控制工程清華大學(xué)版頻域分析課件

1、控制工程基礎(chǔ) 第四章 第四章 頻域分析法 二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖 三、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖 四、頻域穩(wěn)定性判據(jù) 五、閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性 六、頻域指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系 七、用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)性能 八、頻域特性的計(jì)算機(jī)輔助分析 、概述 一一、頻率特性的基本概念 九、小結(jié) 第四章 頻域分析法 、概述 l 時(shí)域分析的缺陷時(shí)域分析的缺陷 高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行； 難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)性 能的影響； 當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時(shí)， 整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無(wú)法進(jìn)行。 第四章 頻域分析法 l 頻域分析的目的頻域分析的目的 頻域分析：以輸入信號(hào)的頻率為變量，在頻 率域，研究系統(tǒng)的結(jié)

2、構(gòu)參數(shù)與性能的關(guān)系。 無(wú)需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法 間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的方向； 易于實(shí)驗(yàn)分析； 優(yōu)點(diǎn)： 可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延 遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）； 可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。 第四章 頻域分析法 一一、頻率特性的基本概念 l 頻率響應(yīng)與頻率特性頻率響應(yīng)與頻率特性 頻率響應(yīng)與頻率特性的概念 22 )( )( )( )( )( )()()( s X sN sM sX sN sM sXsGsX iio )()( )( )( )( )( 21n pspsps sM sN sM sG 考慮線性定常系統(tǒng)： 當(dāng)正弦輸入 xi(t)=Xsint 時(shí)，相應(yīng)的輸出為： 第

3、四章 頻域分析法 對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其特征根-pi具有負(fù)實(shí)部，此 時(shí)其對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不因初始條件而改 變，因此，可認(rèn)為系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)。 n n o ps A ps A ps A js A js A sX 2 2 1 1 )( 假設(shè)系統(tǒng)只具有不同的極點(diǎn)，則： AA,其中為一對(duì)待定共軛復(fù)常數(shù) Ai(i = 1, 2, , n)為待定常數(shù)。 第四章 頻域分析法 )0( )( 21 21 t eAeAeAeAAetx tp n tptptjtj o n 從而： ) 1, 2, 1, 0( jj tpk rket jj 如果系統(tǒng)包含有rj個(gè)重極點(diǎn)pj，則xo(t)將包含有 類似： 的這樣一些項(xiàng)。

4、對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，這些項(xiàng)隨 t 趨于無(wú)窮大都趨近于零。 第四章 頻域分析法 因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為： tjtj o eAAetx )( j jXG js s X sGA js 2 )( )()( 22 )()( )()()( jj ejGejGjG j jXG js s X sGA js 2 )( )()( 22 其中： )(Re )(Im )()()()( )( jG jG arctgjGejGjG j 由于： 第四章 頻域分析法 上式表明，穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦激勵(lì)下 的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為同頻率的正弦信號(hào)，且輸出 與輸入的幅值比為|G(j)|，相位差為G(j)。 j ee jGXtx tjt

5、j o 2 )()( )()( 因此： )()(sin )(sin)( jGXYtY tjGX 顯然輸出信號(hào)的幅值和相角是頻率的函數(shù)，隨 頻率而變化。 第四章 頻域分析法 q 頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 q 頻率特性：系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號(hào)輸入 時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率而變化( 由0變到)的特性。 幅頻特性與相頻特性一起構(gòu)成系統(tǒng)的頻率特性。 q 幅頻特性：當(dāng)由0到變化時(shí)，|G(j)|的變 化特性，記為A()。 q 相頻特性：當(dāng)由0到變化時(shí)，G(j)的變 化特性稱為相頻特性，記為()。 第四章 頻域分析法 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 js sGjG )()( 示例 正弦輸入xi(t)=

6、Xsint 作用下的頻率響應(yīng)。 1 )( Ts K sG求一階系統(tǒng)的頻率特性及在 1 )()( jT K sGjG js 解解： 第四章 頻域分析法 22 1 )()( T K jGA TarctgjG)()( )sin( 1 )( 22 Tarctgt T XK txo 對(duì)于正弦輸入xi(t)=Xsint，根據(jù)頻率特性的 定義： 由上式可見(jiàn)，當(dāng)T1時(shí)， A() K/T () -90 第四章 頻域分析法 幾點(diǎn)說(shuō)明 q 頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù) 平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與 系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系 統(tǒng)的固有特性。 q 盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的 頻率特

7、性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元 部件的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動(dòng) 態(tài)過(guò)程的規(guī)律性也全寓于其中。 第四章 頻域分析法 q 應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路： 實(shí)際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號(hào) 都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉 級(jí)數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)， 因此根據(jù)控制系統(tǒng)對(duì)于正弦諧波函數(shù)這類 典型信號(hào)的響應(yīng)可以推算出它在任意周期 信號(hào)或非周期信號(hào)作用下的運(yùn)動(dòng)情況。 第四章 頻域分析法 q 頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系 統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性； q ()大于零時(shí)稱為相角超前，小于零時(shí)稱 為相角滯后。 t x(t), y1(t), y2(t) x(t)y

8、1(t)y2(t) 0 1()2() 第四章 頻域分析法 l 頻率特性圖頻率特性圖 奈奎斯特(Nyquist)圖（極坐標(biāo)圖、幅相頻 率特性圖） )()( )()( )()()(Im)(Re)( jjGj eAejG jQPjGjjGjG )( )( )()()()( 22 P Q arctgQPA 其中，P()、Q()分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特 性和虛頻特性。顯然： 第四章 頻域分析法 在復(fù)平面上，隨（0 ）的變化，向量 G(j)端點(diǎn)的變化曲線（軌跡），稱為系統(tǒng) 的幅相頻率特性曲線。得到的圖形稱為系 統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標(biāo)圖。 易 知 ， 向 量 G ( j) 的 長(zhǎng) 度 等 于 A () （|G(

9、j)|）；由正實(shí)軸方向沿逆時(shí)針?lè)较?繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)至向量G(j)方向的角度等于() （G(j)）。 第四章 頻域分析法 波德(Bode)圖（對(duì)數(shù)頻率特性圖） q 對(duì)數(shù)幅頻特性圖 橫坐標(biāo)：以10為底的對(duì)數(shù)分度表示的角頻率 單位 rad/s或Hz 縱坐標(biāo)：線性分度，表示幅值A(chǔ)()對(duì)數(shù)的20 倍，即： L()=20logA() 單位 分貝（dB） 第四章 頻域分析法 q 對(duì)數(shù)相頻特性圖 q 幾點(diǎn)說(shuō)明 橫坐標(biāo)：與對(duì)數(shù)幅頻特性圖相同。 縱坐標(biāo)：線性分度，頻率特性的相角() 單位 度() 在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標(biāo)采用了 對(duì)數(shù)分度，因此 =0不可能在橫坐標(biāo)上表 示出來(lái)，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感 興趣的頻

10、率范圍確定；此外，橫坐標(biāo)一般 只標(biāo)注的自然數(shù)值； 第四章 頻域分析法 在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，角頻率 變化的倍 數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為此通 常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的區(qū) 間稱為一個(gè)十倍頻程，記為decade或簡(jiǎn)寫 為 dec；頻率變化兩倍的區(qū)間稱為一個(gè)二 倍頻程，記為octave或簡(jiǎn)寫為oct。它們也 用作頻率變化的單位。 可以注意到，頻率變化10倍，在對(duì)數(shù)坐標(biāo) 上是等距的，等于一個(gè)單位。 第四章 頻域分析法 對(duì)數(shù)坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn) 通常用L()簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)幅頻特性，也稱L() 為增益；用()簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)相頻特性。 n 幅值相乘變?yōu)橄嗉?，?jiǎn)化作圖； n 對(duì)數(shù)坐標(biāo)拓寬了圖形所能表示的頻率范 圍 n

11、 兩個(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時(shí)， 其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對(duì)稱， 相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱 第四章 頻域分析法 尼柯爾斯(Nichols)圖（對(duì)數(shù)幅相特性圖） n 可以利用漸近直線繪制近似的對(duì)數(shù)幅頻 特性曲線； n 將實(shí)驗(yàn)獲得的頻率特性數(shù)據(jù)繪制成對(duì)數(shù) 頻率特性曲線，可以方便地確定系統(tǒng)的 傳遞函數(shù)； L() ()圖 第四章 頻域分析法 l 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖 傳遞函數(shù)：G(s) = K 頻率特性：G(j) = K = Kej0 實(shí)頻特性：P() = K 虛頻特性：Q() = 0 對(duì)數(shù)幅頻特性： L() = 20lgK 對(duì)數(shù)相頻特性：() = 0 幅頻特性：A

12、() = K 相頻特性： () = 0 第四章 頻域分析法 比例環(huán)節(jié)的頻率特性圖： Bode Diagram (rad/sec) ()L()/ (dB) -20 0 20 40 60 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -90 0 90 180 20lgK K 0 Re Im Nyquist Diagram 第四章 頻域分析法 l 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)： 1 1 )( Ts sG 頻率特性： jarctgT e T Tj jG 22 1 1 1 1 )( 相頻特性： () = - arctgT 幅頻特性： 22 1 1 )( T A 實(shí)頻特性： 22 1 1 )( T P

13、 虛頻特性： 22 1 )( T T Q 注意到： 2 2 2 2 1 )( 2 1 )( QP 即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖 為圓心在(1/2, 0)處， 半徑為1/2的一個(gè)圓。 0 Re Im 1/21 =0 = 45 =1/T Nyquist Diagram G(j) 慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖 第四章 頻域分析法 第四章 頻域分析法 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 q 低頻段( 1/T ) lg20lg20T 即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec 的直 線，稱為高頻漸近線。 TTLlg201lg20)( 22 第四章 頻域分析法 轉(zhuǎn)折頻率 -30 -20 -10 0 10 -90 -45 0 1/T

14、L()/ (dB) () Bode Diagram (rad/sec) 實(shí)際幅頻特性 漸近線 -20dB/dec 第四章 頻域分析法 q 轉(zhuǎn)折頻率（ 1/T ) 低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點(diǎn) 1/T，稱為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率）。 在轉(zhuǎn)折頻率處，L() -3dB，()-45。 q 漸近線誤差 慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。 TTT TT L /1,lg201lg20 /1,1lg20 )( 22 22 第四章 頻域分析法 -4 -3 -2 -1 0 0.1110 T 轉(zhuǎn)折頻率 慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線 第四章 頻域分析法 l 一階微分一階微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 對(duì)數(shù)相頻特性： () = ar

15、ctg 傳遞函數(shù)：1)( ssG 頻率特性： jarctg ejjG 22 11)( 對(duì)數(shù)幅頻特性： 22 1log20)(L 幅頻特性： 22 1)(A 相頻特性： () = arctg 第四章 頻域分析法 一階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖 0 Re Im =0 = 22 1 arctg 1 實(shí)頻特性： 1)(P 虛頻特性： )(Q 第四章 頻域分析法 一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖 注意到一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 互為倒數(shù)( = T )，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖的 特點(diǎn)，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻 特性曲線關(guān)于 0dB 線對(duì)稱，相頻特性曲線關(guān) 于零度線對(duì)稱。 顯然，一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特

16、性曲線也 可由漸近線近似描述。 第四章 頻域分析法 0 10 20 30 90 45 0 1/T L()/ (dB) () Bode Diagram (rad/sec) 0.1/T10/T 轉(zhuǎn)折頻率 實(shí)際幅頻特性 漸近線 20dB/dec 第四章 頻域分析法 由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可見(jiàn)，一階微分環(huán)節(jié)對(duì) 高頻信號(hào)有較大的放大作用，這意味著系統(tǒng) 抑制噪聲能力的下降。 l 積分積分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)： s sG 1 )( 頻率特性： 2 11 )( j e j jG 幅頻特性： 1 )(A 第四章 頻域分析法 相頻特性： () = -90 虛頻特性： 1 )(Q 對(duì)數(shù)幅頻特性：log20)(L 積分環(huán)節(jié)

17、的Nyquist圖 0 Re Im =0 = 實(shí)頻特性：0)(P 對(duì)數(shù)相頻特性： () = -90 第四章 頻域分析法 積分環(huán)節(jié)的Bode圖 -40 -20 0 20 0 -45 -90 -135 -180 0.1110100 L()/ (dB)() Bode Diagram (rad/sec) 20dB/dec 第四章 頻域分析法 l 理想微分理想微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：ssG)( 頻率特性： 2 )( j ejjG 實(shí)頻特性：0)(P 對(duì)數(shù)相頻特性： () = 90 虛頻特性： )(Q 對(duì)數(shù)幅頻特性：log20)(L 幅頻特性：)(A 相頻特性： () = 90 第四章 頻域分析法 理想微

18、分環(huán)節(jié)的Nyquist圖 0 Re Im =0 = 第四章 頻域分析法 -20 0 20 40 0 45 90 135 180 0.1110100 L()/ (dB)() Bode Diagram (rad/sec) 20dB/dec 理想微分環(huán)節(jié)的Bode圖 第四章 頻域分析法 l 振蕩振蕩環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)： 10, 212 1 )( 22 2 22 nn n ssTssT sG 頻率特性： nn nn n j j jG 21 1 2 )( 222 2 第四章 頻域分析法 2 2 2 21 1 )( nn A 幅頻特性： 相頻特性： 2 1 2 )( n n arctg 第四章 頻域分析法

19、 實(shí)頻特性： 2 2 2 2 21 1 )( nn n P 虛頻特性： 2 2 2 21 2 )( nn n Q 第四章 頻域分析法 振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖 1)0()( AA0)0()( q = 0時(shí) 2 1 )()( n AA90)()( n q = n時(shí) 0)()( AA 180)()( q = 時(shí) 第四章 頻域分析法 Nyquist Diagram =0 = =0.1 =0.2 =0.5 =1 =0.7 Re Im -3-2-10123 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 2 1 =0.3 =n 00.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.82 0 1 2 3

20、 4 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00 /n A() q 諧振現(xiàn)象 第四章 頻域分析法 第四章 頻域分析法 又振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見(jiàn)，當(dāng) 較小 時(shí)，在 = n附近，A()出現(xiàn)峰值，即發(fā)生 諧振。諧振峰值 Mr 對(duì)應(yīng)的頻率r 稱為諧振 頻率。 由于： 2 2 2 21 1 )( nn A 第四章 頻域分析法 n uuuuf ,)2()1 ()( 222 A()出現(xiàn)峰值相當(dāng)于其分母： 取得極小值。 令：0844)( 23 uuuuf 解得： 2 21u即： 2 21 nr 顯然r 應(yīng)大于0，由此可得振

21、蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧 振的條件為： 707. 022 第四章 頻域分析法 諧振峰值： 2 12 1 )( rr AM 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Mr Mp () Mr Mp 第四章 頻域分析法 2 21 n r 2 1 n d 00.20.40.60.81 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/n d/n r/n，d/n 第四章 頻域分析法 振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖 2 2 2 21lg20)( nn L q 對(duì)數(shù)幅頻特性 低頻段( n)

22、 兩條漸近線的交點(diǎn)為n。即振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn) 折頻率等于其無(wú)阻尼固有頻率。 2 2 2 21lg20)( nn L 2 1 2 )( n n arctg 第四章 頻域分析法 q 對(duì)數(shù)相頻特性 90)( n 180)( 0)0(易知： 第四章 頻域分析法 -180 -135 -90 -45 0 0.1110 /n () / (deg) = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2 = 0.3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 L()/ (dB) -40dB/dec = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2 漸近線 Bode Diagram 第四

23、章 頻域分析法 q 漸近線誤差分析 n nnn n nn L ,lg2021lg20 ,21lg20 )( 22 2 2 2 2 2 -8 -4 0 4 8 12 16 20 0.11 10 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.80 = 0.90 = 1.00 = 0.50 = 0.60 = 0.707 /n Error (dB) 第四章 頻域分析法 第四章 頻域分析法 由圖可見(jiàn)，當(dāng) 較小時(shí)，由于在 = n 附 近存在諧振，幅頻特性漸近線與實(shí)際特性 存在較大的誤差， 越小，誤差越大。 當(dāng)0.380.7時(shí)，誤差不

24、超過(guò)3dB。因此， 在此 范圍內(nèi)，可直接使用漸近對(duì)數(shù)幅頻 特性，而在此范圍之外，應(yīng)使用準(zhǔn)確的對(duì) 數(shù)幅頻曲線。 準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎(chǔ)上， 通過(guò)誤差曲線修正而獲得或直接計(jì)算。 第四章 頻域分析法 l 二階微分二階微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)： 10, 12)( 22 sssG 頻率特性：21)( 22 jjG 幅頻特性： 2222 )2()1 ()(A 相頻特性： 22 1 2 )( arctg 實(shí)頻特性： 22 1)(P 2)(Q虛頻特性： 第四章 頻域分析法 二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖 1)0()( AA0)0()( q = 0時(shí) 2)(A 90)( q = 1/時(shí) )(A180)

25、( q = 時(shí) 2222 )2()1 ()(A 22 1 2 )( arctg G(j) =0 10 = Re Im = 1/2， 第四章 頻域分析法 Nyquist Diagram 二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖 2222 )2()1 (lg20)(L 22 1 2 )( arctg 注意到二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 互為倒數(shù)( 1/n )，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖 的特點(diǎn)，二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅 頻特性曲線關(guān)于 0dB 線對(duì)稱，相頻特性曲線 關(guān)于零度線對(duì)稱。 第四章 頻域分析法 l 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)： s esG )( 頻率特性： j ejG )( 幅頻特性： 1)(A 相頻特

26、性： )(3 .57)()(rad 對(duì)數(shù)幅頻特性：0)(L 第四章 頻域分析法 第四章 頻域分析法 0 1 =0 Re Im Nyquist Diagram -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 0.1110 (rad/s) () / (deg) 10 L() / (dB) 0 -20 -10 第四章 頻域分析法 m mm e 1 1lim由于： Nn n s Nsns e 1 1 1 1 lim 易知： 其中，N為某個(gè)較大的有限值。 即延遲環(huán)節(jié)可由N個(gè)具有同一實(shí)數(shù)極點(diǎn)的有 理函數(shù)近似。 延遲環(huán)節(jié)也可近似為： 1221 1221 21 21 22 22 ss ss o

27、r s s e s 第四章 頻域分析法 l 最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng) 傳遞函數(shù)： 1 1 )( Ts sG 頻率特性： )( 22 1 1 1 1 )( Tjarctg e T Tj jG 幅頻特性： 22 1 1 )( T A 相頻特性：)(180)()(TarctgTarctg 三、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖 一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié) Nyquist Diagram 1-1 0 =0 = =0 = Re Im 慣性環(huán)節(jié)一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié) 第四章 頻域分析法 Bode Diagram -20 -15 -10 -5 0 L()/ (dB) -20dB/dec -180 -135 -90 -45 0 (

28、) / (deg) (rad/sec) 1/T 慣性環(huán)節(jié) 一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié) 第四章 頻域分析法 第四章 頻域分析法 由圖可見(jiàn)，不穩(wěn)定一階環(huán)節(jié)的幅頻特性與慣 性環(huán)節(jié)相同，而相角絕對(duì)值大于慣性環(huán)節(jié)的 相角絕對(duì)值。 該結(jié)論對(duì)其它與振蕩環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、 二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性互為對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定環(huán) 節(jié)也成立。 =0 = Re Im 0 1 振蕩環(huán)節(jié) 不穩(wěn)定 振蕩環(huán)節(jié) Nyquist Diagram /n -360 -270 -180 -90 0 10.110 () / (deg) -40 -20 0 L()/ (dB) Bode Diagram -40dB/dec 不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié) 第四章 頻域分

29、析法 10, 2 )( 22 2 nn n ss sG 不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)： Bode Diagram 0 45 90 135 180 0 10 20 () / (deg) L()/ (dB) 1/T (rad/sec) 20dB/dec 不穩(wěn)定一 階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié) 1-10 Re Im =0 =0 = = Nyquist Diagram 一階微 分環(huán)節(jié) 不穩(wěn)定一 階微分環(huán)節(jié) 第四章 頻域分析法 1)( ssG不穩(wěn)定一階微分環(huán)節(jié)： Re Im 0 =0 1 二階微分環(huán)節(jié) 不穩(wěn)定二階 微分環(huán)節(jié) Nyquist Diagram 0 20 40 0 90 180 270 360 () / (de

30、g)L()/ (dB) 10.110 Bode Diagram 40dB/dec 二階微分環(huán)節(jié) 不穩(wěn)定二 階微分環(huán)節(jié) 第四章 頻域分析法 不穩(wěn)定二階微分環(huán)節(jié)： 10, 12)( 22 sssG 最小相位環(huán)節(jié)與最小相位系統(tǒng)最小相位環(huán)節(jié)與最小相位系統(tǒng) 極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于s左半平面的環(huán)節(jié)，與其 對(duì)應(yīng)的具有相同幅頻特性、在s右半平面具有 零點(diǎn)或(和) 極點(diǎn)的 “不穩(wěn)定” 環(huán)節(jié)相比，相 頻特性的絕對(duì)值最小， 因此，稱其為最小相 位環(huán)節(jié)，而相應(yīng)的在s 右半平面具有零點(diǎn)或 (和)極點(diǎn)的 “不穩(wěn)定” 環(huán)節(jié)稱為非最小相位 環(huán)節(jié)。 延遲環(huán)節(jié)通常視為非最小相位環(huán)節(jié)。 第四章 頻域分析法 極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于s左半平面

31、系統(tǒng)稱為最小 相位系統(tǒng)。反之，稱為非最小相位系統(tǒng)。 易知，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍一定小 于相應(yīng)的非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍。 顯然，對(duì)于穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)只存在位 于s右半平面的零點(diǎn)。 第四章 頻域分析法 例如： )(, 1 1 )(, 1 1 )(, 1 1 )( 21 2 1 2 1 2 1 TT sT sT sG sT sT sG sT sT sG cba -180 -90 0 90 180 1/T11/T2 () / (deg) Ga(s) Gb(s) Gc(s) (rad/sec) 第四章 頻域分析法 Bode證明：最小相位系統(tǒng)的幅頻特性與相頻 特性存在唯一確定的關(guān)系。 第四

32、章 頻域分析法 l 系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制圖的繪制 基本步驟基本步驟 q 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串 聯(lián)形式： )()()()( 21 sGsGsGsG n )()( 2 )( 1 )( )()()( )()( 21 n j n jj j eAeAeA eAjG q 求系統(tǒng)的頻率特性： )()()( 21 21 )()()( n j n eAAA 第四章 頻域分析法 )()()()( )()()()( 21 21 n n AAAA 即： q 求A(0)、(0)；A()、() q 補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，根 據(jù)A()、() 的變化趨勢(shì)，畫出Nyquist

33、圖 的大致形狀。 第四章 頻域分析法 示例示例 解解： ) 1)(1)(1( )()( 321 TjTjTj K jHjG q 例1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下： ) 1)(1)(1( )()( 321 sTsTsT K sHsG 試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。 第四章 頻域分析法 2 3 22 2 22 1 2 111 )( TTT K A 123 ( )arctgTarctgTarctgT 0： A(0)K ： A()0 (0)0 ()270 0 Re Im K =0 第四章 頻域分析法 解解： q 例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下： ) 12 . 0)(15 . 0( 10 )()(

34、 sss sHsG 繪制系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖并求與實(shí)軸的交點(diǎn)。 ) 12 . 0)(15 . 0( 10 )()( jjj jHjG )04. 01)(25. 01 ( 10 )( 22 A 第四章 頻域分析法 2 . 05 . 090)(arctgarctg 0： A(0) ： A()0 (0)90 ()270 0 ) 11 . 0(49. 0 ) 11 . 0(10 )( 223 2 Q Nyquist圖與實(shí)軸相交時(shí)： 解得：16. 310 j 10 （ 舍去） 第四章 頻域分析法 222 ) 11 . 0(49. 0 7 )( P 又： 解得： 43. 1 7 10 )( j P -

35、7 -1.43 0 Re Im 0 第四章 頻域分析法 q 例3：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下： ) 1( ) 1( )()( 2 2 1 sTs sTK sHsG 繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。 )1 ( )1 ( )( 22 2 2 22 1 T TK A 解解： ) 1( ) 1( )()( 2 2 1 Tj TjK jHjG 第四章 頻域分析法 21 180)(arctgTarctgT 0： A(0)(0)180 ： A()0()180 T1T2 時(shí)： () T2 時(shí)： () 180 Re Im 0 0 0 T1T2 第四章 頻域分析法 Nyquist圖的一般形狀圖的一般形狀 考慮如下

36、系統(tǒng)： )( )1 ()1)(1 ()( )1 ()1)(1 ( )( 21 21 mn TjTjTjj jjjK jG vn v m q 0型系統(tǒng)（v = 0） 0： A(0)K ： A()0 (0)0 ()(nm)90 Re Im 0 K n=1 n=2 n=3 n=4 只包含慣性環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)Nyquist圖 0 第四章 頻域分析法 q I型系統(tǒng)（v = 1） 0： ： (0)90 ()(nm)90 A()0 A(0) Re Im 0 n=2 n=3 n=4 0 n=1 第四章 頻域分析法 第四章 頻域分析法 q II型系統(tǒng)（v = 2） ：()(nm)90A()0 0：(0)180A(

37、0) Re Im 0 n=2 n=3 n=4 0 第四章 頻域分析法 q 開環(huán)含有v個(gè)積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)，Nyquist曲線起 自幅角為v90的無(wú)窮遠(yuǎn)處。 q n = m時(shí)，Nyquist曲線起自實(shí)軸上的某一有 限遠(yuǎn)點(diǎn)，且止于實(shí)軸上的某一有限遠(yuǎn)點(diǎn)。 q n m時(shí)，Nyquist曲線終點(diǎn)幅值為 0 ，而相 角為(nm)90。 n-m=1 n-m=2 n-m=3 n-m=4 Re Im 0 第四章 頻域分析法 q 不含一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，相角滯 后量單調(diào)增加。含有一階或二階微分環(huán)節(jié) 的系統(tǒng)，由于相角非單調(diào)變化， Nyquist 曲線可能出現(xiàn)凹凸。 第四章 頻域分析法 l 系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)Bode圖

38、的繪制圖的繪制 考慮系統(tǒng)：)()()()( 21 sGsGsGsG n )( )()( j eAjG )()()( 21 21 )()()( n j n eAAA )()()( )(lg20)(lg20)(lg20 )(lg20)( 21 21 n n LLL AAA AL )()()()( 21 n 第四章 頻域分析法 例1 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下： )10010)(12( ) 15 . 0(1000 )()( 2 ssss s sHsG 試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。 解解： 10010 100 12 11 15 . 010)()( 2 ssss ssHsG 易知系統(tǒng)開環(huán)包括了五個(gè)典型環(huán)

39、節(jié)： 第四章 頻域分析法 10)( 1 sG s sG 1 )( 3 15 . 0)( 2 ssG轉(zhuǎn)折頻率：2=2 rad/s 12 1 )( 4 s sG 轉(zhuǎn)折頻率：4=0.5 rad/s 10010 100 )( 2 5 ss sG 轉(zhuǎn)折頻率：5=10 rad/s 第四章 頻域分析法 1001 10 25 . 090 1001 10 2905 . 00 )()()()()()( 2 2 54321 arctgarctgarctg arctgarctgarctg 100100 1lg2041lg20 lg2025. 01lg2010lg20 )()()()()()( 2 2 2 2 2 54

40、321 LLLLLL 開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻及相頻特性為： 第四章 頻域分析法 Bode Diagram -60 -40 -20 0 20 40 0.1 -270 -180 -90 0 90 1100 () / (deg)L()/ (dB) (rad/sec) L1 L2L3 L4 L5 L() () 1 2 3 4 5 -20dB/dec -40 -20 -60 245=10 第四章 頻域分析法 Bode圖特點(diǎn) q 最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v， 斜率為20v dB/dec。 q 注意到最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性可近似為： lg20lg20)(vKL 當(dāng)1 rad/s時(shí)，L()=20lgK，即最低

41、頻段 的對(duì)數(shù)幅頻特性或其延長(zhǎng)線在1 rad/s時(shí) 的數(shù)值等于20lgK。 第四章 頻域分析法 q 如果各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性用漸近線表示， 則對(duì)數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉(zhuǎn) 折點(diǎn)為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。 q 對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)， 其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化量由當(dāng)前 轉(zhuǎn)折頻率對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。 對(duì)慣性環(huán)節(jié)，斜率下降 20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)， 下降 40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升 20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升 40dB/dec。 第四章 頻域分析法 Bode圖繪制步驟 q 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)： ) 12)(1() 1( ) 12)(1() 1( )

42、()( 11 22 11 11 22 11 sTsTsTsTs ssssK sHsG qqqq v pppp q 確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率： , 2121 TT 并由小到大標(biāo)示在對(duì)數(shù)頻率軸上。 第四章 頻域分析法 q 計(jì)算20lgK，在1 rad/s 處找到縱坐標(biāo)等于 20lgK 的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率等于 -20v dB/dec 的直線，向左延長(zhǎng)此線至所有環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻 率之左，得到最低頻段的漸近線。 q 向右延長(zhǎng)最低頻段漸近線，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折 頻率改變一次漸近線斜率。 q 對(duì)漸近線進(jìn)行修正以獲得準(zhǔn)確的幅頻特性。 q 相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。 第四章 頻域分析法 例2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳

43、遞函數(shù)如下： ) 101. 0)(105. 0)(15( ) 15 . 0(100 )()( sss s sHsG 試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。 解解：開環(huán)增益K100，20lgK40 各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率分別為： sradsrad sradsrad TT T /100,/20 /2,/2 . 0 32 11 第四章 頻域分析法 Bode Diagram -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 -180 -135 -90 -45 0 45 90 (rad/sec) () / (deg)L()/ (dB) 0.2220100 0 -20 0 -20 -40 第四章 頻域分析法 l 傳遞函

44、數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定法傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定法 基本思路 對(duì)待測(cè)系統(tǒng)，在感興趣的頻率范圍內(nèi)施加正 弦激勵(lì)信號(hào)，測(cè)量足夠多頻率上系統(tǒng)輸出與 輸入的幅值比和相位差，繪制Bode圖。 根據(jù)Bode圖的漸近線確定轉(zhuǎn)折頻率及各典型 環(huán)節(jié)，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 第四章 頻域分析法 由Bode圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) q 確定對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。用斜率為 0 dB/dec、 20dB/dec 、40dB/dec的直 線逼近實(shí)驗(yàn)曲線。 q 根據(jù)低頻段漸近線的斜率，確定系統(tǒng)包 含的積分（或微分）環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。 q 根據(jù)低頻段漸近線或其延長(zhǎng)線在 1 rad/s的分貝值，確定系統(tǒng)增益。 第四章 頻域分析法 注意到系統(tǒng)低頻段漸近線可近

45、似為： lg20lg20)(vKL 若系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，則該漸近線或其延長(zhǎng) 線與0dB線(頻率軸)的交點(diǎn)為： v K 即也可由該交點(diǎn)處的頻率數(shù)值獲得系統(tǒng)增益。 若系統(tǒng)不含積分環(huán)節(jié)，低頻漸近線為 20lgK dB的水平線，K 值可由該水平漸近線獲得。 第四章 頻域分析法 q 根據(jù)漸近線轉(zhuǎn)折頻率處斜率的變化，確 定對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)。 若 =1時(shí)，斜率變化20dB/dec，則對(duì) 應(yīng)環(huán)節(jié)為： 1 1 1 s 若 =2時(shí)，斜率變化40dB/dec，則對(duì) 應(yīng)環(huán)節(jié)為：1 22 2 2 12 s s 第四章 頻域分析法 二階環(huán)節(jié)的阻尼比 根據(jù)實(shí)驗(yàn)曲線在轉(zhuǎn)折 頻率處的峰值與的關(guān)系確定。 q 獲得系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)或傳

46、遞函數(shù)。 q 根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的相頻特性曲線校驗(yàn)獲得的 傳遞函數(shù)。 若為最小相位系統(tǒng)，兩相頻特性應(yīng)大致相 符，并且在很低和很高頻段上嚴(yán)格相符。 2lg20)( n L 第四章 頻域分析法 若實(shí)驗(yàn)相頻特性曲線在高頻段（最高轉(zhuǎn)折頻 率的10倍頻程處）不等于(nm)90，則 系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。 若高頻末端，由計(jì)算得到的相位滯后比實(shí)驗(yàn) 得到的相位滯后小180，則傳遞函數(shù)中一 定有一個(gè)零點(diǎn)位于右半s平面。 若高頻末端，由計(jì)算得到的相位滯后與實(shí)驗(yàn) 得到的相位滯后相差一個(gè)恒定的變化率，則 系統(tǒng)必存在延遲環(huán)節(jié)。 第四章 頻域分析法 因?yàn)槿簦?s esG )( )()()( G j ejG )(lim)(lim

47、 G d d d d 示例 已知最小相位系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲 線如圖所示。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 第四章 頻域分析法 -20 0 -20 -40 20 0.11 20 (rad/s) L() 解解：系統(tǒng)低頻段斜率為20dB/dec，v=1。 注意到，(lg0.1，20)和(lg1，20lgK)兩點(diǎn) 位于斜率為20dB/dec的直線上。由： 120 1lg1 . 0lg lg2020 K K 第四章 頻域分析法 系統(tǒng)存在三個(gè)轉(zhuǎn)折頻率：0.1、1和20rad/s。 對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)分別為： 120/ 1 , 1 1 , 1 1 . 0 ss s 綜上所述，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ) 105. 0)(1(

48、110 120/ 1 1 11 1 1 . 0 )( sss s sss s KsG 第四章 頻域分析法 幾點(diǎn)說(shuō)明 q 通常幅值測(cè)量比相位測(cè)量準(zhǔn)確； q 測(cè)量所用的正弦信號(hào)要求無(wú)諧波或波形畸 變；頻率范圍由待測(cè)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)決定， 時(shí)常數(shù)大的系統(tǒng)，頻率范圍通常在0.001 1000Hz左右。 q 合適的正弦信號(hào)輸入幅值； q 測(cè)量裝置需有足夠帶寬，且不失真； q 可利用線性系統(tǒng)的疊加特性在線測(cè)量。 第四章 頻域分析法 l 米哈伊洛夫穩(wěn)定定理米哈伊洛夫穩(wěn)定定理 四、頻域穩(wěn)定性判據(jù) 一階系統(tǒng) 特征方程：D(s) = s + p 0 特征根：s = -p 0，系統(tǒng)穩(wěn)定。 D(s)可視為復(fù)平面上的向量

49、。 當(dāng)變化時(shí)， D(j)的端點(diǎn)沿虛軸滑動(dòng)，其 相角相應(yīng)發(fā)生變化。 s -p s -p s + p Re Im 0 在頻域該向量為：D(j) = p + j 第四章 頻域分析法 由圖易知，當(dāng)由0變化到時(shí)， D(j)逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn)90，即相角變化了/2。 2 )(arg jD j Re Im 0 D(j) -p-p 若特征根為正實(shí)根，則當(dāng)由0變化到時(shí)： 2 )(arg jD 第四章 頻域分析法 二階系統(tǒng) 0)(2)( 21 22 pspssssD nn -p1-p2Re Im 0 1 2j+p1 j+p2 -p1-p2Re Im 0 1 2 j + p1 j+p2 2 2)(argjD 當(dāng)由0變化到

50、時(shí)： 0 22 )(arg jD 當(dāng)由0變化到時(shí)： q 實(shí)根情形( 1) 第四章 頻域分析法 q 共軛虛根情形(01時(shí)，N=1/2= q/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 當(dāng)K0的情形，即由 00+ 變化時(shí)，G(j)以幅值順時(shí)針旋轉(zhuǎn)v90 。 綜上所述，對(duì)于包含積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)， 對(duì)虛軸作上述處理后，繪制Nyquist圖時(shí)需考 慮由 00+ 變化時(shí)的軌跡。 第四章 頻域分析法 即按常規(guī)方法作出由 0+ 變化時(shí)的Nyquist 曲線后，從G(j0)開始，以的半徑順時(shí)針補(bǔ)畫 v90 的圓弧(輔助線)得到完整的Nyquist曲線。 顯然，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，由于： 0 )0(ee K jG jv v 其輔助線的起

51、始點(diǎn)始終在無(wú)窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。 第四章 頻域分析法 =0 = 0 =0+ Re Im 0型系統(tǒng) =0 = Re 0 =0+ Im I型系統(tǒng) =0 = Re 0 =0+ Im II型系統(tǒng) 第四章 頻域分析法 對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，輔助線的起始點(diǎn)則由其 含有的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)決定。偶數(shù)個(gè)時(shí)，起 于正實(shí)軸，奇數(shù)個(gè)時(shí)起于負(fù)實(shí)軸。 為作圖方便，通常按由 0+ 0變化加輔助線， 即從G(j0+)開始以的半徑逆時(shí)針補(bǔ)畫v90的 圓弧。作出輔助線的Nyquist曲線方向仍然是0 0+ +。 作出輔助線后，即可應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別系統(tǒng) 的穩(wěn)定性。 第四章 頻域分析法 q 例題 例1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

52、為 ) 1( )( Tss K sG 應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解： 開環(huán) Nyquist曲線不包 圍 (-1, j0 )點(diǎn)，而q=0， 因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 =0 = 0 =0+ Re Im 第四章 頻域分析法 例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1)(1( )()( 21 sTsTs K sHsG 應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解： )1)(1 ( )( 2 2 22 1 2 TT K A 21 21 270 )180(90)( arctgTarctgT arctgTarctgT 第四章 頻域分析法 0： A(0) (0)270 ： A()0 ()2

53、70 注意到： 21 21 21 270 270 270)( TT TT arctgTarctgT 即T1T2 時(shí)，Nyquist曲線位于第一象限。 第四章 頻域分析法 T1T2 =0 = 0 =0+ Re Im =0 =0+ 由圖可見(jiàn)，Nyquist曲線順時(shí)針包圍(-1, j0 ) 點(diǎn)半次，而q1，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 Nyquist判據(jù)中“穿越”的概念 q 穿越：指開環(huán)Nyquist曲線穿過(guò) (-1, j0 ) 點(diǎn)左 邊實(shí)軸時(shí)的情況。 q 正穿越： 增大時(shí)，Nyquist曲線由上而下穿 過(guò)-1 - 段實(shí)軸。 q 負(fù)穿越： 增大時(shí)，Nyquist曲線由下而上穿 過(guò)-1 - 段

54、實(shí)軸。負(fù)穿越相當(dāng)于Nyquist曲線 反向包圍(-1, j0 )點(diǎn)一圈。 正穿越時(shí)，相角增加，相當(dāng)于Nyquist曲線正 向包圍(-1, j0 )點(diǎn)一圈。 第四章 頻域分析法 -1 + 0 Re Im = =0 q=2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)由0變化到時(shí)，Nyquist 曲線在(-1, j0 )點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之 差等于q/2時(shí)（ q 為系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)），閉環(huán) 系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 易知，上圖所示系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 l 對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù) Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 1 -1 2 3 4 = =0+ Re Im -1

55、80 -90 L() () 123 4 0 0 第四章 頻域分析法 q Nyquist圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓對(duì)應(yīng)對(duì) 數(shù)幅頻特性圖上的 0 分貝線。單位圓以外 的Nyquist曲線，對(duì)應(yīng)L()0的部分；單位 圓內(nèi)部的Nyquist曲線對(duì)應(yīng)L()0的所有頻率范圍內(nèi)的對(duì)數(shù)相 頻特性曲線與180線的穿越點(diǎn)。 第四章 頻域分析法 q Nyquist 圖中的正穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性 曲線當(dāng)增大時(shí)從下向上穿越180 線(相 角滯后減小 )； 負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性 曲線當(dāng) 增大時(shí)，從上向下穿越180線 ( 相角滯后增大)。 q Nyquist 曲線的輔助線反映在對(duì)數(shù)相頻特性 曲線上。 即將對(duì)數(shù)相頻特性曲

56、線的起始點(diǎn) (0+) 與 (0+) +v 90線相連(v 為開環(huán)積分 環(huán)節(jié)的數(shù)目)。 第四章 頻域分析法 對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù) 若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)存在 q 個(gè)位于右半s平 面的特征根，則當(dāng)在 L()0 的所有頻率范 圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線() ( 含輔助線 ) 與 -180 線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于q/2 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 例題 q 例1：系統(tǒng)開環(huán)Bode圖如下，判斷系統(tǒng)閉環(huán) 是否穩(wěn)定。 () L() -180 v 0, q 2 解解： N2 N1 2 q NN 閉環(huán)穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 q 例2：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ) 1025. 0)(11

57、. 0)(15)(110( ) 15 . 0)(1(500 )()( 2 sssss ss sHsG 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解：系統(tǒng)沒(méi)有位于右半s平面的開環(huán)特征根， 即：q0 第四章 頻域分析法 0 -90 -180 -270 -360 0.01 0.1 1 10 100 (rad/s) () -100 -50 0 50 100 150 L() / dB 閉環(huán)不穩(wěn)定。 2 1 q NN 第四章 頻域分析法 l 穩(wěn)定程度與穩(wěn)定裕量穩(wěn)定程度與穩(wěn)定裕量 開環(huán)Nyquist曲線與閉環(huán)階躍響應(yīng)的關(guān)系 0 t xo1(t) -1 = =0+ 0 Re Im q=0 閉環(huán) 不穩(wěn)定 -1 = =0+ 0

58、Re Im q=0 閉環(huán)臨 界穩(wěn)定 0 xo1(t) t 第四章 頻域分析法 -1 = =0+ = Re Im q=0 閉環(huán) 穩(wěn)定 xo1(t) t0 -1 = =0+ = Re Im q=0 閉環(huán) 穩(wěn)定 xo1(t) t0 第四章 頻域分析法 結(jié)論結(jié)論：開環(huán)Nyquist曲線與(-1, j0)點(diǎn)的接近程 度可以反映系統(tǒng)閉環(huán)的相對(duì)穩(wěn)定性， 即穩(wěn)定 程度。 增益(幅值)裕量Kg -1 Re Im 0 = g g K1 -1 1+G(j) Re Im 0 = 第四章 頻域分析法 q 相位穿越頻率g 開環(huán)Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率 g稱為相位穿越頻率。 顯然：(g) = 180。 q

59、 增益裕量 )()( 1 )( 1 gg g g jHjGA K )()(lg20 )( 1 lg20)( gg g g LA A dBK 第四章 頻域分析法 注意到：如果開環(huán)增益增加Kg倍，Nyquist將 穿過(guò)(-1, j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。因此，增益裕 量的物理意義可表述為：在保持系統(tǒng)穩(wěn)定條件 下，開環(huán)增益所允許增加的最大分貝數(shù)。 Nyquist曲線穿過(guò)(-1, j0)點(diǎn)時(shí)， Kg 0dB。 Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸不相交， Kg dB。 開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量 第四章 頻域分析法 閉環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，相位穿越點(diǎn)位于(-1, j0)點(diǎn)左 邊，Kg 0dB。 閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)，Kg 0dB。 第四

60、章 頻域分析法 g g 1/Kg1 1/Kg2 -1 Re Im = 0 Kg1 Kg2 () L() 0 -180 最小相位 穩(wěn)定系統(tǒng) 最小相位 不穩(wěn)定系統(tǒng) 第四章 頻域分析法 q 增益裕量的局限 條件穩(wěn)定系統(tǒng) -1 g1 g2 1/Kg1 1/Kg2 Re Im = 0 最小相位條件穩(wěn)定系統(tǒng) 條件穩(wěn)定系統(tǒng)需要兩 個(gè)增益裕量Kg1(1)和 Kg2 (1)共同表示。 物理意義： 條件穩(wěn)定 系統(tǒng)開環(huán)增益放大Kg1 或Kg2倍時(shí)，系統(tǒng)均達(dá) 到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 第四章 頻域分析法 增益裕量相同但穩(wěn)定程度不同的系統(tǒng) -1 Re Im 0 = c -1 Re Im 0 = (c) (c) c 第四章 頻域