對數(shù)公式總結

1、1對數(shù)的概念如果a(a0 ,且1的b次幕等于N,艮卩ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作： logaN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).由定義知： 負數(shù)和零沒有對數(shù)； a0 且 1,N0; loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特別地，以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)，記作log10N,簡記為lgN ;以無理數(shù)e(e=2.718 28)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作logeN，簡記為lnN.2對數(shù)式與指數(shù)式的互化式子名稱abN指數(shù)式ab=N(底數(shù))(指數(shù))(幕值)對數(shù)式logaN=b(底數(shù))(對數(shù))(真數(shù))3對數(shù)的運算性質如果a0,a工1,M0,N0,那么(

2、1) loga(MN)=logaM+logaN.(2) logaMN=logaM-logaN.(3) logaMn=nlogaM (n R).問：公式中為什么要加條件a0,a工1, M0,N0? logaan=? (n R) 對數(shù)式與指數(shù)式的比較(學生填表)式子ab=NlogaN=b 名稱a 幕的底數(shù)b Na 對數(shù)的底數(shù)b N運算性質 am?an=am+namr an=(am) n=(a0 且1,n R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n R)(a0,a 工 1,M0,N0)難點疑點突破對數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a0,，且1?理由如下： 若a v 0，貝U N的

3、某些值不存在，例如log-28 若a=0，貝U NM0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數(shù) 若a=1時，則NM1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數(shù)為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對數(shù)式的底是一個不等于1的正數(shù)解題方法技巧(1) 將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式： 54=625 : 2-6=164 : 3x=27 ; 13m=5(2) 將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式： log1216=-4 ; Iog2128=7 ;Iog327=x ; Ig0.01=-2 ;In 10=2.303 ; lg n =k.解析由對數(shù)定義：ab=N解答 log5625=4. log2164=-6. log327=x.

4、 log135.73=m.解題方法指數(shù)式與對數(shù)式的互化，必須并且只需緊緊抓住對數(shù)的定義：ab=N12-4=16. 27=128.3x=27. 10-2=0.01.e2.303=10. 10k=n .2根據下列條件分別求 x的值：(1) log8x=-23 ; (2)log2(log5x)=0 ;(3) logx27=31+log32; (4)logx(2+3)=-1.解析(1)對數(shù)式化指數(shù)式，得：x=8-23=?(2) log5x=20=1. x=?(3) 31+log32=3 X3log32=?27=x?(4) 2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=1

5、4.(2) log5x=20=1, x=51=5.(3) logx27=3 Xlog32=3 X2=6 , x6=27=33=(3)6,故 x=3.(4) 2+3=x-仁1x, x=12+3=2-3.解題技巧 轉化的思想是一個重要的數(shù)學思想，對數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關系，在解決有關問題時，經常進行著兩種形式的相互轉化 熟練應用公式：loga 仁 0,logaa=1,alogaM=M,logaa n=n.3已知 logax=4,logay=5，求 A= x?3x-1y212 的值.解析思路一，已知對數(shù)式的值，要求指數(shù)式的值，可將對數(shù)式轉化為指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運算求值；思路二，對指數(shù)式的兩邊取

6、同底的對數(shù)，再利用對數(shù)式的運算求值解答解法一T logax=4,logay=5, x=a4,y=a5, A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53?a -53=a0=1.解法二對所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對數(shù)得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512X4-13 X5=0, A=1.解題技巧有時對數(shù)運算比指數(shù)運算來得方便，因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子，可利用取對數(shù)的方法，把指數(shù)運算轉化為對數(shù)運算.4設x,y均為正數(shù)，且 x?y1+lgx=1(x豐110),求lg(xy)的取值范圍.解析一個等式中含兩個變量x、y，對每一個確定的正數(shù)x由等式都有

7、惟一的正數(shù)y與之對應，故y是x的函數(shù)，從而lg(xy)也是x的函數(shù).因此求lg(xy)的取值范圍實際上是一個求函 數(shù)值域的問題，怎樣才能建立這種函數(shù)關系呢？能否對已知的等式兩邊也取對數(shù)？解答x0,y0,x?y1+lgx=1,兩邊取對數(shù)得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即 lgy=- lgx1+lgx(x 豐 110,lgx-1).令 lgx=t,則 Igy=-t1+t(t 書. Ig(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解題規(guī)律對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式和對數(shù)式問題的常用的有效方法；而變量替換可把較復雜問題轉化為較簡單的問題.設S=t21+t,得關于t的方程t2-S

8、t-S=0有實數(shù)解. =S2+4於0，解得 SW-4 或 S 0,故lg(xy)的取值范圍是(-8-4U 0,+ g).5求值：(1) lg25+lg2?lg50+(lg2)2;(2) 2log32-log3329+log38-52log53;設 lga+lgb=2lg(a-2b)，求 log2a-log2b 的值；(4) 求 7lg20?12lg0.7 的值.解析(1)25=52,50=5 X 10.都化成lg2與lg5的關系式.轉化為log32的關系式.所求log2a-log2b=log2ab由已知等式給出了a,b之間的關系，能否從中求出 ab的值呢？(4) 7lg20?12lg0.7是兩

9、個指數(shù)幕的乘積，且指數(shù)含常用對數(shù)，設x=7lg20?12lg0.7 能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2?lg(10 X 5)+(lg2)2=2lg5+lg2?(1+lg5)+(lg2)2=lg5?(2+lg2)+lg 2+(lg2)2=lg102?(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg 2 )+lg 2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3) 由已知 lgab=lg(a-2b)2

10、 (a-2b0), ab=(a-2b)2,即 a2-5ab+4b2=0. ab=1 或 ab=4，這里 a0,b0.若 ab=1，貝U a-2b0,a 豐 1,c0,c 豐 1,N0);(2) logab?logbc=logac ;(3) logab=1logba(b0,b工1)(4) loga nbm=mnl ogab.解析設logaN=b得ab=N,兩邊取以c為底的對數(shù)求出b就可能得證.中l(wèi)ogbc能否也換成以a為底的對數(shù).應用將logab換成以b為底的對數(shù).應用將loganbm換成以a為底的對數(shù).解答(1)設logaN=b，貝U ab=N,兩邊取以c為底的對數(shù)得：b?logca=logc

11、N, b=logcNlogca. logaN=logcNlogca.(2) 由(1)logbc=logaclogab.所以 logab?logbc=logab?logaclogab=logac.(3) 由(1)logab=logbblogba=1logba.解題規(guī)律(1)中l(wèi)ogaN=logcNlogca 叫做對數(shù)換底公式，(3)(4)是的推論，它們在對數(shù)運算和含對數(shù)的等式證明中經常應用.對于對數(shù)的換底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loga nbm=logabmlogaa n=m logab nl ogaa=mnl ogab.7已知 log67=a,3b=4,求 log127

12、.解析依題意a,b是常數(shù)，求Iog127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否 將log127轉化為以6為底的對數(shù)，進而轉化為以3為底呢？解答已知 log67=a,log34=b, Iog127=log67log612=a1+log62.又 log62=log32log36=log321+log32,由 log34=b，得 2log32=b. Iog32=b2, Iog62=b21+b2=b2+b. Iog127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解題技巧利用已知條件求對數(shù)的值，一般運用換底公式和對數(shù)運算法則，把對數(shù)用已知條件表示出來，這是常用的方法技巧已知 x,

13、y,z R+，且 3x=4y=6z.(1)求滿足2x=py的p值；(2)求與p最接近的整數(shù)值；求證：12y=1z-1x.解析已知條件中給出了指數(shù)幕的連等式，能否引進中間量 m，再用m分別表示x,y,z?又想,對于指數(shù)式能否用對數(shù)的方法去解答 ?解答(1)解法一 3x=4yog34y p=log316.解法二設3x=4y=m,取對數(shù)得：x?lg3=lgm , ylg4=lgm, x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由 2y=py,得 2lgmlg3=plgmlg4, p=2lg4lg3=lg42lg3=log316./ 2=log39log316log

14、327=3, 2p3.又 3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而 2716169, Iog327163-p.與p最接近的整數(shù)是3.解題思想 提倡一題多解.不同的思路，不同的方法，應用了不同的知識或者是相同知識的靈活運用，既發(fā)散了思維，又提高了分析問題和解決問題的能力，何樂而不為呢？ (2)中涉及比較兩個對數(shù)的大小 .這是同底的兩個對數(shù)比大小 .因為底31 ,所以真數(shù)大的對數(shù)就大，問題轉化為比較兩個真數(shù)的大小，這里超前應用了對數(shù)函數(shù)的單調性，以鼓勵學生超前學習，自覺學習的學習積極性 .(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x,

15、 y, z R+ , k1，貝U x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以 1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm , 12y=12?lg4lgm=lg2lgm ,故 12y=1z-1x.解法二 3x=4y=6z=m ,則有 3=m1x ,4=m1y ，6=m1z ， 電，得 m1z-1x=63=2=m12y. 1z-1x=12y.9已知正數(shù) a,b 滿足 a2+b2=7ab.求證：Iogma+b3=12(logma+logmb)(m0 且 1).解析已知a0,b0,a2+b2=7ab.求證式中真數(shù)都只含 a,b的一次式，想：能否將真數(shù)中的

16、一 次式也轉化為二次，進而應用a2+b2=7ab?解答 logma+b3=logm(a+b3)212=解題技巧 將a+b3向二次轉化以利于應用a2+b2=7ab是技巧之一. 應用a2+b2=7ab將真數(shù)的和式轉化為 ab的乘積式，以便于應用對數(shù)運算性質是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9./ a2+b2=7ab, Iogma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即 Iogma+b3=12(logma+logmb).思維拓展發(fā)散1數(shù)學興趣小組專門研究了科學記數(shù)法與常用對數(shù)間的關系.設真數(shù)N=s 10n.其中N0,1

17、 w a10,n 乙這就是用科學記數(shù)法表示真數(shù)N.其科學性體現(xiàn)在哪里？我們只要研究數(shù)N的常用對數(shù)，就能揭示其中的奧秘.解析由已知，對 N=axion取常用對數(shù)得，IgN=n+lga.真數(shù)與對數(shù)有何聯(lián)系 ？解答 IgN=Ig(a xiOn)=n+lga.n Z,1 wa10,Iga 0,1).我們把整數(shù)n叫做N的常用對數(shù)的首數(shù)，把Iga叫做N的常用對數(shù)的尾數(shù)，它是正的純小數(shù)或0.小結：IgN的首數(shù)就是N中10n的指數(shù)，尾數(shù)就是lga,0 w lga0,IgN的首數(shù)和尾數(shù)與aX10n有什么聯(lián)系？有效數(shù)字相同的不同正數(shù)其常用對數(shù)的什么相同？什么不同？2若Igx的首數(shù)比Ig1x的首數(shù)大9, Igx的尾

18、數(shù)比Ig1x的尾數(shù)小 0，且Ig0.203 4=1.3083, 求 Igx,x,lg1x 的值.解析Ig0.203 4=1即Ig0.203 4=1+0.308 3 , 1是對數(shù)的首數(shù)，0.308 3是對數(shù)的尾數(shù)，是正的純小數(shù)；若設Igx=n+lga，則Ig1x也可表出.解答設 lgx= n+lga,依題意 Ig1x=(n-9)+(Iga+0.380 4).又 Ig1x=-lgx=_(n+lga),- (n-9)+(lga+0-n-Iga，其中 n-9 是首數(shù)，Iga+0是尾數(shù)，-n-Iga=-(n+1)+(1-Iga),-(n+1) 是首數(shù) 1-Iga 是尾數(shù)，所以：n-9=-( n+1)Ig

19、a+0.380 4=1-Igalga=0.308 3. lgx=4+0.308 3=4.308 3,/ Ig0.203 4=1.308 3, x=2.034 X104. lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解題規(guī)律把Igx的首數(shù)和尾數(shù)，Ig1x的首數(shù)和尾數(shù)都看成未知數(shù)，根據題目的等量關系列方程.再由同一對數(shù)的首數(shù)等于首數(shù)，尾數(shù)等于尾數(shù)，求出未知數(shù)的值，是解決這類問題的常用方法.3計算：(1) Iog2-3(2+3)+Iog6(2+3+2-3);(2) 2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3與2-3有何關系?2+3+2-3雙重根號，如何化簡？(2)中分母已

20、無法化簡，分子能化簡嗎？解題方法認真審題、理解題意、抓住特點、找出明確的解題思路和方法，不要被表面的繁、難所嚇倒.解答 原式=log2-3(2-3)-1+12log6(2+3+2-3)2=-1 + 12log6(4+22+3?2 -3)=-1+12log66=-12.原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2IglOO+lg(lga)2+lg(lga)=22+lg(lga)2+lg(lga)=2.4已知 Iog2x=log3y=log5z0,比較 x,3y,5z 的大小.解析已知是對數(shù)等式，要比較大小的是根式，根式能轉化成指數(shù)幕，所以，對數(shù)等式應設法轉化為指數(shù)式.解答設 log2x=l

21、og3y=log5z=m0.則x=2m,y=3m,z=5m.x= (2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比較 2與33,55的大?。?=23=8,(33)6=32=9，所以 255. 55233.又 m0,圖2-7-1考查指數(shù)函數(shù)y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的圖像，如圖2-7-1解題規(guī)律 轉化的思想是一個重要的數(shù)學思想，對數(shù)與指數(shù)有著密切的關系，在解決有關問題時要充分注意這種關系及對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉化 比較指數(shù)相同，底不同的指數(shù)幕(底大于0)的大小，要應用多個指數(shù)函數(shù)在同一坐標系中第一象限(指數(shù)大于0)或第二象限(指數(shù)小于0)的性質進行比較是y=(

22、55)x,是y=(2)x,是y=(33)x.指數(shù)m0時，圖像在第二象限從下到上，底從大到 小.所以(33)m(2)m(55)m, 故 3yx0,b0,M 豐 1)且 logMb=x，貝則 logMa 的值為()A 若 log63=0.673 1 , log6x=-0.326 9,貝U x 為()A 若 log5 log3(log2x)=0,則 x=.98log87?log76?log65=.10 如果方程 lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2?lg3=0 的兩根為 x1、x2,那么 x1?x2 的值為.11生態(tài)學指出：生物系統(tǒng)中，每輸入一個營養(yǎng)級的能量，大約只有10%的能量流到下一個營養(yǎng)

23、級.H1 t HM HI HP H5 H6這條生物鏈中(Hn表示第n個營養(yǎng)級，n=1 , 2 , 3, 4,5 , 6).已知對H1輸入了 106千焦的能量，問第幾個營養(yǎng)級能獲得100千焦的能量？12 已知 x, y, z R+ 且 3x=4y=6z，比較 3x, 4y , 6z 的大小.13已知a,b均為不等于1的正數(shù)，且 axby=aybx=1，求證x2=y2.14 已知 2a?5b=2c?5d=10，證明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15 設集合 M= x|lg ax2-2(a+1)x-10 ，若 W , M x|x0 且 x+1M 1真數(shù) x+10.6. A點撥：對ab=M取以M為底的對數(shù).7. C 點撥：注意 0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9,所以 Iog63+log61x=log63x=1. / 3x=6, x=12.8. x=8 點撥：由外向內.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5 點撥：log87?log76?log65=log85, 8log85=5.10.16點撥：關于lgx的一元二次方程的兩根是Igx1,lgx2.由 Igx1=-lg2,lgx2=-lg3 ，得 x1=12,x2=13.11.設第n個營