高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第5講直線平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)

1、第第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 最新考綱最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn) 識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用 公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的 簡(jiǎn)單命題. 知 識(shí) 梳 理 1.直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直，就說直線l與 平面互相垂直. 任意 (2)判定定理與性質(zhì)定理 兩條相交直線 la lb a b 平行 a b 2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_， 就說這兩個(gè)平面互相垂直. 直二面角 (2)判定

2、定理與性質(zhì)定理 文字語言圖形表示符號(hào)表示 判定 定理 一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè) 平面的一條_，則 這兩個(gè)平面互相垂直 性質(zhì) 定理 如果兩個(gè)平面互相垂 直，則在一個(gè)平面內(nèi) 垂直于它們_的直 線垂直于另一個(gè)平面 垂線 交線 l l a la l 診 斷 自 測(cè) 1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.() (2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.() (3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直 于另一個(gè)平面.() (4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則 .() 解析(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與 斜交

3、或l或l，故(1)錯(cuò)誤. (2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤. (3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一 平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可 能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤. (4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，則， 故(4)錯(cuò)誤. 答案(1)(2)(3)(4) A.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于 平面 B.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直 線垂直于平面 C.如果平面平面，平面平面，l，那么l 平面 D.如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平 面 2.(必修2P56A組7T改編)下列命題中錯(cuò)誤的是

4、() 解析對(duì)于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可 能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、 平行或在平面內(nèi)，其他選項(xiàng)易知均是正確的. 答案D 3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n 滿足m，n，則() A.ml B.mn C.nl D.mn 解析因?yàn)閘，所以l，又n，所以nl，故選C. 答案C 4.(2017湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，和是 兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的 是() A.且m B.且m C.mn且n D.mn且 解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理， 可知C正確. 答案C 5.(必修2P67練習(xí)2改編)在三棱

5、錐PABC中，點(diǎn)P在平面 ABC中的射影為點(diǎn)O， (1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心. (2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的 _心. 解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心. 圖2圖1 (2)如圖2，PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB， PCAB，又ABPO，POPCP， AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG， 即CG為ABC邊AB的高.同理可證BD，AH分別為 ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心. 答案(1)外(2)垂

6、考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中， PA底面ABCD，ABAD，ACCD， ABC60，PAABBC，E是PC 的中點(diǎn).證明： (1)CDAE； (2)PD平面ABE. 證明(1)在四棱錐PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD，又ACCD，且PAACA， CD平面PAC. 又AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中點(diǎn)，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，AB平面ABCD， PAAB. 又ABAD，且PAADA， A

7、B平面PAD，而PD平面PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE. 規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有： 判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)； 面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì) (，a，la，ll). (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則 需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理 轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想. 考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì) 【例2】 (2015山東卷)如圖，三棱臺(tái) DEFABC中，AB2DE，G，H 分別為AC，BC的中點(diǎn). (1)求證：BD平面FGH； (2)若CFBC，ABBC，求證： 平面BCD平面EGH.

8、 證明(1)連接DG，CD，設(shè)CDGFM，連接MH. 在三棱臺(tái)DEFABC中， AB2DE，G為AC中點(diǎn)， 可得DFGC，且DFGC， 則四邊形DFCG為平行四邊形. 從而M為CD的中點(diǎn)， 又H為BC的中點(diǎn)， 所以HMBD，又HM平面FGH，BD 平面 FGH， 故BD平面FGH. (2)連接HE，因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)， 所以GHAB. 由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點(diǎn)， 所以EFHC，EFHC， 因此四邊形EFCH是平行四邊形， 所以CFHE.又CFBC，所以HEBC. 又HE，GH平面EGH，HEGHH， 所以BC平面EGH. 又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH

9、. 規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的 定義；面面垂直的判定定理. (2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一 個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn) 化為線線垂直. 【訓(xùn)練2】 如圖，在三棱錐PABC中， 平面PAB平面ABC，PAPB，M，N 分別為AB，PA的中點(diǎn). (1)求證：PB平面MNC； (2)若ACBC，求證：PA平面MNC. 證明(1)因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MNPB. 又因?yàn)镸N平面MNC，PB 平面MNC，所以PB平面 MNC. (2)因?yàn)镻APB，MNPB，所以PAMN. 因?yàn)锳CBC，AMBM，所以CMAB. 因?yàn)?/p>

10、平面PAB平面ABC， CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB. 所以CM平面PAB. 因?yàn)镻A平面PAB，所以CMPA. 又MNCMM，所以PA平面MNC. 考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題(多維探究) 命題角度一多面體中平行與垂直關(guān)系的證明 【例31】 (2016江蘇卷)如圖，在直 三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別 為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上， 且B1DA1F，A1C1A1B1.求證： (1)直線DE平面A1C1F； (2)平面B1DE平面A1C1F. 證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC. 在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， 所以DEAC，于是

11、DEA1C1. 又因?yàn)镈E 平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， 所以直線DE平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1. 因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1. 又因?yàn)锳1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1. 因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D. 又因?yàn)锽1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F， A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F. 因?yàn)橹本€B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F. 規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合

12、問題，一般通過作輔助 線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化. (2)垂直與平行的結(jié)合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直 的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用. 命題角度二平行垂直中探索性問題 【例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為 矩形，BCCE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn). (1)證明：AE平面BDF. (2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得 PMBE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存 在，請(qǐng)說明理由. (1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖. 四邊形ABCD是矩形， O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)， OF為ACE的中位線， OFAE，又OF平面BDF，AE 平

13、面BDF， AE平面BDF. (2)解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PMBE， 證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，P為AE的中 點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，PHAB，又ABCD，PHCD， P，H，C，D四點(diǎn)共面.平面ABCD平面BCE， 平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC. CD平面BCE，又BE平面BCE， CDBE，BCCE，H為BE的中點(diǎn)， CHBE， 又CDCHC， BE平面DPHC，又PM平面DPHC， BEPM，即PMBE. 規(guī)律方法(1)求條件探索性問題的主要途徑：先猜后 證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過命題成 立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分

14、性. (2)涉及點(diǎn)的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的 位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等 分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn). (1)求證：AC平面FBC. (2)求四面體FBCD的體積. (3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA平面FDM？若存在， 請(qǐng)說明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由. (3)解線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA平 面FDM.證明如下： 連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN. 因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn). 所以EAMN.因?yàn)镸N平面FDM，EA 平面FDM， 所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中 點(diǎn)，使得EA平面FDM成立. 2.證明面面垂直的方法 (1)利用定