貝葉斯公式應(yīng)用于推廣

1、精選文庫 PINGDINGSHAN UNIVERSITY畢業(yè)論文題 目: 貝葉斯公式若干應(yīng)用 院 系: 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專業(yè)年級(jí): 13級(jí)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 姓 名: 田明太 學(xué) 號(hào): 131390121 指導(dǎo)教師: 杜偉娟 2017年04月18日摘 要貝葉斯公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這本書中很重要的一部分，在概率論的運(yùn)算中也有著不可替代的位置。本文對(duì)貝葉斯公式進(jìn)行了詳細(xì)深入的探究，并且列舉了一些生活中的實(shí)例來說明貝葉斯的運(yùn)用以及他所適用的生活模型，為了以后我們更好深入的理解貝葉斯公式，我們必須先要了解全概率公式以及它在實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單運(yùn)用。簡(jiǎn)單的貝葉斯公式其實(shí)并不能十分滿足我們生活中的需求，所以我們要把

2、貝葉斯公式進(jìn)行深入的了解，并運(yùn)用實(shí)際的例子來證明貝葉斯公式推廣后的公式在生產(chǎn)生活中所適合的模型相比以前的貝葉斯公式更加廣闊。關(guān)鍵詞 貝葉斯公式；全概率公式； AbstractThe bayes formula is one important formulas in theory of probability, has a important role in the calculation of probability theory. Carefully analyzed in this paper, the bayes formula, and illustrates his usage a

3、nd the applicable scheme, in order to better understand the bayes formula we need to introduce the whole probability formula. In order to solve practical problems, we will be the bayes formula for promotion, promotion after the formula in practical application is illustrated by an example of the app

4、licable model wider than the original formula.Key words ：The bayes formula; Full probability formula;前 言貝葉斯公式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一書中占有很中要的位置，它集中用于計(jì)算不同事件的發(fā)生概率,它本質(zhì)上是乘法公式和加法公式的總體運(yùn)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是探索隨即狀況統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科并于十幾世紀(jì)初現(xiàn)。自出現(xiàn)這一門學(xué)科以來，已經(jīng)開始深入到各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中并占有著舉足輕重的位置。從十七世紀(jì)到現(xiàn)在很多國(guó)家對(duì)此公式有了很多方面的研究。長(zhǎng)時(shí)間以來，由于許多這方面工作人員的積極工作，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)

5、計(jì)在理論方面有了長(zhǎng)足的進(jìn)展，在實(shí)際生活中的應(yīng)用也更加的寬泛，且促成了大小不一的許多分支，并在當(dāng)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著不可替代的位置。貝葉斯公式是在1763年由貝葉斯（Bayes）這位偉大的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的，它的實(shí)質(zhì)是在事件A已經(jīng)出現(xiàn)的情況下，尋求使A出現(xiàn)的原因的概率.這個(gè)公式在我們的生活中有很多的應(yīng)用在論文中我將會(huì)一一介紹。貝葉斯公式可以幫助于人們了解一個(gè)結(jié)果即事件A出現(xiàn)的最大的可能性。運(yùn)用貝葉斯公式我們可以更加簡(jiǎn)單明了的計(jì)算生活中遇到的一些數(shù)學(xué)問題，它在數(shù)學(xué)計(jì)算中有著非常寬泛的應(yīng)用。其本質(zhì)就是在將各種前提引進(jìn)的情況下，首先把所給出的樣本空間分割成若干份，并且可以簡(jiǎn)單明了的計(jì)算出所需結(jié)果的概率，然后加以分

6、析并得出結(jié)果。在當(dāng)今的社會(huì)中，伴隨著發(fā)展的高速前行，市場(chǎng)需求的突飛猛進(jìn)，領(lǐng)導(dǎo)者不能只著眼于以前的生產(chǎn)信息，而是應(yīng)該把過往的生產(chǎn)信息和現(xiàn)在的一同考慮并加以分析，才能做出個(gè)比較全面的決策。而貝葉斯公式的主要用途就是用于處理先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率，是進(jìn)行決策的重要工具。貝葉斯公式可以用來解決醫(yī)學(xué)、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、信號(hào)估計(jì)、等一系列不確定的問題。本文首先分析了貝葉斯公式的概念，再用貝葉斯公式來解決實(shí)際中的一些問題。概率論與醫(yī)學(xué)的滲透與結(jié)合，已經(jīng)成為現(xiàn)代醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的顯著特征。利用數(shù)學(xué)方法并充分利用好貝葉斯公式及其推廣的形式，定量的對(duì)醫(yī)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)分析，使其結(jié)論更加具有可信度，更有利于促進(jìn)對(duì)病人的對(duì)癥施治。利用好貝

7、葉斯公式可以用來解決醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)決策、信息技術(shù)等一些列問題中，公式及其推廣形式的正確運(yùn)用也有助于進(jìn)一步研究多個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中目標(biāo)事件及其條件下誘發(fā)事件的概率，更有助于把握隨機(jī)事件之間相互影響關(guān)系，為生產(chǎn)實(shí)踐提供更有價(jià)值的決策信息。靈活使用貝葉斯公式會(huì)給我們的解題帶來很大方便，而這些推廣形式將進(jìn)一步拓展貝葉斯公式的適用范圍，成為我們解決更復(fù)雜問題的有效工具。第一章 貝葉斯公式的簡(jiǎn)單概述1.1貝葉斯理論的發(fā)展簡(jiǎn)述大約在三百年前，人們便開始嚴(yán)肅的考慮若不存在確定性時(shí)應(yīng)該怎么進(jìn)行推理，James Bernoulli 則是第一個(gè)構(gòu)造該問題的人，他當(dāng)時(shí)就意識(shí)到在可應(yīng)用和機(jī)會(huì)游戲的演繹邏輯與每日生活中的歸納邏輯之

8、間的不同之處。對(duì)他來說，這個(gè)未回答的問題的關(guān)鍵在于前者的機(jī)理如何能幫助處理后者的推斷問題。英國(guó)學(xué)者托馬斯貝葉斯(Thomas Bayes，17021761)在生前所作的一篇論文論有關(guān)機(jī)遇問題的求解中為Bernoulli的問題提供了回答，在文章中他便提出了著名的貝葉斯公式和一種歸納推理的方法，但是在當(dāng)時(shí)，他的理論成果并沒有受到足夠的重視，一直到他去世后他的遺著(An essay towards solving a problem in the doctrine of chances)論有關(guān)機(jī)遇問題的求解才被理查德普萊斯(Richard Price)于1763年才被整理發(fā)表，其理論價(jià)值才被世人認(rèn)知

9、。后來在他理論的基礎(chǔ)上逐漸形成了貝葉斯學(xué)派。時(shí)至今日，貝葉斯學(xué)派已經(jīng)與經(jīng)典學(xué)派一起成為統(tǒng)計(jì)學(xué)的兩大主體學(xué)派。貝葉斯學(xué)派的基本觀點(diǎn)則是：任一未知參數(shù)都可以看作隨機(jī)變量，可用一個(gè)概率分布去描述，而這個(gè)分布稱則為先驗(yàn)分布。然而這卻是經(jīng)典學(xué)派和貝葉斯學(xué)派爭(zhēng)論的焦點(diǎn)所在。貝葉斯學(xué)派認(rèn)為，可以把任一未知參數(shù)看作隨機(jī)變量，并且可以通過利用主觀的判斷和直覺，提供先驗(yàn)信息。而經(jīng)典學(xué)派只承認(rèn)利用樣本信息，不承認(rèn)利用主觀的判斷和直覺，即不承認(rèn)利用先驗(yàn)信息。關(guān)于未知參數(shù)是否能被看作隨機(jī)變量在經(jīng)典學(xué)派和貝葉斯學(xué)派爭(zhēng)論了很長(zhǎng)時(shí)間，現(xiàn)如今經(jīng)典學(xué)派已經(jīng)不反對(duì)這一觀點(diǎn)，現(xiàn)在爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是：如何利用不同先驗(yàn)信息合理的確定先驗(yàn)分布。

10、總體來說，貝葉斯學(xué)派的發(fā)展經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段：1736年Thomas Bayes提出了著名的貝葉斯定理，1763年其遺著論有關(guān)機(jī)遇問題的求解被他的朋友理查德普萊斯(Richard Price)于1763年才被整理發(fā)表，貝葉斯理論的價(jià)值才被世人所認(rèn)識(shí)，貝葉斯理論開始奠基。隨后，Laplace等人作了進(jìn)一步的工作，目前以他名字命名的定理的現(xiàn)代形式實(shí)際上是歸功于Laplace。Laplace本人不僅重新發(fā)現(xiàn)了貝葉斯定理，而且還闡述的遠(yuǎn)比貝葉斯更加清晰明了，還用它來解決天體力學(xué)，醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)，甚至法律等方面的問題。他全心全意的贊成用于推斷問題的貝葉斯公式。不過遺憾的是，Laplace取得的成功和他對(duì)概率論

11、的發(fā)展做出的巨大貢獻(xiàn)卻并不被當(dāng)時(shí)有勢(shì)力的歐洲數(shù)學(xué)家所認(rèn)可。之后雖還有一些零星的研究，但由于理論的不太完善和在應(yīng)用中出現(xiàn)了一些問題，貝葉斯學(xué)派的一些理論長(zhǎng)期不被人們所接受。進(jìn)入到上世紀(jì)50年代，貝葉斯理論便得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，60、70年代以來，其發(fā)展達(dá)到了鼎盛時(shí)期。許多專家學(xué)者投身于貝葉斯理論的研究和應(yīng)用推廣中來，并力圖從不同的角度對(duì)貝葉斯理論進(jìn)行進(jìn)一步的探討和研究。從此便形成了具有多分支的理論系統(tǒng)。目前被承認(rèn)的現(xiàn)代貝葉斯統(tǒng)計(jì)工具應(yīng)當(dāng)歸功于Jeffry、Wald、Savage、Raiffa & Schlaifer、Lindly及DeFinetti。他們都曾做過大量有意義的工作，為建立統(tǒng)一的理論體

12、系以及方法論奠定了基礎(chǔ)。貝葉斯理論系統(tǒng)中的其中一個(gè)重要分支是貝葉斯動(dòng)態(tài)模型理論，它是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Harrison教授與Steven教授在帝國(guó)化學(xué)公司（英國(guó)最大的化工產(chǎn)品生產(chǎn)企業(yè)）工作的時(shí)候，為了預(yù)測(cè)突發(fā)事件而提出發(fā)展起來的一種有名的預(yù)測(cè)方法。1976年，Harrison教授與Steven教授一起在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)上宣讀了論文貝葉斯預(yù)測(cè)，引起了人們的重視，從此在英美等國(guó)，這個(gè)方法的理論研究和應(yīng)用迅速地開展了起來。1989年，West和Harrison合著了一本貝葉斯預(yù)測(cè)和動(dòng)態(tài)模型，這本書全面地論述了這個(gè)方法。貝葉斯動(dòng)態(tài)模型及其預(yù)測(cè)理論具有很廣泛的應(yīng)用性，例如在通信、控制、人工智能、經(jīng)濟(jì)管理、氣象預(yù)報(bào)

13、等領(lǐng)域。國(guó)內(nèi)對(duì)貝葉斯理論的研究起步比較晚，初始發(fā)展較非常緩慢。張孝令教授曾在上世紀(jì)80年代向Harrison教授學(xué)習(xí)了此方法，回國(guó)后和劉福升教授在這個(gè)領(lǐng)域作了一些開拓性的研究工作，取得了豐碩的成果，對(duì)其在國(guó)內(nèi)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。對(duì)于貝葉斯動(dòng)態(tài)模型及其預(yù)測(cè)理論的研究主要是針對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)線性模型(簡(jiǎn)稱貝葉斯DLM)研究單變量DLM、多變量DLM以及矩陣變量DLM的預(yù)測(cè)理論知識(shí)及對(duì)貝葉斯決策理論進(jìn)行探討。貝葉斯理論系統(tǒng)中的另一個(gè)十分重要分支是貝葉斯決策理論。統(tǒng)計(jì)決策理論是著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家AWald(19021950)在上世紀(jì)四十年代建立起來的，他在其文章統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)中系統(tǒng)、詳細(xì)的闡述了統(tǒng)計(jì)決策理論，統(tǒng)

14、計(jì)決策理論與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)之間的差別主要在于是否涉及后果，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)著重于推斷，從不考慮用在何處或者效益如何，而統(tǒng)計(jì)決策理論引入了損失函數(shù)，用來度量效益大小，度量統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果的優(yōu)劣程度。貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷是統(tǒng)計(jì)決策萬法的基礎(chǔ)之一，首先通過采樣，修改先驗(yàn)的概率分布，以減少事物的不確定性，并在此基礎(chǔ)上制定統(tǒng)計(jì)最優(yōu)決策，因此稱這類決策為貝葉斯決策。貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論與最優(yōu)決策的結(jié)合，在商業(yè)和社會(huì)科學(xué)中得到了很大的發(fā)展，其次是在物理、化學(xué)、生物等學(xué)科領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用，如今其概念和方法在社會(huì)許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，如在工程技術(shù)、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)決策、系統(tǒng)運(yùn)籌、醫(yī)療診斷等。貝葉斯決策理論已經(jīng)如“控制論”、“信息論

15、”一樣成為了現(xiàn)代的信息控制和系統(tǒng)科學(xué)中的一個(gè)重要分支，并且在實(shí)際的有關(guān)決策中也發(fā)揮了不可替代的作用。統(tǒng)計(jì)學(xué)家們將統(tǒng)計(jì)決策理論和貝葉斯理論相結(jié)合形成了比較系統(tǒng)的貝葉斯決策理論。對(duì)貝葉斯決策理論研究的方面，Definetti 、Raiffa、Lindly都曾作過大量有意義的工作，取得了巨大的成就，堪稱現(xiàn)代貝葉斯決策分析之父；而在當(dāng)今，Smith、Berger則是貝葉斯決策理論的領(lǐng)軍人物，其對(duì)貝葉斯決策理論的完善與發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。這篇論文是在導(dǎo)師的直接指導(dǎo)下，也參閱了大量的文獻(xiàn)后，在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)貝葉斯公式作出的進(jìn)一步探討和研究。第二章 貝葉斯公式與全概率公式的推廣概述2.1貝葉斯公式的證

16、明設(shè)為樣本空間的一個(gè)分割，即之間互不相容，且，若有P( A ) 0 ， ,則。證明 由條件概率的定義（條件概率，是指在事件B發(fā)生的條件下，求另外一事件A的概率，我們記為） 對(duì)上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式, 結(jié)論得證。2.2 貝葉斯公式與全概率公式之間的聯(lián)系 在介紹了貝葉斯公式以后我們還需要介紹一下全概率公式，因?yàn)槿怕使脚c貝葉斯公式是一組互逆的公式，我們先來看下全概率公式的概念。 設(shè)為樣本空間的一個(gè)分割，即之間是互不相容的，并且，若有，則對(duì)任一事件A有 證明：因?yàn)?且互不相容，所以由可加性得： 再將代入可得 由證明可知道全概率公式是貝葉斯公式的一種變形，全概率公式與貝葉斯公式是互逆

17、應(yīng)用的。它與貝葉斯公式一樣在實(shí)際生活中也有非常廣泛的應(yīng)用。下面來探討下貝葉斯公式在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用。2.3 貝葉斯公式推廣與證明2.3.1貝葉斯公式的推廣 設(shè)當(dāng)試驗(yàn)的隨機(jī)過程不少于兩個(gè)的時(shí)候，在影響目標(biāo)事件的每一個(gè)試驗(yàn)過程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式就可以進(jìn)一步推廣. 2.3.2貝葉斯公式推廣定理設(shè)和是先后兩個(gè)試驗(yàn)過程中的劃分，為目標(biāo)事件.當(dāng),時(shí)，則有：（1）（2）（3） 證明：（1）：=同理可以證明（2）、（3）.2.4 貝葉斯公式推廣總結(jié)整理文獻(xiàn)之后，能把貝葉斯公式歸為兩種形式，事件型和隨機(jī)變量型，這是就樣本本身的性質(zhì)而言的。上述推廣結(jié)論，是由不同的技巧推廣而來的。從公式的條件出發(fā)，討論拓寬公式應(yīng)用的面。在經(jīng)典的貝葉斯公式當(dāng)中要求事件列是“互不相容”的，這方面削弱了這一條件給出廣義的貝葉斯公式，無論相容與否都可以直接計(jì)算。從公式的形式出發(fā)，增加公式的靈活度。例如：在經(jīng)典的貝葉斯公式中，樣本是離散的，但是實(shí)際計(jì)算當(dāng)中，遇到復(fù)雜事件的時(shí)候，就不太實(shí)用了，這時(shí)候可以把全概率公式推廣到隨機(jī)變量的情形。當(dāng)然，隨機(jī)變量有可能是離散的，或者是連續(xù)的，也可能是混合