機(jī)電控制工程課件

1、機(jī)電控制工程 1 第第1章章狀態(tài)反饋控制及二次型最優(yōu)控制狀態(tài)反饋控制及二次型最優(yōu)控制 1.1 簡介簡介 1.1.1狀態(tài)反饋控制的概念狀態(tài)反饋控制的概念 線性控制理論線性控制理論已發(fā)展為現(xiàn)代控制理論的一個非常重要 的獨立分支，其本質(zhì)是一種時域分析法時域分析法，即狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法，它 的目標(biāo)是要揭示系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，實現(xiàn)系統(tǒng)在一定意義下控 制的最佳化。 嚴(yán)格來講，純粹的線性控制系統(tǒng)并不存在。但在一定 條件下，將某些系統(tǒng)近似按線性化的方法處理，并不會帶來 太大誤差，應(yīng)用線性控制理論設(shè)計，基本可以滿足工程要求。 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)主要以線性控制理論為基礎(chǔ)，是線 性控制理論綜合應(yīng)用最成熟

2、、最實用的部分之一。狀態(tài)反饋 控制系統(tǒng)的分析和綜合，既涉及系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可控性與可系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可控性與可 觀性，狀態(tài)反饋與狀態(tài)估計等觀性，狀態(tài)反饋與狀態(tài)估計等基本概念，又包括極點配置、極點配置、 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器的理論與設(shè)計等基本內(nèi)容，而這些也均是現(xiàn)代控 制理論的重要基礎(chǔ)。 應(yīng)用狀態(tài)反饋方法，可以實現(xiàn)系統(tǒng)在二次性能指標(biāo)函數(shù)意義 下的控制的最優(yōu)化，即二次型最優(yōu)控制。二次型最優(yōu)控制。 機(jī)電控制工程 2 1.1.2 可控性與可觀性的概念可控性與可觀性的概念 系統(tǒng)的可控性（能控性）可控性（能控性）與可觀性（能觀性）可觀性（能觀性）是現(xiàn)代控制理論 中兩個非常重要的基本概念。是卡爾曼(Kalman)

3、在60年代初提出來 的?？煽匦钥煽匦匝芯康氖窍到y(tǒng)的輸入變量輸入變量U對系統(tǒng)的狀態(tài)變量狀態(tài)變量X的控制作控制作 用用；可觀性可觀性則研究的是系統(tǒng)的輸出變量輸出變量y對系統(tǒng)的狀態(tài)變量狀態(tài)變量X的觀測觀測 能力能力；現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)反饋，最優(yōu)控制和最優(yōu)估計狀態(tài)反饋，最優(yōu)控制和最優(yōu)估計都是以系 統(tǒng)具有可控性和可觀性為先決條件先決條件的。 圖圖1-1可控性與可觀性可控性與可觀性 機(jī)電控制工程 3 用數(shù)學(xué)的語言來講，可控性的定義是：用數(shù)學(xué)的語言來講，可控性的定義是：“在有限的時間內(nèi)在有限的時間內(nèi)(t。tf)，通，通 過改變系統(tǒng)的控制量過改變系統(tǒng)的控制量U, 如果能使系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量如果能使系統(tǒng)的全部

4、狀態(tài)變量X，由任意的初態(tài)，由任意的初態(tài) X(t。)轉(zhuǎn)移到終態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)X(tf)=0，則系統(tǒng)的狀態(tài)，則系統(tǒng)的狀態(tài) 是完全可控的是完全可控的”，簡稱，簡稱“可控可控”。如圖。如圖12；如果在有限時間內(nèi)；如果在有限時間內(nèi)( t。 tf) ，通過改變控制量，通過改變控制量u，能使系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，能使系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量X，由初態(tài)，由初態(tài) X(t。)=0轉(zhuǎn)移到終態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)X(tf)為任意值，則系統(tǒng)的狀態(tài)是為任意值，則系統(tǒng)的狀態(tài)是“完全完全 可達(dá)的可達(dá)的”，簡稱，簡稱“可達(dá)可達(dá)”。如圖。如圖l-3。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與 可達(dá)性是等價的。可達(dá)性是等價的。 圖圖

5、1-2 可控性可控性圖1-3 可達(dá)性可達(dá)性 機(jī)電控制工程 4 機(jī)電控制工程 5 機(jī)電控制工程 6 機(jī)電控制工程 7 可觀性可觀性的定義是：“在有限的時間內(nèi)( t。tf) 通過對系統(tǒng)的輸出 變量y的不斷觀測，如果能把系統(tǒng)全部全部初態(tài)初態(tài)X(t。)都唯一的確定下 來，則該系統(tǒng)是完全可觀測的”，簡稱“可可觀觀”?！叭绻谟邢?的時間內(nèi)( t。tf) ，通過對Y的不斷觀測，能把系統(tǒng)的全部全部終態(tài)終態(tài) X(tf) 都唯一的確定出來，則稱該系統(tǒng)是完全可檢測的”簡稱 “可檢可檢”。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可觀測性與可檢測性也是完 全等價的。 判定線性定常系統(tǒng)可觀的充要條件系統(tǒng)可觀的充要條件是 矩陣的秩為n,

6、即N滿秩滿秩. 1n C CA N CA 對于單輸入系統(tǒng)，單輸出系統(tǒng)或單輸入單輸出系統(tǒng)，使系統(tǒng)是對于單輸入系統(tǒng)，單輸出系統(tǒng)或單輸入單輸出系統(tǒng)，使系統(tǒng)是可控并可觀可控并可觀 的充要條件的充要條件是其傳遞函數(shù)的分子分母間是其傳遞函數(shù)的分子分母間沒有零極點對消沒有零極點對消。 機(jī)電控制工程 8 對于單輸入系統(tǒng)，單輸出系統(tǒng)或單輸入單輸出系統(tǒng)，使對于單輸入系統(tǒng)，單輸出系統(tǒng)或單輸入單輸出系統(tǒng)，使 系統(tǒng)是系統(tǒng)是可控并可觀的充要條件可控并可觀的充要條件是其傳遞函數(shù)的分子分是其傳遞函數(shù)的分子分 母間母間沒沒有零極點對消有零極點對消。 機(jī)電控制工程 9 1.2 輸出反饋與狀態(tài)反饋輸出反饋與狀態(tài)反饋 控制系統(tǒng)最基本

7、的形式是由受控系統(tǒng)和反饋控制環(huán)節(jié)所構(gòu)成的反饋系統(tǒng)。 在古典控制論中。習(xí)慣于采用輸出反饋輸出反饋；而在現(xiàn)代控制理論中，通常采用狀 態(tài)反饋，這就構(gòu)成了反饋的兩種基本形式。 1.2.1 輸出反饋輸出反饋 反饋能改變系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能，是自動控制的一個基本原理。 機(jī)電控制工程 10 圖圖1-6 未加反饋之前系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖未加反饋之前系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 圖圖17 引入反饋后系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖引入反饋后系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 機(jī)電控制工程 11 由圖可知 u = r - FX 所以 = AX+Bu = AX+B(r-FX) 即 = (A-BF)X+Br (1-4) X 加入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖變成了圖加入

8、狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖變成了圖l.7 X 式式(1-4)就是加入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程。式中，就是加入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程。式中，A、B矩陣都是原矩陣都是原 系統(tǒng)給定的，是不能任意改變的。但反饋矩陣系統(tǒng)給定的，是不能任意改變的。但反饋矩陣 F 卻是可以人為改變的，只要卻是可以人為改變的，只要 改變改變F，就可以使，就可以使(A - BF)發(fā)生改變，從而可以改變系統(tǒng)的動態(tài)性能。發(fā)生改變，從而可以改變系統(tǒng)的動態(tài)性能。 例如，當(dāng)例如，當(dāng)r = 0時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程就簡化成時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程就簡化成 = (A - BF)X (1-5) 其解為其解為 x(t) = exp(A -

9、 BF)tX(0) (1-6) 如果原系統(tǒng)如果原系統(tǒng)A所對應(yīng)的特征根不完全具有負(fù)實部，則系統(tǒng)將是不完全穩(wěn)定的，所對應(yīng)的特征根不完全具有負(fù)實部，則系統(tǒng)將是不完全穩(wěn)定的， 這時，只要適當(dāng)選取反饋陣這時，只要適當(dāng)選取反饋陣F，使，使(A - BF)所對應(yīng)的特征根均為負(fù)實部，就可所對應(yīng)的特征根均為負(fù)實部，就可 以使原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定系統(tǒng)以使原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定系統(tǒng) X 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的可控性，的可控性， 但不保證系統(tǒng)的可觀性不變但不保證系統(tǒng)的可觀性不變 0 ( , , )ABC 機(jī)電控制工程 12 1.3 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的極點配置狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的極點配

10、置 1.3.1 極點配置理論與方法極點配置理論與方法 在古典控制理論中早已知道，系統(tǒng)的各種動態(tài)性能主 要是由極點在S平面上的位置所決定的，在現(xiàn)代控制理論 中，系統(tǒng)的極點實際上就是狀態(tài)方程中的系數(shù)矩陣A所對 應(yīng)的特征根，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)確定之后，矩陣A也就確定了， 因而A所對應(yīng)的特征根是不能任意改變的。 但是，當(dāng)系統(tǒng)中引入狀態(tài)反饋之后，矩陣A變成了 (A - BF), A，B雖然不能改變，但雖然不能改變，但F是可以是可以 人為改變的，因此人為改變的，因此(A - BF)所對應(yīng)的特征根也是所對應(yīng)的特征根也是 能任意改變的，這種利用改變反饋陣能任意改變的，這種利用改變反饋陣F的辦法的辦法 來改變特征根來改

11、變特征根(極點極點)的方法的方法,稱為稱為”極點配置極點配置”。 機(jī)電控制工程 13 1.3.1.1 任意極點配置任意極點配置 為了簡單起見，我們只研究單輸入、單輸出系統(tǒng)。 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 機(jī)電控制工程 14 機(jī)電控制工程 15 以上所講的過程，只適用于狀態(tài)方程具有可控標(biāo)準(zhǔn)型的情以上所講的過程，只適用于狀態(tài)方程具有可控標(biāo)準(zhǔn)型的情 況。利用況。利用MATLAB軟件很容易將一般的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)軟件很容易將一般的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn) 型：型： sys1= ss(A,B,C,D) csys=canon(sys1,companion) 用用co1= ctrb（A，B）可計算出系統(tǒng)的可控性矩陣

12、）可計算出系統(tǒng)的可控性矩陣co1=B，AB，An-1B 用用n1= rank(co1) 可以計算出可以計算出co1的秩的秩n1, 如果如果n1=n, 則系統(tǒng)則系統(tǒng)sys1可控可控 同樣同樣,用用ob1= obsv(A, C)可計算出系統(tǒng)的可觀性矩陣可計算出系統(tǒng)的可觀性矩陣 ob1 用用n2= rank(ob1) 可以計算出可以計算出ob1的秩的秩n2, 如果如果n2=n, 則系統(tǒng)則系統(tǒng)sys1可控可控 另外另外,用用co1=gram(sys1,c)和和 ob1=gram(sys1,o)也可求出可控性和可觀也可求出可控性和可觀 性矩陣。性矩陣。 實際上，實際上，不用轉(zhuǎn)換成可控標(biāo)準(zhǔn)型不用轉(zhuǎn)換成可控

13、標(biāo)準(zhǔn)型也可進(jìn)行極點配置也可進(jìn)行極點配置,具體辦具體辦 法如下：法如下： 機(jī)電控制工程 16 機(jī)電控制工程 17 1.3.1.2 極點配置舉例極點配置舉例 例12 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試確定反饋矩陣試確定反饋矩陣F，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在S1= -2, S2 = -1+j, S3 = -1- j位位 置上置上. 解：因為給定的傳遞函數(shù)無零極點對消現(xiàn)象，所以給定系統(tǒng)為狀態(tài)完全可因為給定的傳遞函數(shù)無零極點對消現(xiàn)象，所以給定系統(tǒng)為狀態(tài)完全可 控且可觀?？厍铱捎^。 與給定傳遞函數(shù)對應(yīng)的狀態(tài)方程為 機(jī)電控制工程 18 機(jī)電控制工程 19 利用利用MATLAB可以方便地進(jìn)

14、行極點配置可以方便地進(jìn)行極點配置 對于對于SISO系統(tǒng)（單輸入單輸出系統(tǒng)），系統(tǒng)（單輸入單輸出系統(tǒng)），若 采用全反饋采用全反饋 u= -Kx 的反饋系統(tǒng)，且要使其具有指定的極點的反饋系統(tǒng)，且要使其具有指定的極點p， 即即p=eig（A-BK） 可由表 K=acker（A，B，p） 得到需添加的反饋矩陣 K。 例如例1.2 要確定反饋矩陣F，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在S1= -2, S2 = -1+j, S3 = -1- j位置上. p= -2,-1-j,-1+j; num=10; den=1,3,2,0; A,B,C,D=tf2ss(num,den) K=acker（A，B，p） 得到得到: K=

15、 1,4,4 注意反饋矩陣次序要倒過來寫注意反饋矩陣次序要倒過來寫 K=4,4,1,和上頁推導(dǎo)結(jié)和上頁推導(dǎo)結(jié) 果一致果一致. 另外注意這里的另外注意這里的K是反饋矩陣是反饋矩陣,而不是反饋傳遞函數(shù)模塊而不是反饋傳遞函數(shù)模塊. 對于對于MIMO系統(tǒng)系統(tǒng)(多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)) 可采用函數(shù)可采用函數(shù) K=place(A,B,p) X= AX+ B u 機(jī)電控制工程 20 1.4 線性二次型最優(yōu)控制線性二次型最優(yōu)控制 v式中式中Q、R是正定實對稱矩陣，若系統(tǒng)的變量為標(biāo)量是正定實對稱矩陣，若系統(tǒng)的變量為標(biāo)量(即方程為一階即方程為一階)，這時式，這時式(1- 15)就可寫成就可寫成 線性二次

16、最優(yōu)控制是在狀態(tài)空間研究線性系統(tǒng)的最優(yōu)化問題。作為優(yōu)化 依據(jù)是二次型目標(biāo)函數(shù) 機(jī)電控制工程 21 二次型最優(yōu)控制就是使上述二次型目標(biāo)函數(shù)為最小的控制。二次型最優(yōu)控制就是使上述二次型目標(biāo)函數(shù)為最小的控制。 若系統(tǒng)的輸入信號u為已知，求解滿足J為最小(如誤差為最小) 時系統(tǒng)的某些參數(shù)時，則這是屬于參數(shù)最優(yōu)控制參數(shù)最優(yōu)控制問題； 若系統(tǒng)處于某平衡狀態(tài)，要尋找一控制信號u(t)，使系統(tǒng)受 外來干擾等后，系統(tǒng)回復(fù)到原來的平衡狀態(tài)過程中，J為最小， 則這是最優(yōu)調(diào)節(jié)器最優(yōu)調(diào)節(jié)器的研究； 如果輸入信號是一理想的(所要求的)信號，使系統(tǒng)輸出信 號跟蹤該輸入信號時滿足J為最小，則這時是關(guān)于最佳跟蹤控最佳跟蹤控 制

17、制問題。 在最優(yōu)調(diào)節(jié)和最佳跟蹤控制問題中，J還表示了在調(diào)節(jié)或跟 蹤過程中，將對控制量u 的能量加以約束，這在工程中意味著 防止出現(xiàn)過大的能量輸入，而導(dǎo)致被控設(shè)備的損傷。 上式中x1 ,x2等變量代表各種物理量，在機(jī)電控制中它們可 代表位移、速度、加速度、壓力等位移、速度、加速度、壓力等。如取系統(tǒng)的平衡狀態(tài)X=0， 那么X=x1 ,x2 ，xn T 便表示系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)的偏差(或 誤差)，加一積分即為偏差的累積。式中采取各變量的平方可以 避免累積(積分)時正負(fù)偏差相互抵消。 機(jī)電控制工程 22 在最優(yōu)控制時，通常給出的條件是：系統(tǒng)的動態(tài)方程， 控制(或輸入)向量，約束條件，目標(biāo)函數(shù)，系統(tǒng)除動態(tài)

18、方程 外的其他一些必要參數(shù)。所謂最優(yōu)控制問題就是根據(jù)以上這 些條件找出最優(yōu)控制規(guī)律。最優(yōu)控制規(guī)律通常取決于：確定 的性能指標(biāo)及控制目的，約束條件，初始狀態(tài)及初始輸出， 希望狀態(tài)或希望輸出以及代表系統(tǒng)動態(tài)特性的方程式。 Q及R為權(quán)矩陣，一般要求為正定實對稱矩陣， 用來確定狀態(tài)變量與控制變量在性能指標(biāo)中所占的 比重。最后所得的控制作用函數(shù)與Q、R有關(guān)，合理 的選擇它們的數(shù)值十分重要，通常要憑經(jīng)驗多次反通常要憑經(jīng)驗多次反 復(fù)選擇復(fù)選擇，使其既能很好滿足目標(biāo)函數(shù)J的要求，又能 使系統(tǒng)在調(diào)節(jié)過程中有優(yōu)良的動態(tài)特性。在系統(tǒng)的 設(shè)計階段，可通過對系統(tǒng)的控制仿真來初步確定。 機(jī)電控制工程 23 1 .4.1

19、代數(shù)代數(shù)Riccati方程求解方程求解 設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型(A，B，C，D)已知，如果 希望這樣一個系統(tǒng)能夠滿足某種最優(yōu)的要求，最簡單的可 以引入線性二次型最優(yōu)控制指標(biāo)，即 J = 其中其中Q(t)和和R(t)分別是對狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)矩陣。一般情況下，分別是對狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)矩陣。一般情況下， 假定這兩個矩陣為定常矩陣假定這兩個矩陣為定常矩陣(即不隨時間變化即不隨時間變化)，并簡記，并簡記Q(t)=Q，R(t)=R。 線性二次型最優(yōu)控制就是求出線性二次型最優(yōu)控制就是求出J最小時的控制量最小時的控制量u(t)，從而獲得性能最優(yōu)。，從而獲得性能最優(yōu)。 為了達(dá)到這一目的，首先構(gòu)造一

20、個為了達(dá)到這一目的，首先構(gòu)造一個Hamilton函數(shù)：函數(shù)： 對對u求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù) 可以求出最優(yōu)控制信號可以求出最優(yōu)控制信號u(t)為：為： 其中P(t)矩陣就是以下Riccati方程的解： 0 0( (t t) )B BR R( (t t) )u u u u H H T T 機(jī)電控制工程 24 上面的方程是微分Riccati方程，一般是多個相互耦合的非線性微分方 程組，除了特殊情況外，一般不存在解析解。這就給求解最優(yōu)控制信 號u(t)造成了困難。因此，我們一般求解u(t)的穩(wěn)態(tài)解。即令tf趨于無 窮，則P(t)趨于一個常值矩陣，P(t)的一階導(dǎo)數(shù)趨于零，有： 上式被稱為代數(shù)Riccati方

21、程，其求解就比較容易了。 MATLAB提供了一條求解代數(shù)Riccati方程的函數(shù)care()，其基本調(diào)用 格式為 它所求解的代數(shù)Riccati方程形式為 此式中的的此式中的的X是前式中的是前式中的P 一般缺省設(shè)置一般缺省設(shè)置S=0，E=1，這樣該方程就和原始的代數(shù)，這樣該方程就和原始的代數(shù) Riccati方程一致了。方程一致了。X是求得的代數(shù)是求得的代數(shù)Riccati方程的解，方程的解，L是是 閉環(huán)狀態(tài)方程參數(shù)矩陣的特征值，閉環(huán)狀態(tài)方程參數(shù)矩陣的特征值，G是狀態(tài)反饋矩陣，是狀態(tài)反饋矩陣，RR 是殘留矩陣的是殘留矩陣的Frobenius范數(shù)。范數(shù)。 有了代數(shù)有了代數(shù)Riccati方程的解，就可以

22、求出最優(yōu)控制信號方程的解，就可以求出最優(yōu)控制信號u(t) 和和 系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。請看下例：系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。請看下例： 0 0Q Q) )S SX XE E( (B BS S) )R RX XB B( (E EX XE EA AX XA AE E T TT T1 1T TT TT T 機(jī)電控制工程 25 某控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述以及Q、R矩陣如下。試求解其代數(shù) Riccati方程的解和最優(yōu)控制信號U(f)，并繪制系統(tǒng)對兩個輸入量 的階躍響應(yīng)曲線。 本例是一個22的多輸入多輸出系統(tǒng)，因此最優(yōu)控制信號是二維的。Q是 狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣，R是控制信號的加權(quán)矩陣，其意義是衡量二者在性能 指標(biāo)J里的權(quán)重。

23、除了要求它們必須是正定矩陣之外沒有什么特殊要求。不 過不同Q和R會得出不同的代數(shù)Riccati方程的解，進(jìn)而會得出不同的最優(yōu)控 制信號u（t）。 機(jī)電控制工程 26 求解過程： 本例的解題步驟分為以下幾步： 1求解代數(shù)Riccati方程 調(diào)用care()函數(shù)可以很快得到代數(shù)Riccati方程的解。程序如下: 機(jī)電控制工程 27 結(jié)果：系統(tǒng)的代數(shù)Riccati方程的解為 機(jī)電控制工程 28 2求解系統(tǒng)的最優(yōu)控制信號 根據(jù)最優(yōu)控制信號的表達(dá)式： 得到系統(tǒng)的代數(shù)Riccati方程的解之后可以求出最優(yōu)控制信號的變 化曲線，其中，狀態(tài)反饋矩陣K等于： 緊接上一步，輸入以下代碼： 機(jī)電控制工程 29 機(jī)電

24、控制工程 30 機(jī)電控制工程 31 得到系統(tǒng)的二維最優(yōu)控制信號如圖119所示。 圖圖119最優(yōu)控制信號變化曲線最優(yōu)控制信號變化曲線 從圖l19中可以看出，在階躍輸入下，控制信號基本上在05s。07s左 右就趨于穩(wěn)定，也就是說，系統(tǒng)的過渡過程時間不會大于這個值。當(dāng)然， 在實際的控制系統(tǒng)中，最優(yōu)信號的值是不必我們手工計算的，只需求出狀 態(tài)反饋矩陣，也就是最優(yōu)控制器即可。 機(jī)電控制工程 32 3系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)曲線系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)曲線 緊接上一步，在MATLAB Command Window鍵入下列語句即 可獲得圖1.20和圖1.21所示的曲線： 圖圖120系統(tǒng)對第一個輸入系統(tǒng)對第一個輸入 量的階躍

25、響應(yīng)曲線量的階躍響應(yīng)曲線 機(jī)電控制工程 33 圖圖1 21 系統(tǒng)對第二個系統(tǒng)對第二個 輸入量的階躍響應(yīng)曲線輸入量的階躍響應(yīng)曲線 這里求解系統(tǒng)的閉環(huán)參數(shù)矩陣時用的是A+B*K而不是A- B*K， 這是因為在計算狀態(tài)反饋矩陣K時已經(jīng)包含負(fù)號了。從圖 1.20和圖l.21中還可以看出，系統(tǒng)的過渡過程時間都在 05s一07s之間. 機(jī)電控制工程 34 1.3.2線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計舉例線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計舉例 使用線性二次型最優(yōu)控制器進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計和校正的最大優(yōu)點就 是不必根據(jù)要求的性能指標(biāo)確定閉環(huán)極點的位置，只需根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng) 曲線尋找出合適的狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)矩陣即可。因為求得的控制

26、 器是誤差指標(biāo) J 最優(yōu)意義下的控制器，所以系統(tǒng)的性能也是 J 指標(biāo)意 義下最優(yōu)的。 某倒立單擺系統(tǒng)如圖1.22所示，其中小車的質(zhì)量為其中小車的質(zhì)量為M=0.5kg，倒立單擺，倒立單擺 的質(zhì)量為的質(zhì)量為m=0.2kg，小車的摩擦系數(shù)為，小車的摩擦系數(shù)為b=0.1，端點與倒立單擺質(zhì)心的，端點與倒立單擺質(zhì)心的 距離為距離為l=0.3m，倒立單擺的慣量為，倒立單擺的慣量為I=0.006kg，輸入量，輸入量u=F是施加在是施加在 小車上的外力，四個狀態(tài)變量分別是小車的坐標(biāo)小車上的外力，四個狀態(tài)變量分別是小車的坐標(biāo)x，x的一階導(dǎo)數(shù)，倒的一階導(dǎo)數(shù)，倒 立單擺的垂直角度立單擺的垂直角度，及，及的一階導(dǎo)數(shù)。輸

27、出的被控量分別是小車的坐的一階導(dǎo)數(shù)。輸出的被控量分別是小車的坐 標(biāo)標(biāo)x和倒立單擺的垂直角度和倒立單擺的垂直角度。試根據(jù)誤差指標(biāo)最優(yōu)意義下最優(yōu)的規(guī)則。試根據(jù)誤差指標(biāo)最優(yōu)意義下最優(yōu)的規(guī)則 設(shè)計線性二次型最優(yōu)控制器和相關(guān)的參考輸入以及觀測器，滿足以下設(shè)計線性二次型最優(yōu)控制器和相關(guān)的參考輸入以及觀測器，滿足以下 指標(biāo)指標(biāo) : (1)輸出量輸出量x和和 的過渡過程時間小于的過渡過程時間小于2 s， (2)輸出量輸出量x的上升時間小于的上升時間小于0.5 s (3)輸出量輸出量 的超調(diào)量小于的超調(diào)量小于20(0.35 rad/s)。 下面首先需要建立倒立單擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：下面首先需要建立倒立單擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型： 機(jī)電控制工程 35 圖圖1-22倒立單擺系統(tǒng)示意圖倒立單擺系統(tǒng)示意圖 機(jī)電控制工程 36 假設(shè)假設(shè)很小很小, sin, cos 1 1。 忽略推導(dǎo)過程忽略推導(dǎo)過程,可得出倒立單擺系統(tǒng)倒立單擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 機(jī)電控制工程 37 機(jī)電控制工程 38 機(jī)電控制工程 39 機(jī)電