不等式的易錯點以及典型例題

1、不等式的易錯點以及典型例題1. 同向不等式能相減，相除嗎？2. 不等式的解集的規(guī)書寫格式是什么？（一般要寫成集合的表達(dá)式）3. 分式不等式牛M“hO）的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分g（x）解因式，“的系數(shù)變?yōu)檎?，奇穿偶回?. 解指數(shù)對數(shù)不等式應(yīng)該注意什么問題？（指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù) 的真數(shù)大于零.）5. 含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據(jù)定義分類討論）6. 利用重要不等式a + b2yb以及變式ab ab+bc + ca （當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 日寸 取等號）；&在解含有參數(shù)的不等式時，怎樣進(jìn)行討論？（特別是指數(shù)和對數(shù)的底0VQV1 或dl）

2、討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解集是9. 解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是 關(guān)鍵”10. 對于不等式恒成立問題，常用的鬼理方式？（轉(zhuǎn)化為最值問題）11. 在解決有關(guān)線性規(guī)劃應(yīng)用問題時，有以下幾個步驟：先找約束條件，作出可 行域，明確目標(biāo)函數(shù)，其中關(guān)鍵就是要搞清目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找可行域時要 注意把直線方程中的y的系數(shù)變?yōu)檎?。如：?5a-2b4,-33a+b3求a+bWORD版本的取值圍，但也可以不用線性規(guī)劃。11不等式易錯典型例題（1）未等價轉(zhuǎn)化致錯例題1 :已關(guān)一a+b3R2a-b貝2a+3b的取值圍是9 13I）（-刑）13 177 11

3、7 13（-* B （-，-） C （-，y）錯解：對條件“一10+方3且2。一50恒成立，于是函數(shù)的圖像開口方向向上，且圖橡 匕 站工亠七 lw2 + 4w-50與X軸無處點。故彳宀 = 4（1 一加）一 4*3（?* + 4朋一 5） 0解得 1jm19即所求m的取值范圍為1血19剖析；題設(shè)巾的函數(shù)未必時二次函數(shù)，也就是說缺少對川十鈿-5是否為0的討 論。正解*當(dāng)莎十伽-5工0時，同上述斛答有1 w 0恒成立；若m=5,則已知函數(shù)化為y = 24x+3,對xeR.y0不恒成立，故此情形舍去。 所以m的取值范圍為19WORD版木(3) 是否取端點致錯例題3=已知集合川=x| x2-x-25

4、0：B = x|q q + 3,且4個療=0,則實數(shù) a的取值范圍是錯解，A = x|.r -.r-20 =.r|-lx2或a+32或*-4,所以實數(shù)a的取 值范圍是(72或(7-4。剖析=上面的解法錯誤原因在于忽視了集合 = .r|-lx2Jca + 30:Xi + X, 4 = 4(w - 2)2 - (5 - w) 02 - w? 45 - ? 4解得w 4且wk4與Xj 2K.x2 2不等價，事實上，由后者可以 推岀前者，但是由前者卻推不岀后者。正解=設(shè)兩根為忑入，則有題意可得=(w - 2)2 - (5 - w?) 02 - w 45 + w 4；A0|(兀 一 2) + 任2-2)

5、0 =： |、(兀一2)也一2)0 解得-5 w l成立的充分不必要條件是WORD版木A |+y|l B卜 | 或卜| 丄C x1) x 2x)% + 2xj*當(dāng)目僅x=V時取“y1 忽視條件定值I 4T衛(wèi)b 0，求f(0)= Q.十二的最小值。cos* & soT 0錯解：/(=上十一一 = 2abcos* & sin* 0 Y coy 0 sin* & sin &cqs B當(dāng)且僅當(dāng)上二二彳，即tan& = cos* 0 siir eaz 卄lab4ab4ab“、門、此時=2(礦+獷)sin&cos。sin 20 *tan a2 + k + 2ab = (a + b)2 當(dāng)且僅當(dāng)/ tair

6、 8 = -X-，即當(dāng)tan 0 = J-時，tan* 6 a0rJl/()的最小值為(疔 忽視條件取等號例題7：求函數(shù)y = 4=it的最小值。屈+ 4錯解：函數(shù)廠_二41_丄1“JF + 4丁% + 4yjx2 +4所以函數(shù)的最小值為2。剖析使用基本不等式求函數(shù)的最值時，一定驗證等號成立的條件即a + b lyfab,只有q = b才能収等號上述解法在等號成立時，在實數(shù)范圍內(nèi)是不成立的。正解=y =x2+5477a_ x2+4+1+4t=V?74 2?廠1在宀2時是單謂遞増的, t例7T若實數(shù)m * n * x * y滿足m?+n?=a * x+yb (aHb)，則inx+ny的最大值為(

7、B y/abC、aba + b答案：B點評：易誤選A，忽略運用基本不等式成立的條件。 多次使用忽視等號旻否同時成立WORD版木14例題附已知兩個正實數(shù),満定 x + y=A y 求X+J-的聶小值錯解二由已知得4 = *+*2辰7型蘭4；+ ；怎=總沙所臥丄十4最小倍是2X *剖析：上述解法中兩次使用基本不等式，其中w xy4149BP + 最小值為二*y4例題 8-1:實數(shù) ni, n, x, y 滿足 inn-a , x+yb ,貝 U mx+ny 的最大值是。A、 ；B、4cibC、J_ ；bI）、yla2 +b2答案：B錯解：A2.222i錯因：忽視基本不等式使用的條件，而用 庶+ 必

8、 -+_：_ = 午2 厶厶乙得出錯解。正解：三角函數(shù)換元法WORD版木i殳 m= 4a . cosA,n=循 s i nA;x= yfb . cosB,y二麗 s i nB則 mx+ny= ( 4a . cosA) ( 4b . cosB) + ( 4a . cosB) ( y/b sinB) =sin(A-B)因此mx+ny的最大值是 用均值不等式時忽略實際情況例題9 ：數(shù)列弘的通項式，則數(shù)列弘中的最大項是()ir +90A、第9項B、第8項和第9項C、第10項I)、第9項和第10項答案：I)點評：易誤選A，運用基本不等式，求心=一7，忽略定義域N*。11 + n(6) 綜合應(yīng)用中考慮不全

9、致錯例題10 :如果log|jrrrg那么S貶的取值圍是(c、正確答案：B 錯因:利用真數(shù)大于零得X不等于60度，從而正弦值就不等于，于是就選 了 I).其實x等于120度時可取得該值。故選B。(7) 不會應(yīng)用幾何意義致錯例題11 - x為實數(shù)，不等式|x 3| |x 1 |m恒成立則m的取值圍是()A. m2B. m 2D. ni 2正確答案：1)0WORD版木錯誤原因：容易忽視絕對值的幾何意義，用常規(guī)解法又容易出錯。(8) 數(shù)形結(jié)合應(yīng)用不當(dāng)致錯例題 12 : f(x)= I 2X-1 |，當(dāng) abf(c)f(b)則()A a0,b0,c0 B a0,c0 C 2a 2C I) 2 “+2Y

10、2正確答案：I) 錯因：學(xué)生不能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題。(9) 換元后的取值圍不對致錯仞U 13 :已東usinx + sin y =求sinx-cos2 y的最大值和最小值。錯解一 ：sinx-cos2 y = (sinx + -)2 -6 12當(dāng)sin*時，取得最小值-護(hù)當(dāng)sinF時，取得最大值1；錯解二:sinx-cos2 y = (cosx-)2，2 121 114當(dāng)cosx =時，取得最小值-一；當(dāng)cosx = -l時，取得最大值一；2 123正解分析：解法二忽略了圍限制，-1 sin y應(yīng)由1-lsinx = -3-sin v S 1得:-sinyl12.線性規(guī)劃典型題型由已知

11、條件寫出約束條件，并作出可行域，進(jìn)而通過平移直線在可行域求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是最常見的題型，除此之外，還 有以下六類常見題型。(1) 求線性目標(biāo)函數(shù)的取值圍WORD版木x2例1：(一次函數(shù)型)若x、y滿足約束條件y2圍是 ()A、2,6 B 2,5 C、3,6 D(3,5解：如圖，作出可行域，作直線/ ： x+2y=0 將 /向右上方平移，過點A (2,0)時，有最小值 2,過點B (2,2)時，有最大值6,故選A拓展：思考二次函數(shù)型指數(shù)函數(shù)型對數(shù)函數(shù)型等。(2) 求可行域的面積2x + y - 6 0 例2：不等式組lx+y-3 由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可 選B3 ：在

12、平面直角坐標(biāo)系xoy中 已知集合八=和、.)|丿x-y0v則集合y 0例4 :在平面直角坐標(biāo)系中，不算式組)x-2y0 表示的區(qū)域為M，/x/ + l示的 x+y-30區(qū)域為N，若1CV2，則M與N公共部分面積的最大值為WORD版木解：因為先根據(jù)題意中的條件畫出約束條件所表示的圖形，再結(jié)合圖形求公共部分的面積為 f (t)即可，注意將公共部分的面積分解成兩個圖形面積之差，那么可知公共部分的面積為S = SAAOE Sys = EOxl t (2 (t +1) 借助于二次函數(shù)得到最大值；222o(3) 求可行域中整點個數(shù)x+y2x-y2 -x+y2 _x_y 0, y 0)解：|x|+ |y|W

13、2等價于/(X X 0, y Y 0)(xyOjAO)(xyO,，yO)作出可行域如右圖，是正方形部(包括邊界)，容易得到整 點個數(shù)為13個，選D(4) 求線性目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值圍x+y5例6 :巳知x、y滿足以下約束條件x-y + 50)x 則a的值為)01IA、一3 B、3 C、一1D、1解：如圖，作出可行域，作直線1 : x+ay = 0 要使目標(biāo)函數(shù) z=x+ay(a0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個 則將/向右上方 平移后與直線x+y=5重合，故a=l，選D2 4例7 ：如圖，目標(biāo)函數(shù)z=ax-y的可行域為四邊形 以飯含邊界) 若(,=)是 該目標(biāo)函數(shù)z=ax-y的最優(yōu)解則a的取值圍是

14、(A )D (冉)5 10(5) 距離平方型目標(biāo)函數(shù)的最值WORD版木例8：已知xy滿足以下約束條件丿2x+y-20x-2y + 40 則z=x2+y2的最大值和3x - y - 3 y)到原點的距離的平方 故最大 值為點A ( 2, 3)到原點的距離的平方，即|A0|2=13 最小值為原點到直線42x+y- 2=0的距離的平方，即為一，選C5(6) 求約束條件中參數(shù)的取值圍例9 ：巳知|2x-y+m| 0解：S-y+十3等價于Lvom + 3 3由右圖可知丿，故0皿3，選Cm - 3 (A) |，6(C) (一8 3u6 +8)V解析:是可行域的點與原點05(0，0)連線的斜率，當(dāng)直線過點Q 最小值碁；