(完整版)勾股定理知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、八下第18章勾股定理勾股定理知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)航一、勾股定理：1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a, b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+ b2= c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長(zhǎng)的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)角形。2. 勾股數(shù)：滿(mǎn)足 a2+ b2 = c2的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)(注意：若a, b, c、為勾股數(shù)，那么 ka, kb, kc同樣也是勾股數(shù)組。)* 附：常見(jiàn)勾股數(shù)：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,133. 判斷直角三角形：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2+b2=c2，

2、那么這個(gè)三角形是直角三角形。(經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五)其他方法：(1)有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形。(2) 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：(1) 確定最大邊(不妨設(shè)為 c)；(2) 若c2 = +則厶ABC是以/ C為直角的三角形;若a2+ b2 c2,則此三角形為銳角三角形(其中c為最大邊)4. 注意：(1)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半(2)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于(3 )在直角三角形中，如果一條直角邊等于 斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角 等于30。5. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的兩邊求第三邊。

3、(2) 已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。(3) 用于證明線(xiàn)段平方關(guān)系的問(wèn)題。(4) 利用勾股定理，作出長(zhǎng)為 、n的線(xiàn)段6. 2、勾股定理的證明30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。BbC勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法7、錯(cuò)誤的描述方法：“當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形勾股定理:（一）結(jié)合三角形:1. 已知 abc的三邊a、b、c滿(mǎn)足（a b）2 （b c）20，則 abc為三角形2. 在 ABC中，若 a2=（ b+c）（ b-c），則 ABC是三角形，且 903. 在 ABC中，AB=13 AC=15,高 AD=12 _則 BC的長(zhǎng)為 4.

4、已知x 12 x y 25與z210z25互為相反數(shù)，試判斷以x、y、z為三邊的三角形的形狀。5、.已知：在abc中，三條邊長(zhǎng)分別為 a、b、ca = n212b=2 n，c = n 1 ( n 1)試說(shuō)明：c=906.若 abc的三邊a、b、c滿(mǎn)足條件a2 b22c 33810a24b 26c，試判斷ABC的形狀。7.已知6 2b 8 (c 10)20,則以a、b、c為邊的三角形是 （二）、實(shí)際應(yīng)用:1. 梯子滑動(dòng)問(wèn)題：（1）一架長(zhǎng)2.5 m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7 m （如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4 m，那么梯子底端將向左滑動(dòng) 米A、第3題圖(2) 如圖，

5、一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動(dòng)距離1 米，(填“大于”，“等于”，或“小于”)(3) 如圖，梯子 AB斜靠在墻面上，AC BC, AC=BC當(dāng)梯子的頂端 A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB 方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是()A. X+y B. xy C. x y D.不能確定(4) 小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子吹到地面上還多1 m,當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi) 5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問(wèn)旗桿的高度為 米2. 直角邊與斜邊和斜邊上的高的關(guān)系:直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊上的高為h,

6、則下列式子總能成立的是2 2 2A. ab b b. a 2 2b 2h C.111D.abh1h2變：如圖，在Rt ABC中，/ACB=90，求證：(1)(2)1 1 2aba b c以 a b， h， c h(3)為三邊的三角形是直角三角形試一試：(1)只需證明h2(2a1，從左邊推到到右邊,2,2(2)abch(3)ah2h2c h2，注意面積關(guān)系ab ch的應(yīng)用3. 爬行距離最短問(wèn)題:1. 如圖，一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為10cm,得到。4處有一只昆蟲(chóng)甲，在盒子的內(nèi)部有一只昆蟲(chóng)乙（盒壁的忽略不計(jì)）（1）假設(shè)昆蟲(chóng)甲在頂點(diǎn) C1處?kù)o止不動(dòng)，如圖a，在盒子的內(nèi)部我們先取棱 BB1的中點(diǎn)E,

7、再連結(jié)AE、EC1，昆蟲(chóng)乙如果沿途徑 A EC1爬行，那么可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲(chóng)甲，仔細(xì)體會(huì)其中的道理,并在圖b中畫(huà)一條路徑，使昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn) A沿這條路爬行，同樣可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲(chóng)甲。（2）如圖b，假設(shè)昆蟲(chóng)甲從點(diǎn) C1以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿 C1C向下爬行，同時(shí)昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn) A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲(chóng)乙至少需要多少時(shí)間才能捕捉到昆蟲(chóng)甲？試一試：對(duì)于（2），當(dāng)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)沿棱C1C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲(chóng)乙可以沿不同的路徑爬行,利用勾股定理建立時(shí)間方程，通過(guò)比較得岀昆蟲(chóng)乙捕捉到昆蟲(chóng)甲的最短時(shí)間2. 如圖，一塊磚寬 AN=5cm，長(zhǎng)ND=10cm，CD上

8、的點(diǎn)F距地面的高FD=8cm，地面上A處的一只螞蟻到 B處吃食，要爬行的最短路線(xiàn)是cm3. 如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2 dm，a和b是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只昆蟲(chóng)想到 B點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲(chóng)沿著臺(tái)階爬到 B點(diǎn)的最短路程是 分米？4. 如圖，一只螞蟻沿邊長(zhǎng)為 a的正方體表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn)B,則它走過(guò)的路程最短為（）a. 、3a b. 1. 2 a c. 3a d. 、5aB5、如圖，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直

9、線(xiàn)，而是繞著油罐，沿條螺旋路線(xiàn)，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng) ？（n取3）6、如圖為一棱長(zhǎng)為 3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面 A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的 B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘?7葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常饒著樹(shù)干盤(pán)旋而上，它還有一手絕招, 就是它繞樹(shù)盤(pán)升的路線(xiàn)，總是沿著短路線(xiàn)一盤(pán)旋前進(jìn)的。難道植物也懂得數(shù)學(xué)嗎？如果閱讀以上信息，你能設(shè)計(jì)一種方法解決下列問(wèn)題嗎？如果樹(shù)的周長(zhǎng)為 3 cm,繞一圈升高4cm,則它爬行路程是多

10、少厘米？如果樹(shù)的周長(zhǎng)為8 cm,繞一圈爬行10cm,則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達(dá)樹(shù)頂，則樹(shù)干高多少厘米？8如圖，A、B是筆直公路I同側(cè)的兩個(gè)村莊，且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是300m和500m兩村莊之間的距離為 d（已知d2=400000m），現(xiàn)要在 公路上建一汽車(chē)?？空?，使兩村到停靠站的距離之和最 小。冋最小是多少?4、實(shí)際問(wèn)題1. 小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了 500米，看到了一棵紅葉樹(shù)， 這棵紅葉樹(shù)離地面的高度是米。2. 如圖，山坡上兩株樹(shù)木之間的坡面距離是4晅米，則這兩株樹(shù)之間的垂直距離是 米，水平距離是米。3. 如圖，一根12米高的電線(xiàn)桿兩側(cè)各用1

11、5米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離是。4. 如圖，欲測(cè)量松花江的寬度， 沿江岸取B、C兩點(diǎn)，在江對(duì)岸取一點(diǎn) A，使AC垂直江岸，測(cè)得BC= 50米,/ B= 60，則江面的寬度為 。AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米,假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00米以?xún)?nèi)會(huì)受到噪音影響， 那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少?A5、求邊長(zhǎng):1. 如圖所示，在四邊形 ABCD中，/ BAD=90，/ DBC=9( , AD=3 AB=4, BC=12 求 CD6、方向問(wèn)題：1. 有一次，小明

12、坐著輪船由 A點(diǎn)出發(fā)沿正東方向 AN航行，在A點(diǎn)望湖中小島 M測(cè)得/ MAN= 30,當(dāng)他 到B點(diǎn)時(shí)，測(cè)得/ MBN= 45，AB= 100米，你能算出 AM的長(zhǎng)嗎？2. 一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km,接著，它又掉頭向正東方向航行15千米.此時(shí)輪船離開(kāi)岀發(fā)點(diǎn)多少km?若輪船每航行1km,需耗油0.4升，那么在此過(guò)程中輪船共耗油多少升？D7、折疊問(wèn)題:1.如圖，矩形紙片ABCD勺長(zhǎng)AD=9cm,寬AB=3cm,將其折疊，使點(diǎn) D與點(diǎn)B重合，那么折疊后 DE的長(zhǎng)是多少?2. 如圖，在長(zhǎng)方形 ABCD中，將 ABC沿 AC對(duì)折至 AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。(1)試說(shuō)明：AF=

13、FC (2)如果AB=3, BC=4,求AF的長(zhǎng)3. 如圖，在長(zhǎng)方形 ABCD中, DC=5在DC邊上存在一點(diǎn) E,沿直線(xiàn)AE把 ABC折疊，使點(diǎn)D恰好在BC邊上,設(shè)此點(diǎn)為尸，若厶ABF的面積為30,求折疊的厶AED的面積4. 如圖所示，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊 現(xiàn)將直角邊AC沿直線(xiàn)AD折疊，使它落在斜邊 你能求出CD的長(zhǎng)嗎？5. 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 BC=8將厶ABC折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn)A重合，折痕為DE則CD等于（）A 252275A. B. C. D.-43436、如圖，矩形紙片ABCD的邊 AB=10cm BC=6cm E 為 BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).&利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度如圖，水池中離岸邊 D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng) 著一根蘆葦，出水部分 BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦 拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到D點(diǎn)，并求水池 的深度AC.A9、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題1、如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2 3 ,PC=4,求厶ABC的邊長(zhǎng)。2、如圖1-3-11 ,有一塊塑料矩形模板 ABCD長(zhǎng)為8cm,寬為4cm,將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角