初中數(shù)學(xué)規(guī)律探究題的解題方法

1、初中數(shù)學(xué)規(guī)律探究題的解法指導(dǎo)廣南縣篆角鄉(xiāng)初級中學(xué)郭應(yīng)龍新課標(biāo)中明確要求： 用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系及所反映的規(guī)律， 發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。 根據(jù)一列數(shù)或一組圖形的特例進(jìn)行歸納，猜想，找出一般規(guī)律，進(jìn)而列出通用的代數(shù)式，稱之為規(guī)律探究。在歷年的中考或?qū)W業(yè)水平考試中屢見不鮮，頻繁考查，考生大都感到困難重重，無從下手，導(dǎo)致丟分。解決此類問題的關(guān)鍵是： “細(xì)心觀察，大膽猜想，精心驗(yàn)證” 。筆者認(rèn)為：只要善于觀察，細(xì)心研究，知難而進(jìn)，就會(huì)走出“山窮水盡疑無路”的困惑，收獲“柳暗花明又一村”的喜悅。一、數(shù)式規(guī)律探究通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，

2、考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。數(shù)式規(guī)律探究是規(guī)律探究問題中的主要部分，解決此類問題注意以下三點(diǎn)：1. 一般地，常用字母 n 表示正整數(shù)，從 1 開始。2. 在數(shù)據(jù)中，分清奇偶，記住常用表達(dá)式。正整數(shù) n-1,n,n+1奇數(shù) 2n-3,2n-1,2n+1,2n+3偶數(shù) 2n-2,2n,2n+23. 熟記常見的規(guī)律 1 、 4、 9、 16.n2 1 、 3、 6、 10n(n 1)21、3、7、 152n-1 1+2+3+4+ n

3、=n(n 1)21+3+5+(2n-1)=n2 2+4+6+2n=n(n+1)12+22+32 .+n 2= 1 n(n+1)(2n+1) 1 3+23+33 .+n 3= 1 n2(n+1 ）64數(shù)字規(guī)律探究反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，解決此類問題常用的方法有以下兩種：1. 觀察法例 1. 觀察下列等式： 1 1 =1- 12 2=2- 23 3=3- 34 4=4- 4223344 猜想第幾個(gè)等式為（用含 n 的式子表示）55分析：將等式豎排：1 1 =1- 1觀察相應(yīng)位置上變化的數(shù)字與序列號222 2=2-2的對應(yīng)關(guān)系（注意分清正整數(shù)的奇偶）333 3=3- 3易觀察出結(jié)果為：4414

4、 4=4- 4nn =n-n55n1n 1例 2. 探索規(guī)律： 31=3， 32=9， 33=27， 34=81， 35=243， 36=729 ，那么32009 的個(gè)位數(shù)字是。分析：這類問題，主要是通過觀察末位數(shù)字，找出其循環(huán)節(jié)共幾位，然后用指數(shù)除以循環(huán)節(jié)的位數(shù)，結(jié)果余幾，就和第幾個(gè)數(shù)的末位數(shù)字相同，易得出本題結(jié)果為：32. 函數(shù)法例 3. 將一正三角形紙片剪成四個(gè)全等的小正三角形， 再將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成更小的正三角形 ，如此繼續(xù)下去，結(jié)果如下表：所剪次數(shù)1234n正三角形個(gè)數(shù)471013an則 an=（用含 n 的代數(shù)式表示）分析：對結(jié)果數(shù)據(jù)做求差處理（相鄰兩數(shù)求差，大數(shù)減小數(shù)）

5、正三角形個(gè)數(shù)： 4、 7、 10、 13 第一次求差結(jié)果相等，用一次函數(shù)y=kx+b第一次求差： 3 3 3代入（ 1、4）（ 2、 7）解之得： y=3x+1n a =3n+1例 4. 有一組數(shù)： 1、2、5、10、17、26 請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8 個(gè)數(shù)為。分析：對這組數(shù)據(jù)做求差處理：原數(shù)125101726第一次求差：13579第二次求差：2222第二次求差結(jié)果相等，同二次函數(shù)y=ax 2+bx+c 代入（ 1、 1）（ 2、 2）（ 3、5）解之得 y= x 2-2x+2= （ x-1 ） 2+1 當(dāng) =8 時(shí)， y=50嘗試練習(xí)：1. 觀察下列等式：1 3=12

6、+2 1； 24=22+2 2；3 5=32+23 請將你猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)n(n 1) 的代數(shù)式表示出來：。2. 觀察下列各式：22=2+2； 33=3+3；44= 4+4； 55= 5+511223344設(shè) n 為正整數(shù)，用關(guān)于n 的等式表示這個(gè)規(guī)律為。3. 觀察下列各式：11=21 ；21=31 ；31=41 請你將猜想到的規(guī)律用含正整數(shù)334455n(n 1) 的代數(shù)式表示出來為。4. 已知： 2+ 2=22 2 ； 3+ 3=32 3 ；4+4 =424 ；5+ 5 =52 5 ，若338815152424210+ b =102 b 符合前面式子的規(guī)律，則a+b=。aa5. 已知

7、下列等式：13=12； 13+23 =32； 13 +23+33=62； 13+23+33+43=102由此規(guī)律可推出第n 等式：。二、圖形規(guī)律探究由結(jié)構(gòu)類似，多少和位置不同的幾何圖案的圖形個(gè)數(shù)之間也有一定的規(guī)律可尋，并且還可以由一個(gè)通用的代數(shù)式來表示。這種探索圖形結(jié)構(gòu)成元素的規(guī)律的試題，解決思路有兩種：一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，再用函數(shù)法、觀察法解決問題；另一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律，常用“拆圖法”解決問題。拆圖法例 5如圖，由若干火柴棒擺成的正方形，第圖用了4 根火柴，第圖用了7 根火柴棒，第圖用了10根火柴棒，依次類推，第圖用根火柴棒，擺第n 個(gè)圖時(shí)，要用根火

8、柴棒。（ 1）（ 2）（ 3）分析：本例可拆為即1+3=4（根）第拆為即1+3 2=7（根）；第圖可拆為即 1+33=10( 根 ) 由此可知，第圖為1+3 10=31（根），第 n 個(gè)圖為：（ 3n+1）根。例 6按如下規(guī)律擺放三角形：則第堆三角形的個(gè)數(shù)為；第（ n）堆三角形的個(gè)數(shù)為。分析：本例中需要進(jìn)行比較的因素較多，于是把圖拆為橫向和縱向兩部分，就橫向而言，把三角形個(gè)數(shù)抽出來，就是 3，5，7 這是奇數(shù)從小到大的排列，其表達(dá)式為：2n+1；就縱向而言，發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)依次增加一個(gè)：第堆有2 個(gè)，第堆有3 個(gè)，第堆有4 個(gè)，所以第（ n）堆的個(gè)數(shù)就為（n+1）個(gè)。所以第n 堆三角形的總個(gè)數(shù)為

9、：（ n+1） +(2n+1) 即 (3n+2) 個(gè)。嘗試練習(xí)：1. 如圖 7，圖 7，圖 7，圖 7，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字，按照3這種規(guī)律，第5 個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是_，第 n 個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是_2觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5 個(gè)大三角形中白色三角形有個(gè) 3圖（ 3）是用火柴棍擺成的邊長分別是1， 2，3 根火柴棍時(shí)的正方形當(dāng)邊長為 n 根火柴棍時(shí)， 設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為s ，則 s （用 n 的代數(shù)式表示s ）4用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按下圖的方式鋪地板，則第（ 3）個(gè)圖形中有黑色瓷磚_ 塊，第 n 個(gè)圖

10、形中需要黑色瓷磚 _ 塊（用含 n 的代數(shù)式表示） 5如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n 個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是通過對此專題的復(fù)習(xí)和指導(dǎo)，我想你會(huì)有所感悟，有所收獲，有所進(jìn)步的能力，體驗(yàn)成功的快樂！三、課外拓展：第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)n=n=n=（. 別忘記課后注意鞏固訓(xùn)練，展示你1.探索規(guī)律： 31=3，32=9， 33=27，34=81， 35=243， 36=729 那么32008 的個(gè)位數(shù)字是。2.1234100。觀察下列等式： 7 =7，7 =49， 7 =343， 7 =2041 由此可判斷7的個(gè)位數(shù)字是3.瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光

11、譜數(shù)據(jù)9 ， 16 ， 25 ， 36 中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧妙的大5122132門，按此規(guī)律第七個(gè)數(shù)據(jù)是。4.已知 a1=1+ 1 = 2 ， a2=21+ 1 = 3 ， a3=31+ 1 = 4 按此規(guī)律，則 a99=。123233438454155.已知1=1-1 ，13=1- 1，1=1 - 1 ，則11+21 +1+12222334342334+11)=；用相同思路探究：11+ 1+51+1=。n(n3357(2 n1)(2n1)6如圖 5，每一幅圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1 幅圖中有1 個(gè)，第 2 幅圖中有3 個(gè)，第 3 幅圖中有5 個(gè)，則第 4 幅圖中有個(gè)，第 n 幅圖中共有個(gè)第 1 幅第 2 幅第 3 幅第 n 幅圖 57如圖，由等圓組成的一組圖中，第1 個(gè)圖由 1 個(gè)圓組成，第 2 個(gè)圖由 7 個(gè)圓組成， 第 3 個(gè)圖由 19 個(gè)圓組成，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第 9 個(gè)圖形由 _個(gè)圓組成48將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1 個(gè)圖形有6 個(gè)小圓，第2 個(gè)圖形有10 個(gè)小圓，第3 個(gè)圖形有 16 個(gè)小圓，第4 個(gè)圖形有24 個(gè)小圓， ，依次規(guī)律，第6 個(gè)圖形有個(gè)小圓第 1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第 4個(gè)圖形9用邊長為 1cm的小正方形搭成如下的塔狀圖形，則第 n 次所搭圖形的周長是 _cm（用含 n 的代數(shù)式表示）。第1次第2