數形結合思想及其在教學中的應用本科畢業(yè)論文

1、數形結合思想及其在教學中的應用 摘要：數、形是數學中兩大基本概念，可以說全部數學大體上都是圍繞這兩個基本概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的。數形結合是根據數學問題的條件與結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起。數形結合是貫穿中小學數學教學始終的基本思想，同時在高等數學教學中它也有很大的益處。關鍵詞：數形結合；數學教學；數學思想the thinking of combining numbers with shapes and its application in teachingabstract: number and

2、shape are two basic concepts of mathematics，it can be said that the evolving of all the mathematic are generally surrounding the abstraction, evolution and development of the two basic concepts. combining numbers with shapes is according to the intrinsic link between conditions and conclusions of ma

3、thematical problems, it can both analyze the meaning of algebra and reveal the intuitive of geometry which make a artful and harmonious combination between accurate depiction of the number-shape relationship and intuitionistic image of spacial modality. combining numbers with shapes is basic thinkin

4、g through mathematics teaching in primary and secondary schools all along, at the same time, it has a great benefit in higher mathematics teaching.key words: combining numbers with shapes; mathematics education; mathematics thinking目 錄1 緒論11.1 數形結合思想方法概述11.2 數形結合思想方法歷史演進12 數形結合思想在初等數學教學中的應用42.1 數形結合

5、思想在小學數學教學中的應用42.2 數形結合思想在初中數學教學中的應用72.2.1 數形結合思想在初中數學教學中的地位72.2.2 數形結合思想在初中數學教學的應用舉例82.3 數形結合思想在高中數學教學中的應用102.3.1數形結合思想在高中數學教學中的地位102.3.2 數形結合思想在高中數學教學的應用舉例112.3.3 數形結合思想的課堂灌輸153 數形結合思想在高等數學教學中的應用174 結束語22致謝24參考文獻251 緒論數學教育不像“純”學科中的科學，是嚴重影響文化、社會和政治的力量1。數學解題研究是我國數學教育研究的一個特色工作，并構成一個具有中國特色的文化現象。在我國數學教育

6、研究群體中有一支龐大的解題研究隊伍，同時我國的各類數學教學雜志中也會常設一些解題研究欄目。但數學解題研究不能局限于解題技巧的直接展示，更不能停留于解題方法的簡單呈現，而應注重解題時數學思想和方法的體現。所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，是數學教學中的精髓之一。任何數學事實的理解，數學概念的掌握，數學理論的建立，都是數學思想和方法的體現和應用。一個重大數學成果的取得，往往與數學思想和方法的突破分不開，這些數學成果無不是數學思想和方法完美結合的產物。我們常用的數學思想方法有：轉換的思想，

7、類比歸納與類比聯想的思想，分類討論的思想，數形結合的思想以及配方法，換元法，待定系數法，反證法等。其中，“數形結合”是貫穿數學教學始終的基本思想方法，它成為我國數學教育界教與學、理論與實踐多極研究匯聚的銜接點?！皵敌谓Y合”已成為我國數學教育界一道獨特的靚麗風景線，不僅僅在數學教育界，它的應用也已經輻射到了物理等基礎理科教育界。1.1 數形結合思想方法概述數形結合是解數學題中常用的思想方法，很多問題使用數形結合的方法都能迎刃而解，且解法簡捷。數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，“數”是數量關系的體現，而“形”則是空間形式的體現?！皵怠焙汀靶巍背Ｒ酪欢ǖ臈l件相互聯系，抽象的數量

8、關系常有形象與直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質也常用數量關系加以精確的描述。我們在研究數量關系時，有時要借助于圖形直觀地去研究，而在研究圖形時，又常借助于數量關系去探求。華羅庚教授曾精辟概述:“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形無數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非：切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離?！?1.2 數形結合思想方法歷史演進數與形是數學中的兩大基本概念，一部數學史主要是數和形的概念產生、發(fā)展、變遷的歷史，現代數學也是圍繞著這兩個概念對其不斷抽象、概括、提煉而發(fā)展起來的。隨著時間的流逝，數學內涵的不斷擴充，數學中最原始的對象數與形這兩個概念自身也處

9、于不斷變化中。從最初由于計數的需要而產生的自然數到歐幾里得撰寫的幾何原本，再從笛卡爾創(chuàng)立解析幾何學到近、現代數學中的幾何學，數形結合一直貫穿于數學發(fā)展的全過程。(1) 數的產生源于計數，是對具體物體的計數，而產生數的概念之后，用來表示“數”的工具卻是一系列的“形”，在古代的各種各樣的計數法中，都是以具體的圖形來表達抽象的數。中國的算籌和算盤可算是歷史最長的計數工具，也是數形結合的典型范例?！皵怠碑a生于各種“形”的計算，“數”又借助于“形”得以記錄，使用，計算。早在古希臘數學時期，畢達哥拉斯學派在研究數時，就常常把數同沙礫或畫在平面上的點聯系起來，按照沙礫或點子的形狀將數進行分類，進而結合圖形性

10、質推出數的性質?！靶巍蓖苿恿恕皵怠钡陌l(fā)展，這是早期“數”與“形”相結合的體現。 (2) 古希臘亞歷山大時期的歐幾里得，運用公理化方法寫了千古流芳的著作幾何原本，使最早的數學發(fā)展以幾何學為主要特征3。這時期從幾何的研究上去處理等價的代數問題是很自然的。如用線段代替數，兩數乘積的意義是兩邊長等于兩數的矩形面積，三數乘積是一體積。兩數相加看成是一線段的延長，相減說成是從一線段割去另一線段之長?！叭舭岩痪€在任意一點割開，則在整個線上的正方形等于兩線段上的正方形加上以兩段為邊的矩形。”這一幾何事實反應的代數問題就是（如圖1.2）。這種用幾何來研究代數的方法對后來阿拉伯人的代數研究有著深遠的影響，在解一元

11、二次方程中發(fā)揮了很大的作用。另外，形的相互關系的比較、度量，促進了數的概念的發(fā)展，豐富了計算方法。典型例子是畢達哥拉斯學派不可公度線段（無理數）的發(fā)現。圖1.2：(3) 數軸的建立使人類對形與數的統一有了初步的認識，把實數與數軸上的點一一對應起來，數可以視為點，點可以視為數，點在直線上的位置關系可以數量化，而數的運算(特別是有理數的運算)也可以幾何化。1637年，笛卡爾的幾何學著作中，他首次明確提出了點的坐標和變數的思想，并借助坐標系用含有變數的代數方程來表示和研究曲線4。笛卡爾把數軸(一維)擴展到平面直角坐標系(二維)，把有序數對與平面上的點一一對應起來，從而使得平面曲線的點集與二元方程的解

12、集一一對應起來。于是，就可以用代數方法來研究幾何圖形的性質，把幾何研究轉換成對應的代數研究，從而誕生了解析幾何學。笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學，完成了數學史上的一項劃時代的變革。盡管笛卡爾的解析幾何思想有著一定的局限性，但在當時是有突破性的，意義是非常重大的，它為幾何學的研究提供了新的方法，使許多幾何問題變得簡單易解，它使幾何從定性研究階段發(fā)展到定量分析階段，使人們對形的認識由靜態(tài)發(fā)展到動態(tài)。其次數形結合為代數研究提供了形象模型，拓展了代數學的研究領域，從而推動了數學發(fā)展的進程?？梢姡瑪祵W中兩大研究對象“形”與“數”的矛盾的統一是數學發(fā)展的內在因素。(4) 繼笛卡爾之后，數與形更進一步密切結合。例如

13、數學分析中，導數切線的斜率；積分曲邊梯形的面積；代數中，方程的根曲線與軸的交點。近代數學中，從幾何的角度看，代數和幾何的結合產生了代數幾何；分析和幾何結合產生了微分幾何；而代數幾何和微分幾何又轉過來為代數與分析(以及其它學科)提供幾何背景，解釋和研究課題，促進它們的發(fā)展，并使數學在實踐中的應用更加廣泛和深入?？梢姡瑪敌谓Y合也是今日數學發(fā)展的必然，數形結合貫穿于數學發(fā)展的全過程。(5) 形的概念的本身也在數量關系的描述下不斷發(fā)展，從平面幾何、立體幾發(fā)展到維空間的仿射幾何，射影幾何3。人們在用數量關系描寫空間形式的過程中，對形的特點有了更進一步的認識，抓住了更本質的關系，從而把它們之間的各種關系推

14、廣到了維空間，得出了抽象的維空間(幾何形式)中的形之間的數量關系，或者說這些數量關系得到了一個形象的幾何解釋。2 數形結合思想在初等數學教學中的應用數形結合思想方法的應用，使我們對幾何圖形性質的討論更廣泛、更深入，研究的對象也變得更寬泛，方法更一般化，其次也為代數課題提供了幾何直觀。由于代數借用了幾何的術語，運用了與幾何的類比而獲得新的生命力。如線性代數正是借用幾何學中的空間、線性等概念與類比的方法把自己充實起來而迅速發(fā)展的。代數方法便于精細計算，幾何圖形直觀形象，數形結合、互相促進，使我們加深了對數量關系與空間形式的認識。正如拉格朗日所說:“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應

15、用就狹窄，但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！?數形結合這種思維方法的運用，有助于加深對數學問題本質的認識，有助于對具體數量關系和空間形式進行抽象與概括，拓展了思維的深度和廣度，使數學思維更深刻，更具創(chuàng)造性。2.1 數形結合思想在小學數學教學中的應用 雖然在小學階段沒有提到數軸、直角坐標系、函數圖象等概念，但“數形結合”思想在小學數學教學中仍有很多“滲透點”。 (1) 數尺的應用 由于小學生對直尺非常熟悉，因此，可以將直尺抽象為“數尺”，即將“數”有規(guī)律、有方向地排列，將抽象的數在可看得見的“數尺”(沒有刻度，只有自然數)上形象、直觀地表

16、示出來。將數與“位置 ”(還沒有“點”的概念 )建立一一對應關系，既有助于理解數的順序、大小，又有助于理解數列的規(guī)律。如下圖所示：012345678910 0248101214161820036912151821242730“數線”與數軸的區(qū)別在于“數線”沒有畫出方向，“數線”與數軸的運用不但能夠比較數的大小，而且將數與直線上的點建立了一一對應關系，并且任何兩個點之間都存在無數個點，即任意兩個數之間都存在無數個數。數軸不但將抽象的“數”直觀形象化，而且也有助于理解運算，將運算直觀形象化，例如：“加法”就是在數軸上繼續(xù)向右數，或者看作是向右平移若干個單位?！皽p法”就是在數軸上先找到被減數，然后再

17、向左數，或者看作是向左平移若干個單位?！俺朔ā本褪窃跀递S上幾個幾個地向右數，或者把一條線段拉長幾倍 。 “除法”就是在數軸上先找到“被除數”然后向左幾個幾個地數。如果恰好數到“0”，則就是“除盡”，數了幾次，商就是幾；當不能恰好數到“0”時，就產生了余數。數軸是理解“有余數除法”的形象化載體5。例如，485=9 3。035101520253035404548(2) 線段圖的應用 線段圖是理解抽象數量關系的形象化、視覺化的工具。例如解決下面的問題時，對比線段圖則易于理解算式中的每一符號的意義。 例2.1.1張老師要買一個打印機。王老師要買一件毛衣。打印機每臺 800元，毛衣每件200元。商場搞促

18、銷活動，如果購買500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。問：兩位老師合著買比分著買可以省多少錢? 方法一(多數學生的解題方法)： 分著購買所花的錢數：(800500)x80+500+200=940(元)。 合著購買所花的錢數：(800+200500)x80+500=900(元)。 合買比分買省的錢數：940900=40(元)。 方法二(其他學生的解題方法)： 合買比分買省的錢數：200x(180)=40(元)。 很多學生不理解第二種算法。當教師引導學生借助線段圖對比呈現兩種方法所蘊含的數量關系時。學生就能很好地理解了。畫線段圖能使抽象復雜的數量關系變得簡單明了，將抽象的數學問題直觀化。

19、500200 500又如在有的問題中文字比較“拗口”，問題解決者不易理清數量關系，但是將文字上的數量關系轉化為用線段圖表示時，數量關系就一目了然。 例2.1.2十一快到了，媽媽買了2千克蘋果和5千克梨，共用去10.8元。已知買2千克梨的錢可以買1千克蘋果，每千克蘋果和梨各多少元?蘋果梨蘋果梨？元？元10.8元10.8元(3) 平面圖形的應用 我們可以借助于“面積模型”和“集合模型” 來理解分數的意義及其運算，其實質就是將分數與圖形結合起來。在學習“異分母分數加減法”時，就可運用數與形的結合。例如計算時，學生如何理解異分母分數加減法為什么要通分？我們曾經這樣處理： 教師講解并在黑板上板書 ：但有

20、很多學生仍不理解，我們就借助于幾何畫板軟件將上述“理性”的抽象思維過程形象化視覺化，即教師充分利用分數的直觀圖，將數與形結合起來，引導學生體會“只有平均分得的份數相同，也就是分數單位相同，分子才能相加減”的道理，直觀地理解通分的必要性及異分母分數加減法的算理。小結：利用數形結合的方法，學生表象清晰，記憶深刻，對算理的理解透徹，既知其然又知其所以然。事實上也是形象思維與抽象思維協同應用的過程，其教學效果顯而易見。因此在小學階段滲透數形結合的思想對學生的現實學習和繼續(xù)學習都有著很重要的意義。當然在具體學習與教學中不止以上幾個例子，還需要我們在實踐中舉一反三，靈活運用。2.2 數形結合思想在初中數學

21、教學中的應用教師在數學教學過程中，必然涉及很多的概念，數學概念是數學思維的細胞，它是在感覺、知覺、思維形成表象的基礎上，經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而逐步形成的理性認識結果，它蘊涵著豐富的思想內涵。在數學教學中，數學教師在無意識中將大部分知識的記憶問題推給了學生。無論是理解數學概念、推導數學公式，還是證明數學定理、解決實際問題，都需要數學記憶的參與。因此，不斷地增強數學記憶能力，對于學好、用好數學是很重要的。處于中學階段的學生對記憶方法理解甚少，更別說對抽象性數學知識的記憶了，他們只好在機械記憶的基礎上，不斷地摸索自己的記憶方法。但由于學習時間和心理發(fā)展特征的限制，很多人只

22、能靠機械記憶，基礎好和主動性強的學生會在以后逐步的應中，慢慢地反當大腦中的數學知識。而基礎不好、主動性差的學生則極有可能變?yōu)閿祵W學困生。教師要善于激發(fā)學生的“數形結合”興趣，熏陶學生的“數形結合”意識?！芭d趣是最好的老師”，學習數學尤其如此。可以在適當的時間展現數學美本身所蘊涵的數形美感，比如，不妨考慮用新學期的第一節(jié)課，重點地去向學生介紹一下數學史方面的知識。你可以從歐幾里得的古代幾何原本，說到諸多數學發(fā)現再到近代數學的發(fā)展，關鍵是要舉出那些有關數學美的經典事例，如勾股定理、黃金分割等，相信這樣的啟蒙課對于渴望求知的初中生而言是很必要的6。2.2.1 數形結合思想在初中數學教學中的地位隨著新

23、課程改革的全面展開，各門課程的教材都發(fā)生了巨大的改變。以前數學課程被分為“代數”和“幾何”兩本教材來講授，而現在合二為一，且教學中幾何圖形所占的比重有所增加。“代數”主要研究數據的計算于處理，“幾何”主要研究圖形的位置、大小等特性，“數”和“形”是數學研究的兩個側面，它們互相滲透，相互轉化，使得以代數法研究幾何，以幾何法研究代數成為可能。 “數形結合”是初中數學的重要思想之一，也是學好數學的關鍵之一。若能把“數”與“形”很好的結合起來，那么一些看似復雜的問題會迎刃而解。掌握了數形結合思想方法也會使解題手段從“單一”走向“靈活”，體會到數學之美，從而感嘆數學之精妙。初中的數學具有很大的實用性和基

24、礎性。把握好、運用好數形結合，必定會對其它學習收到意想不到的效果。2.2.2 數形結合思想在初中數學教學的應用舉例函數是初中數學的重要內容之一，也是學習的一個難點。同時又是“數形結合”的思想方法體現得最充分的一個章節(jié)。平面直角坐標系把“點”和“數”對應起來，使抽象的“數”與直觀的“形”有了統一，開創(chuàng)了研究數學問題的新途徑。而二次函數中拋物線和開口、對稱軸、頂點及坐標軸交點更是與系數關系密切。一、 以“形”助“數”根據給出的“數”的結構特點，構造出與之相應的幾何圖形，或根據已給圖形分析數的特點，從而化抽象為直觀，使解題過程變得簡捷直觀。教師在教學時要注意樹立數形結合的思想，要按照把復雜問題化簡單

25、的原則培養(yǎng)學生的空間概念，提高學習興趣。0圖2.2.1例2.2.1實數在數軸上的位置如圖所示,化簡:=_.解析由圖可知,所以原式=.點評解題的關鍵是讀懂數軸，把圖形語言轉化成解題所要求的數據。借助數軸可以解決實數問題，還可以解決不等式(組)問題。例2.2.2如圖,已知二次函數的圖象經過點a和點b。(1) 求該二次函數的表達式；(2) 寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；(3) 點p()與點q均在該函數圖象上(其中)，且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求的值及點q到軸的距離。解析(1)觀察圖象,得a(-1,-1),b(3，-9).1ao13得方程組解得該二次函數的表達式為.(2)對稱軸為；頂點坐標為(

26、2,-10).9(3)將()代入表達式,解方程得.b, .點p與點q關于對稱軸對稱,圖2.2.2點q到軸的距離為6.點評解題的關鍵是通過點的坐標把握函數的圖象及其性質。借助平面直角坐標系，把數量關系通過圖象直觀化、形象化、動態(tài)化，同時又可以根據圖象特征及相關知識探究隱含的數量關系，將圖象特征具體化。二、以“數”助“形”以“數”助“形”即有關“形”的問題可借助數式的推演，使之量化，從而準確揭示“形”的性質。例2.2.3本市新建的滴水湖是圓形人工湖.為測量該湖的半徑,小杰和小麗沿湖邊選取a、b、c三根木柱,使得a、b之間的距離與a、c之間的距離相等,并測得bc長為240米,a到bc的距離為5米,如

27、圖1所示.請你幫他們求出滴水湖的半徑.解析如圖2,設圓心為點o,連結ob、oa,oa交線段bc于點d.因為ab=ac, 所以= ， oabc,且bd=dc=bc=120.abc圖2.2.3.1abc圖2.2.3.2od由題意,知da=5.設ob=米.在rtbdo中,因為,所以.得1442.5 .所以,滴水湖的半徑為1442.5米.點評解題的關鍵是正確將實際問題所反映的數量關系轉化為幾何圖形語言.借助勾股定理、垂徑定理、三角形相似的判定定理與性質定理等幾何圖形的知識,可以實現代數與幾何之間的相互轉化.初中階段學生對于函數性質的學習，客觀的說是有一定的難度的，所以在具體教學中，必須有意識的去體現和

28、解釋數學知識中的抽象概念和形象事物之間的聯系，提高學生的數學思維。2.3 數形結合思想在高中數學教學中的應用2.3.1數形結合思想在高中數學教學中的地位一、數形結合思想在高中數學教學中的地位(1) 從新課程標準的要求來看數形結合思想。數學新課程標準對數學中的“雙基”具體來說是：強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想都要貫穿高中教學的始終，由于數學的高度抽象性，要注重體現概念的來龍去脈，在教學中要引導學生經歷從具體實例中抽象出數學概念的過程；重視基本技能的訓練，要重視運算、作圖、推理、處理數據以及科學計算器的使用等基本技能訓練3。新課程把數形結合思想作為中學數學中的重要思

29、想，要求教師能充分挖掘它的教學功能和解題功能。(2) 從新課程數學內容的特點來看數形結合思想。新高中數學課將精選出代數、幾何等基礎知識綜合為一門學科，這樣有利于精簡教學內容，有利于數學各部分內容相互的聯系，有利于數學思想方法的相互滲透。新教材充實了平面向量和空間向量，這些改革都有利于“形”與“數”的結合。利用數形結合有利于進行初、高中數學教學的過渡銜接：初中數學的教學內容較具體，模仿性的練習較多，而高中數學的內容抽象性較強，強調對數學概念的理解基礎上的運用，對思維能力、運算能力、空間想象能力要求較高。從高一數學內容來看，通過數形結合，從具體到抽象恰好符合學生的認知規(guī)律。(3) 從高考題設背景來

30、看數形結合思想。隨著數學教育改革不斷深入，高考命題朝著多樣性和多變性發(fā)展，增加了應用題、開放題、情景題，強調檢測學生的創(chuàng)造能力。重在考查對知識理解的準確性、深刻性，重在考查知識的綜合運用，著眼于對數學思想方法、數學能力的考查。而數形結合是中學數學中最重要、最基本的數學思想方法之一，考查數形結合的應用能力最能展示學生能否進行“數學的思維”。數形結合在每年的高考中都是一道亮麗的風景線，如果能從圖形特征中發(fā)現數量關系，又能從數量關系中發(fā)現圖形特征，并準確構圖，那么很快就能得出正確答案。二、數形結合思想在高中數學教學中的作用(1) 有助于學生形成和諧、完整的數學概念。數學教材中的概念是極其濃縮的知識點

31、，是感性認識飛躍到理性認識的結晶，是多級抽象的結果，并且只是以文字形式給出了相應的結論，省略了概念原有的邏輯加工過程，也正是這種高度的抽象，數學常常給人一種單調、枯燥、乏味、難懂的錯覺。事實上中學數學中的每一個概念都有其原始的直觀的模型，都有其來龍去脈，可以讓學生先由感性認識再進入理性認識，完整、和諧地理解概念，記憶概念。利用數形結合思想，就是對概念的數與形的兩種形式進行表述，揭示知識的實質，溝通數學知識之間的內在聯系，使學生對概念不僅僅流于表面文字的理解及記憶，而是真正理解概念的本質屬性。(2) 有助于拓展學生尋找解決問題的途徑。數形結合作為一種思維策略，雖然不一定能作為題目的解法，但常可以

32、作為尋求解法的一個思路，或在思路受阻時尋求出路的突破口，所以這又是數形結合這種思維策略的另一面積極意義。(3) 有助于學生數學思維能力的發(fā)展。數學思維和思維能力的培養(yǎng)是數學教學改革的核心問題，進入高中階段的學生己完成了由直觀形象思維到抽象邏輯思維的飛躍，但這并不是說我們在教學中就可以偏頗某一種思維方式。我國著名科學家錢學森說:“我建議把形象思維作為思維科學的突破口。因為它一旦搞清楚之后，就把前科學的那一部分，別人很難學到的那些科學以前的知識、即精神財富，都可以挖掘出來。這將把我們的智力開發(fā)大大地向前推進一步。人們在交往中，很多是用形象思維，而不是用抽象思維的?！?可見形象思維的培養(yǎng)在高中階段是

33、不容忽視的，也是很重要的。數學學科是統一的一體，其組織的活力依賴于各個部分之間的聯系7，所以在高中數學教學中形象思維和抽象思維的培養(yǎng)應該是平行發(fā)展，即在同一個思維活動中，形象思維和邏輯思維同時存在，且相互間進行不斷地切換和互譯，只有兩者的協同活動，才能完成高級的思維過程。從認知方式來看，學生往往也比較習慣從形象思維入手，而用抽象思維收尾。而數形結合思想方法，始終從“形”“數”兩個角度來剖析問題，函數與圖象，曲線與方程，空間圖形等許多內容，無不滲透著數形結合的思想方法。因此在中學數學教學中重視數形結合，既是學生掌握解決問題的一種手段，又能加深學生對有關數學問題實質的認識，起到培養(yǎng)學生思維的形象性

34、和創(chuàng)造性的雙重功效。(4) 利用數形結合，喚起學生對數學美的追求。數和形本是兩家，先在宏觀上結合，又通過建立坐標系，同構對應竟然合為一家，充分體現了數學的統一美。數學本身就是一門美的科學，數學上的對稱美、輪換美、簡潔美、和諧美、奇異美等形式在圖形上的體現更為直觀、更為動人。利用數形結合能培養(yǎng)學生審美情趣，經受審美體驗，提高審美意識和審美能力，以激勵起學生學好數學的激情，動力和追求解題的藝術美，促進人的素質全面提高。2.3.2 數形結合思想在高中數學教學的應用舉例數形結合在具體運用中包含了“以形助數”和“以數助形”兩個方面，從高中數學內容上看，它主要用于集合、不等式、函數、三角函數、線性規(guī)劃、解

35、析幾何等幾類。本文選取幾類進行具體分析。一、 數形結合在不等式中的應用有些不等式問題,當用代數方法討論較繁時,利用圖形將代數問題轉換成幾何問題,合幾何知識探求,也是一種解決的方法。例2.3.1已知，均為實數，求證：。 解析如圖由，確定的點和圖2.3.1xoym1m2 則， 在中，因為，所以 點評在求證不等式時，學生的第一反應是用作差法或比較法。在解這道題時，也會想到由于等式兩邊都大于0，可以將兩邊平方再化簡。但顯然將不等式的數量關系轉換為在直角坐標系中，再利用三角形兩邊之和大于第三邊的性質，解題要更為簡潔。所以，可以對學生進行適當的引導，擴展學生的解題思維。 例2.3.2的解集為空集，則實數的

36、取值范圍（）。 解析構造函數: 和,要使的解集為空集，只需的圖象比的圖象高即可，由圖可知：。5x-22o468y圖2.3.2點評 這道題目是已知不等式的解集求參數，是考察不等式解法的逆向運用。解這道題的一般思路是對進行分類討論，去絕對值再多次解不等式，出錯機會大，花費時間多。如果應用函數圖形解則既簡潔又直觀。二、數形結合在函數中的應用函數是考查數形結合思想的良好載體，對函數的圖象除了要求熟練掌握常見的函數圖象外，還應加強對函數與方程、函數與曲線的區(qū)別與統一，善于發(fā)現條件的幾何意義，刻畫出相應的圖形，還要根據圖形的性質分析數學式的幾何意義，這樣才能巧妙地利用數形結合解決問題8。例2.3.3若函數

37、，滿足，且當時，則函數的圖象與函數的圖象的交點的個數為()。 2 3 4 無數個解析 因為，所以周期，當時，故可以作出的圖象；當時，與有兩個交點（如圖）。又與都為偶數，故當時，也有兩個交點。故選c。-11o23xy圖2.3.3點評該題的解題思路較為單一，一般都是直接借助圖象進行分析解答。三、數形結合在線性規(guī)劃中的應用線性規(guī)劃問題納入高中數學必修內容后，由于其內容是多個知識的交匯點，融數、形于一體，題型多，綜合性強，為數形結合思想方法提供了更為廣闊的空間。例2.3.4若二次函數的圖象過原點，且，求的取值范圍。解析 因為的圖象過原點，所以設所以，得線性約束條件其可行域如圖所示：所以，取目標函數，由

38、圖可知：當直線過點時，當直線過點時，所以xyol圖2.3.4點評 對于某些線性規(guī)劃與函數有關的問題,若善于利用已知條件構造線性約束條件,將問題轉化為線性規(guī)劃問題求解,有時能起到事半功倍的效果。同時，在解這類題時，要注意所作的圖形必須較為精確！四、數形結合在解析幾何中的應用例2.3.5從原點向圓作兩條切線，切點間的劣弧長為() 解析 將圓的方程配方得：，則圓心在(0，6)，半徑為3，如圖所示。在圖rt中，從而得到，即，可求得。因為p的周長為，劣弧長為周長的，所以可求得劣弧長為。xoyba36 p圖2.3.5點評首先要掌握好圓錐曲線的標準方程及其幾何性質，還要會根據所給的條件畫出圓錐曲線，熟練掌握

39、圓錐曲線的一些實際應用，這是在解析幾何中應用數形結合思想方法的前提條件，對于解析幾何知識的交匯綜合應用，難度較大。2.3.3 數形結合思想的課堂灌輸在現實教學過程中，如何在課堂中對學生進行數形結合思想的灌輸呢？下面以高一數學為例作簡單的闡述。第一：滲透。以具體知識為載體，將數形結合思想融入其中，使學生對數形結合有一些初步的感知直覺，幫助學生對知識的理解與記憶，培養(yǎng)學生有意識記與理解記憶。例如在高一數學必修1集合間的基本關系這節(jié)中，可用venn圖表示。借助venn圖，學生能形象地理解集合之間的各種關系。通過這種具體且基礎的知識的學習，使學生了解數與形的結合的作用。第二：揭示。以“軌跡”、“函數及

40、其圖形”等內容為載體，向學生“點破闡釋”、“突出地位”、“提煉概括”。使學生初步理解：“坐標法”即建立直角坐標系，把幾何問題轉換為代數問題或把代數問題轉換為幾何問題，即幾何問題代數化，圖形性質坐標化9。如在學習基本初等函數這一章時，以指數函數為例，在了解指數的概念和形式時，我們要研究指數函數的性質，如研究的性質。我們通過例舉整數知道它大致的性質，如果將整數推廣到實數，那么我們就要利用圖象分析在實數范圍上的性質。利用幾何畫板作出的精確圖形即可直觀地提出在實數范圍上單調遞增等性質。把數轉換為形，使學生獲得解決問題的經驗，在學習對數函數和其它函數時，學生就比較容易想到借助圖象研究各種函數的性質，從而

41、形成技能，領悟數形結合思想，在以后的學習中達到事半功倍的效果。第三：強化。美國心理學家斯金納提出：行為之所以發(fā)生變化，是由于強化作用9。所以學生要獲得有效的數學學習就必須通過強化。美國心理學家和教育家桑代克說：一個已形成的可變連結，若加以應用，就會變強；一個已形成的可變連結，若久不應用，就會變弱9。教學要注意連續(xù)性，要經常地予以強調，并通過大量地綜合而達到靈活運用。如在學習了冪函數的五類函數后，可以將冪函數的改變數值，讓學生自己發(fā)現體會雖然冪函數較為復雜，但還是有一定的規(guī)律的，激發(fā)學生的求知欲。經過這樣的訓練，有利于學生掌握如何解決新問題的方法，再經積累、概括、總結，不斷獲得創(chuàng)造性數學活動的經

42、驗，從而形成一定的數學能力。3 數形結合思想在高等數學教學中的應用在高等數學中許多概念都是借助于客觀事物的形（幾何直觀）而引出的，如曲線的單調、極值、凹向、拐點的概念都是從幾何直觀而引出的?？v觀微積分的發(fā)展過程，許多甄要問題是由于運用了數形結合的方法而獲得解決的，可以說，幾何圖形的考慮已成為許多典型方法形成的源泉，它能將抽象復雜的數的問題轉化為直觀形象的幾何圖形問題，使人感到形象化、直觀化，從而開導人們的思路，啟發(fā)人們找到一條解決問題的有效途徑和方法。微積分的各章節(jié)中，從極限、連續(xù)、導數、微分到各種積分概念、定理、公式，數形結合的思想無處不在， 數形結合的范例舉不勝舉。比如說，在導數概念中，是

43、切線給我們以啟發(fā)。因為導數產生的背景是為了描述曲線的切線，因此導數和曲線的切線密不可分10。在此基礎上，一系列與切線密切相關的定理：微分中值定理，函數的單調性，極值、曲線的凹凸等概念都是用導數的幾何意義去探求解決問題思路的，再比如，在積分概念中，曲邊梯形的面積和曲頂柱體的體積的求法給定積分和重積分概念的形成奠定了堅實的幾何基礎10。若在學習該部分中能把握住這一特點和關系就能找到一條借助幾何圖形解決抽象積分問題的方便之門。一、在積分學中的應用積分學處理函數從函數變化率的信息決定函數自身的問題，它使人們能夠從物體現在的位置和作用在物體上力的知識計算該物體將來的位置，求平面上不規(guī)則區(qū)域的面積，變量曲

44、線的長度，以及求任意空間物體的體積和質量12。在一元定積分應用中，函數的大小比較和二重積分中內積分上、下限的確定是難點問題。例3.1求由曲線與直線，圍成的圖形面積。解析畫出所圍成圖形的草圖，求出所圍成圖形的交點為：為了便于觀察，在草圖中要標出曲線方程，再通過判斷技巧找到被積函數。首先，對該題的微元取，對應積分變量,在所圍成的區(qū)域d中的范圍內任取一點，過該點做垂直于軸的一條數軸，且規(guī)定正方向同軸，單位大小同軸，因區(qū)域d是有界閉區(qū)域，所以每一數軸必與d有兩個交點，落在所作數軸上較小的點對應的曲線即是定義中的，相應的落在數軸上較大的點對應的曲線即是定義中的，這樣我們就可以找到被積函數的形式。（2，4

45、）（1，1）11有了被積函數，就可以求出面積： 點評 在技巧判斷中，做出的一條數軸若不能代表區(qū)域中所有的的形式，就要在不同的區(qū)域部分，再做這樣的數軸，直到中所有的面積都可以表示到。如本例中，當時，所做的數軸中所成的交點與時不同，此時就要將區(qū)域分開考慮。用此種做數軸的方法，可以很容易的找到一元函數定積分應用題型的被積函數。例3.2求二重積分，其中是由拋物線和直線所圍成。解析畫出草圖，求出各曲線的交點為： .(2，2)22 在該步驟中，我們先取定內積分，內積分的積分變量取定后，才能進一步確定是做軸的垂線還是軸的垂線。此題，我們可取為內積分的積分變量，在圍成區(qū)域相應的曲線標出方程，并寫成關于內積分變

46、量的表達形式，在作軸垂線，單位、大小、方向同軸，由判別法知，對應著較大單位的交點所在的曲線方程為內積分的上限，相應的較小交點所在的曲線方程為內積分的下限。求得體積： 點評上題中，若為內積分的積分變量，則寫成和的形式。在解二重積分時，定好內積分后的步驟與一元積分相同。二、在微分學中的應用微分學處理計算變化率的問題，它使人們能夠定義曲線的斜率，計算運動物體的速度和加速度，求得炮彈能達到其最大射程的發(fā)射角，預測何時行星靠得最近或離得最遠11。例3.3設在內連續(xù)，的圖形如圖4.3所示，則有().一個極小值點和兩個極大值點；.兩個極小值點和一個極大值點；.兩個極小值點和兩個極大值點；.三個極小值點和一個

47、極大值點。解析因為在內連續(xù)，所以可以想象的圖形是一條連續(xù)曲線。根據的圖形，能確定，即，是的駐點，是不可導點。這一步是由圖形確定數值，由此，再根據函數取極值的必要條件便知，和都可能是的極值點。再利用的圖形和軸上、下方的位置關系，由圖形確定數值。可以看出，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，。因此，和是的極大值點，和是的極小值點，即選答案。點評該題中要判斷的是取得極大值和極小值的情況，所給條件是的圖形，這就需要利用數形結合思想去分析、推理、判斷，根據的圖形在軸的上方或下方，確定在各個給定點左右兩側是取正值或取負值，進而確定的符號，最后確定給定的點是極大值點或極小值點。同時在高等數學中許多命題的發(fā)

48、現、思路的形成和方法的創(chuàng)造都是借助于幾何直觀得到的，如lagrange中值定理的發(fā)現和證明9。如圖所示：給出一段光滑的曲線弧，由于、高度不相等，不滿足羅爾定理中的條件，故在內不存在點，使(即點曲線切線平行于軸)，但借助于幾何圖形可以發(fā)現：在內存在點，該點處曲線的切線平行于弦。于是有了拉格朗日定理的猜想：設在內連續(xù)，在內可導，則在內至少存在一點，滿足。由幾何圖形又探求出定理的證明思路：將弦向上或向下平移，在將要離開而尚未離開曲線時它變成切線，所求點就位于該處。即位于弦與曲線距離最寬處。于是作，表示曲線與弦的距離，在取最大值或最小值處，就能找到所需要的點，按照這一思路得到了拉格朗日定理的證明。綜上

49、，數形結合時高等數學中十分重要的思想方法，其基本觀點在于把問題涉及的數與形結合起來作綜合考察，使數與形之間互相轉化，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到換難為易的目的4 結束語在數學教育中，數學思想方法對學生形成和發(fā)展辯證思維起著重要的作用。我們知道科學的數學化，一方面表現在數學方法廣泛地成功應用，另一方面還表現在數學思維正成為一般科學思維。后者是指數學影響自然科學、社會科學的不是通過它現成的解決某些專題的方法，而是通過它的思維的性質，通過數學中不斷制定出來的大量普遍適用的思維方法。數形結合思想是數學思想的一個重要組成部分，它不僅在數學解題中有著強大的功能，更在數學教學中發(fā)揮著巨大的作用

50、?！靶巍钡闹庇^與“數”的精確相輔相成，能優(yōu)化解題，化解難點知識，學生易于理解接受。但每一種數學方法的使用都有其邏輯依據、適用范圍以及步驟、細節(jié)，超出了一定的適用范圍，就會出現錯誤。因此要一分為二地認識數形結合的思想方法。首先體現在自身使用時的局限性:(1)在數形結合思想方法的應用過程中，有些圖形問題用數式處理，運算量很大，而用圖形處理則直觀、形象、簡潔，這會使學生漸漸認為圖形是萬能的，這種定向思維追求過頭，形成一種思維定勢，有時會束縛思維的擴散，只知其一不知其二，甚至以點代面。(2)數式問題不一定存在簡捷的圖形背景，數形轉化的通道常常很狹窄，技巧性較高，將數式轉化為圖形對學生來說是難點。如在課堂上要求學生根據代數式構造出相應的圖形，學生就無從下手，在提示參考余弦定理形式后，才有部分學生能構造出相應的三角形。(3