c,則 f (x)=若 f (x)dx ex c,貝f (x) =已知e x是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，貝U xf (x)dx :1卡 dx 。x 1In xdx 2x 3x 3xdx1x 2sin t dtxm00x3x(x)2sintdt,則(x)在0,2 上曲線y sinx與x軸所圍成的圖形的面積為 :11 ( xarcsi n x)dx ；若 f (t)dtsin(x2),貝Uf (x) :dx 0已知某物體作直線運(yùn)動(dòng)速度為v(t) 3t2，則物體在t=0到t=2時(shí)間段內(nèi)的平均速度34、35、三、1、2、3、4、5

10、、6、7、89、10、11、12、13、14、1 x2 sin xcosxxm01cos xe tdt計(jì)算題 設(shè)x t 1,y 1t2 int,求理空t 2dx dx2x cost求曲線上對應(yīng)t點(diǎn)處的切線方程和法線方程y sint4設(shè) y xx(x 0),求 dy設(shè) f (x)X1x2其中為常數(shù)a,b, f (2)存在，求a, b,f的值axbx2設(shè)方程 etsi nt,確定函數(shù)y y(x),求. y e costdx t 孑已知函數(shù) ye3x cosx x ln x cos 求 y。已知函數(shù) y(1 x ) arctan x xln x 求 y。已知函數(shù) y今x, 1 x2 2 arcsin

11、x 求 y。計(jì)算由方程y2 x2 2y 1確定的隱函數(shù)y y(x)的二階導(dǎo)數(shù)。確定函數(shù)f(x) 2x3 9x212x3的單調(diào)區(qū)間與極值。求函數(shù)y x2e x的極值.求積分xsin 3xdx。求積分dx.1 x求積分/ exsecxta nx、(2x2)dx.1 esec x 12求積分()dx x(1 x) 1 x15、16、17、1819、20、21、22、23、四、1、2、3、4、5、6、7、&求積分( x arcsin x)dx1 x2求積分2 x2dx求定積分4 x 2 dx.0 .2x 1求定積分sin3 x sin5 xdx.0求定積分04J sin2xdx.求定積分1oln(x

12、1)dx求定積分1 24xcos xdx0求定積分4*dx-x應(yīng)用題與證明題由曲線yIn x, x0所圍成的平面圖形的面積 A以及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.求由曲線y x2與直線x1,x2,y0所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。拋物線y2x及直線y x2所圍圖形的面積求由曲線y2 x與直線y = x- 2所圍成的平面圖形的面積2計(jì)算曲線y x與直線x 1,y0所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積。2計(jì)算曲線y x與直線y 1所圍成的平面圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積。、 1求曲線y 和直線y=4x，x=1，y=0圍成的平面圖形（曲線下方）的面積。x求由y sinx, x

13、0及x所圍圖形的面積以及該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。9、 鐵皮做成一個(gè)容積為V。的有蓋圓柱形匣子，怎樣做才能使所用鐵皮最少10、某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x個(gè)單位的總成本為 C(x)=5x+200(元)，總收入為R(x) 15x 0.01x2。問生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品才能獲得最大利潤其最大利潤為多少。11、12、13、證明：ln(1 x) x,(x 0)1 x求證：xf(sin x)dx ? q f (sin x)dx.。x 2arctanx 0的實(shí)根個(gè)數(shù)。求f(x) x 2arctanx的極值，并討論方程14、 證明方程x2x 10在0,1內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題參考答案一、選擇題1-

14、10、 11-20、 21-30、 31-40、41-45、填空題2 2 21、(0,1)2、| x| (cos x-sin x)e11 、2,-1 12、(-2) n!13、y=3x+1 14、-1 15、16、1/2 17、5/4 18、1 19、0 20、21、ex(x+1 ) 22、ex 23、-xe-x- e-x +C 24、arctan x+C 25、xlnx-x+C26、ln| x2+3x+1|+C 27、1/3 28 、1 29、sinx 30、4 31、1232、2xcos( x)33、 4 34 、 0 35 、 2二、計(jì)算題1、解:dydx!t2 lnt,求3,寫。2dx

15、 dx2d 2yt2dx21 t2cost上對應(yīng)ty解：x cost% 2,ysint襯2 .dycostt -42t -42dxt -4sin t從而得切線方程為:y2-(x%2)或yx屈,2、sint設(shè) y xx(x0),求 dy3、法線方程為：7點(diǎn)處的切線方程和法線方程求曲線1，t42 (x _?)或 y x.2 2解：在方程y兩邊同時(shí)取對數(shù)得In y x ln x同時(shí)對x求導(dǎo)得1dyy dxIn x 1 ,dyxxln x 1dx .4、設(shè) f (x)解:a=4, b=_5,5、x設(shè)方程y6、已知函數(shù)解：yaxf (2)=42其中為常數(shù)2tetsi nt,確定函數(shù)e costet co

16、s t d sin t3 xea,b， f (2)存在，求a，y y(x),求袞b,f (2)的值sin tet cos tcost sin tsin t costdydx131.33 x cos xexlnx cos 求 y。cos xxlnx cos (e3x cosx) (xln x)e3xcosx(3x cos x)x(ln x) x In x3xecos x(3 sin x) 1 ln x7、已知函數(shù) y (1x2)arctan x xln x 求 y。2(1 x ) arctan x x In x2解：y (1 x ) arctan x xln x11、f(1)2; x2為極小值點(diǎn)

17、，極大值x 1, f(2)1求函數(shù)yx2e x的極值.2(1 x ) arctan x (1x2)(arcta nx) x In x x(ln x)2x arctan x ln x8、已知函數(shù) y 4 x, 1 x21 arcs inx求y。解：y (；x 1 x2 2 arcsi nx) G x ； 1 x2) (fares inx)22 x12x2111 x22 .1 x21 x29、計(jì)算由方程y22 x2y1確定的隱函數(shù)y y(x)的二階導(dǎo)數(shù)。解：yy x y,yx,y2 2dy 1 y y x (1 y) x2y 123dx (1 y)2(1 y)3(1 y)10、確定函數(shù)f(x)2x

18、39x2 12x3的單調(diào)區(qū)間與極值。解:函數(shù)的定義域?yàn)?,)，f (x) 6x218x 126(x2)(x1),令f (x) 0,即解6(x 2)(x 1)0,得出它的兩個(gè)根 x1 1,x22.x(,1)1(1,2)2(2,)f (x)+0一0+f(x)/21/即函數(shù)f (x)在 ,1和2, 上單調(diào)增加，在1,2上單調(diào)減少.x 1極大值點(diǎn)，極大值解：y xe x(2x),令y 0 x 0,x2,列表討論:x(-,0)0(0, 2)2(2,+ )y+y極小/極大2 x=0為極小值點(diǎn)，極小值為f (0)=0 , x=2為極大值點(diǎn)，極大值為f(2) 4e12、求積分 xsi n3xdx。解： xsi

19、n 3xdxxd cos3x =3x1x1 .cos3x cos3xdx= cos3x sin3x c333913、求積分JXxdx.解：令, x 1t,則 x t21,dx 2tdt ,14、15、16、x求積分解:解:解:17、dt(.1xe2xex(1 e2xsecx tan x)dx12sec xsecxtan x)dx12sec xxde2x.1 ed secx2sec x求積分（_vx（1(.x(1x)x)7)dxdh(1 x)求積分（x.arcs in1 x2(* x arcsin x)dx1 x2x一 dx x arcsin x1 x2求積分 .2 x2dx0令 x . 2 s

20、in t ,v2 x2dx02、2 2sin2t018求定積分4 x 2 dx.0 2x 1t) c 2(51 x) cdx2x esecxtan x ,. x arcs ine2)dx,x(1 x)x211dxxx)dxdx.1 x2xd arcs in、2 costdtdxarcta n( secx) C2x .2 dx1 x22arcta n x x arcta nx Carcs in xdxxarcsin x C02cOs2tdt 2。解：令2x4 X_2 dx0 .2x 113(t23)dt22T19、求定積分,sin3 x0sin5 xdx.、sin3x sin5xdxsin 3x

21、(1sin2x)dx3sin xcosxdx.3sin 2 xd(sin x)3sin 2 xd(sin x)20、求定積分0“sin 2xdx.解:J sin2xdx04(cossin x)dx(si nxcosx)21、求定積分1 20|n(x1)dx1 2解：In (x0 1)dx2x ln(x1 1 21)|00xdl n(x 1)ln 21 2x：dxx了 v 1.020122、求定積分4x cos xdx0解:1 24xcos xdx 012x023、求定積分dx解:原式四、應(yīng)用題與證明題1In 22x 2 arctanx |0(1 cos2x)dx12xdx0In 2212xco

22、s2xdx0x2 |00.51xd sin 2x 10xs in 2x |01sin 2xdx0sin 20.5cos222 dt 202丄dt0 1 t2t |0 2ln(1t)|0 = 4 2ln31、由曲線y In x,x e與y 0所圍成的平面圖形的面積A以及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.解：A=：l n xdx xlnx：:dx 1 ；V= ；y1 2 / 2dx；ln2 xdxxln2x： 2；ln xdx e 22、求由曲線y x2與直線x 1,x2,y0所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：2 2.2 a 31V i y dx 1 x dx 53、拋物線y x2及直

23、線y x 2所圍圖形的面積.解：y x2及y x 2得交點(diǎn)坐標(biāo)（-1,1）,（2,4）,面積A =21(x 2x2)dx2x4、求由曲線2yx與直線y =x -2所圍成的平面圖形的面積解:解方程組2yx得，X11x24yx 2y11y22取y為積分變量得積分區(qū)間為-1，2dA(y2 y)dy ,A21(y 229y )dy 22315、計(jì)算曲線y x2與直線x 1,y 0所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積。解：以x為積分變量，則體積微元dV xy 4xdx積分區(qū)間為0,114x dx0解：解方程組:6、計(jì)算曲線y x2與直線y 1所圍成的平面圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積。解：以y為積分變量，則體積微元dVydy積分區(qū)間為0,1V1ydy 0 2、 17、求曲線y 和直線y=4x，x=1，y=0圍成的平面圖形（曲線下方）的面積。x1i 1S f (sin t)dt tf (sint)dtf (sint)dtI 0 0 04xdx 1 dx02x2x21 1ln x |2 In 2-22求由ysi nx, x所圍圖形的面積以及該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解:0 sin xdxsin2 xdx 0 29、鐵皮做成一個(gè)容積為V。的有蓋圓柱形匣子，怎樣做才能使所用鐵皮最少解：設(shè)圓柱形匣子底半徑為r,高為h,