平面向量的應(yīng)用

1、向量的應(yīng)用（20131120）講義向量作為工具性知識(shí)已列入中學(xué)教材之中，其應(yīng)用價(jià)值已被廣大師生認(rèn)可。用向量知識(shí)解題，方法新穎、運(yùn)算簡捷，是啟迪 學(xué)生思維的有效途徑之一。但向量是以幾何的形式出現(xiàn)的，給人的感覺是在幾何中應(yīng)用廣泛，其實(shí)用向量來解決代數(shù)中的一 些問題也很方便。下面就介紹這方面的應(yīng)用。1.等式證明證明等式一般說來都要進(jìn)行繁雜的運(yùn)算，如果等式具有向量代數(shù)某些特征時(shí)，應(yīng)用向量知識(shí)較為簡單。J _ 例 1.已知一 J 一，且 x，y，z，a，b，c 為非零實(shí)數(shù)，求證例2.已知，J ，求證:-I ：-丨。例3.設(shè)任意實(shí)數(shù)x, y滿足|x|：:1 , |y|：1，求證:3.解有關(guān)三角問題例4.已

2、知：44”sin x cos x1(a 0,b0)。aba b2n2nsin x cos x證明：對(duì)于任何正整數(shù) n都有 d -“(a b)ab例5、已知向量a =3x . cos ,sin2i Xcos_ ,sin2若f (x)=a _2九a +b的最小值是3，求的值.2例6、已知 ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A (1，0)，B( 5, 8)，C(7, 4),在邊AB上有一點(diǎn)P,其橫坐標(biāo)為4，在邊AC上求一點(diǎn)Q,使線段PQ把 ABC分成面積相等的兩部分.4.求解無理函數(shù)的最值求無理函數(shù)最值問題，按常規(guī)方法求解具有一定的難度，若能用向量知識(shí)解答將會(huì)使求解變得容易。首先我們來看幾個(gè)向量的性質(zhì)：性質(zhì)1若亠，

3、則糾耳制|們=| pm十曲伍J才十/ - J桝2十并2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立性質(zhì)2I I“_ 1，當(dāng)且僅當(dāng)a ,同向平行時(shí)右邊等式成立，a,反向平行時(shí)左邊等式成立。性質(zhì)3，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同且兩兩平行時(shí)等式成立。(1)；型(同號(hào))例7.求函數(shù)- 的最大值。例8.求函數(shù)的最大值。(3)匕一.雪:宀：型（”.）例9.求函數(shù)防E+圧齊的最小值。(4)其它類型例 10.設(shè)(匸 1 , 2,2003 )為正實(shí)數(shù)，且+A + 1/2002 + 2003 +=2003試求尬1+心的最小值。的最小值。例 11.已知 e b，i dR，求 $ =嗣 +(1-疔 +(1 - O + J宀5.向量問題的坐標(biāo)解法了了弓3例

4、 12.四邊形 ABCD 中，若 一 .，_ ,求一L * -。TT例13.設(shè)P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，求 二亠廠E -取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置。例14、已知同一平面上的向量 孑、WW兩兩所成的角相等，并且|荀=1 , |肩=2 , |三|=3，求向量例15如圖所示，向量i， j ，e1， e2均為單位向量，且i丄j，e1 e2; 用i, j表示ei, e2； 若OP=xi +y j，且xy=1; OP=xi ei+yi 02;當(dāng)8=寸，求關(guān)于xi、yi的表達(dá)式，并說明方程表達(dá)的曲線形狀；向量的應(yīng)用（20131120）作業(yè)姓名 成績1.求函數(shù)y = x-3 0 -9x2的最大值。2.已知a，b，c

5、 且：1，求證,工A3.求函數(shù)yi，x2X，1-X2-X1的值域。4.已知x0,y0，且x+y=1，求.2x V . 2y 1的最大值5.設(shè)a, b為不等的正數(shù)，求證(a4 b4 )(a2 b2) . (a3 b3 )21 16.已知 x0,y0，且 x+y=1，求證：(1)(1) _9xy7.3 已知 COS H COS COS(： 亠 I ):28已知向量 a、b、c、d，及實(shí)數(shù)x、y，且| a|=1，| b|=1，c=a +(x -3) b，d=ya + xb，如果 a丄 b，c丄d，且|c| w10 (1) 求x、y的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f (x)及定義域；(2) (供部分考生選做)判斷 f

6、 (x)的單調(diào)性，指岀單調(diào)區(qū)間，并求岀函數(shù)的最大值、最小值.9.設(shè)向量玄，W2滿足2=2，|言2|=1，且言1，W2的夾角為60，若向量2沱什7言2與&+tW2的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.*ff10. P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)。求證:AP * 5C+ BP * CA+ CP * AB=W求證：(ac bd )2 - (a2 b2)(c2 d2)12.若 a = (cosa ,i nab = (cos P,s in P )，且 ka + b = 73| a- kb，其中 k0 . (1 )用 k 表示 a 由；(2)求當(dāng)k =1時(shí)，a與b所成角二(0 0,y0，且 x+y=1，求 、2x

7、V 2y 1的最大值18.求函數(shù)y =x-3 10-9x2的最大值。T19. （2004 湖北）已知 ；-TT . 了 . TT T為非零的平面向量。甲：F -:乙:，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件;B.甲是乙的必要條件但不是充分條件 ；C.甲是乙的充要條件；D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件；TT19. （2004浙江）已知平面上三點(diǎn) A、B、C滿足-I ： 二- - -L，則T fAB BC+ BC * CA+ CA *蟲占的值等于。向量的應(yīng)用（20131120）講義答案向量作為工具性知識(shí)已列入中學(xué)教材之中，其應(yīng)用價(jià)值已被廣大師生認(rèn)可。用向量知識(shí)解題，方法新穎、運(yùn)算簡捷，

8、是啟迪 學(xué)生思維的有效途徑之一。但向量是以幾何的形式出現(xiàn)的，給人的感覺是在幾何中應(yīng)用廣泛，其實(shí)用向量來解決代數(shù)中的一 些問題也很方便。下面就介紹這方面的應(yīng)用。1. 等式證明證明等式一般說來都要進(jìn)行繁雜的運(yùn)算，如果等式具有向量代數(shù)某些特征時(shí)，應(yīng)用向量知識(shí)較為簡單。= J例1.已知，且x，y，z，a，b，c為非零實(shí)數(shù)，求證_分析：由實(shí)數(shù)x，y，z與實(shí)數(shù)a， b，c對(duì)應(yīng)成比例，聯(lián)想到向量平行，進(jìn)而聯(lián)想到向量坐標(biāo)。解：構(gòu)造向量初=（池嚴(yán) ）,（a, bt c）m與n的夾角為B，-，則I因丨 Wl+2）由此得0= 0或0 = n所以m/n因此，_例2.已知廠5 / i，求證” I。分析：題設(shè)與結(jié)論都與

9、1有關(guān)，由題設(shè)聯(lián)想到向量。解設(shè)廣； I-n與m的夾角為B, J_-則:| 1又丨川1=:=-所以 cos 0=1 , 0=0所以m/n因此 -_ _”11移項(xiàng)兩邊平方，經(jīng)整理可得/ + 護(hù)=12. 不等式證明證明不等式主要依據(jù)有關(guān)向量的不等式a b b例3.設(shè)任意實(shí)數(shù)x, y滿足|x|：:1，|y|：:1，求證:1 11-x21 - y221 - xy=(.1 - x2，1 - y2) 1證明：構(gòu)造向量 a =(；42一 1 XT由向量數(shù)量積性質(zhì)(ab)2 | a|2| b|2得11 y2 22)(1 -x 1 -y )所以1+2 21 -x 1 -y2 -2 -(x y )2 -2xy 1

10、- xy即21X 1 -1xy1(a b)n4分析：借助向量不等式b |等號(hào)成立的條件，構(gòu)造向量，可化難為易sin2 x證明：構(gòu)造向量 p =(la2cos x22),q = Na yb)，貝U p q = sin x 十 cos x = 13. 解有關(guān)三角問題44” sin x 丄 cos x 1/ c , c、例 4.已知：(a 0,b 0)。ab a + b2n2nsin x cos x 證明：對(duì)于任何正整數(shù) n都有n 4i n -1abI p| |q 1=sin4 x4cos x 亠a b =1，所以bp q =| p | | q |，故 p,q 同向，貝U p 二2sin x cos

11、 x即:八a,:；.、b，所以 0,因此 I a+ b I = 2 cos x2二 f ( x) = a b 2人丨 a+ b丨即卩 f (x) =2(cosx _ ”)2_2k26分x 0, $/ 0 cos x 1 若 v 0,則當(dāng)且僅當(dāng)cos x = 0時(shí)，f ( x)取得最小值一1,這與已知矛盾；8分 若0W - 1,則當(dāng)且僅當(dāng)cos x = 1時(shí)，f ( x)取得最小值1-4 ,35由已知得1-4，解得：，這與/ 1相矛盾.281綜上所述，為所求.12分24，在邊AC上求一點(diǎn)Q,4 分又 SAPQ =|竺 | |JAQS 心bcAB AC8分，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(xq,帕例6、已知 AB

12、C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A (1 , 0) , B( 5, 8), C (7, 4),在邊AB上有一點(diǎn)P,其橫坐標(biāo)為 使線段PQ把 ABC分成面積相等的兩部分.設(shè) 451設(shè) PA 二1AB,QA 二 22 AC,則 1 =1 +九嚴(yán)岸丿2|,則3|汁丄又02AB AC 4422 2則Xq +()匯7yQ +()漢(旳 得88則 1 =3_ o =3，得 Xq =5, yQ = Q(5,)2 2331 1 -3 34.求解無理函數(shù)的最值求無理函數(shù)最值問題，按常規(guī)方法求解具有一定的難度，若能用向量知識(shí)解答將會(huì)使求解變得容易 首先我們來看幾個(gè)向量的性質(zhì)：性質(zhì)1若則|d糾耳制|們=| ptn十勸伍J才十（?2

13、 . J桝2十并2當(dāng)且僅當(dāng)f時(shí)等式成立性質(zhì)2,當(dāng)且僅當(dāng)a，+ ；，同向平行時(shí)右邊等式成立，立。性質(zhì) 3: .心I I（1）T1 - - 型（、同號(hào)）例7.求函數(shù)：-、；_ ?的最大值。解：構(gòu)造向量-一-乙山由性質(zhì)1，得：d一蘭/寧 + 1- 1 + 1 Q -忑二 3/26，當(dāng)且僅當(dāng)：亠二a，-反向平行時(shí)左邊等式成方向相同且兩兩平行時(shí)等式成立。當(dāng)且僅當(dāng)-并=Jx-1，即（2_ - + 型（護(hù)-4處0）251藥時(shí)，俎x二3姬例8.求函數(shù)的最大值。解：原函數(shù)可變?yōu)樨? x女+ J1U靈亍/(x) = -x3x + V10-9?取且(3力十(JlO-虹于=101), h = (3xf JI5-崇)構(gòu)

14、造向量由性質(zhì)1，得/(x) = 1x3j+ 710-9/蘭 J($ +F x+ (J10 一 9齊從而當(dāng)且僅當(dāng)J-澎 +103ywk（3”型（）例9.求函數(shù)：的最小值。解：構(gòu)造向量=* :二* 二 由性質(zhì)2，得y十I + IM市+ 5二J羅+0 +卯二網(wǎng)當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向平行時(shí)等式成立6所以兒沖 -（此時(shí)）（4 ）其它類型, x，亠“+ J% +A +- 2003例10.設(shè)-（i= 1 , 2,2003 ）為正實(shí)數(shù)，且- L -，亠，試求 1 , :.-:, jil 一,ji :的最小值解：構(gòu)造向量由性質(zhì)3，得;7=| flj | +| aa |+A +1 am I呂盤十也十A十盤30（3 I

15、= 200372例ii.已知八二求叮7一廠Wi JJ的最小值。解：構(gòu)造向量! = (, 1 Z),= (1 a), a = (bt 1 |+a +a3 + 氐4 +金$ + 口石 |2= -722所以-5.向量問題的坐標(biāo)解法弓手W弓予例12.四邊形 ABCD 中，若 -，求三二。解：如圖2建立坐標(biāo)系。設(shè)川（，0），列業(yè)嘰源珈），則CD 二（f-必-肖）SC 二科 _ 偽 n -bBD = （f _盤,-b）AB -仏對(duì)， AD 二幺 0） AC= 丹），-S3 ）2 + K2 = F + （卿一金H（用-代入已知條件得：/+幾即曲-： 所以-* .-.- j |例13.設(shè)P為KBC所在平面內(nèi)一

16、點(diǎn)，求_，_H 取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置。 解：設(shè)門門T則 If J 二（H 可十卄）+（盂一也）+3九F +S 一碼）+3一丹）x2 4-+ x33（其中m為常數(shù)）可十可+碼Ai+y】+73A ! V 所以，當(dāng)T T即P為AABC的重心時(shí)，j -取得最小值。例14、已知同一平面上的向量1T、EW兩兩所成的角相等，并且|荀=1 , |肩=2 , |三|=3，求向量1T + W + W的長度.錯(cuò)解：易知孑、WW皆為非零向量，設(shè)la、1）、W所成的角均為B，則3 9 =360，即9 = 120，111_11113所以，a b = |a | | b |cos120=1，同理 b c = 3， c a =

17、 2，111010101 0111111111r由 |a + b + c | 2 = a2+ b2+ c2+ 2 a b + 2 b c + 2 c a = 3，故 |a + b + c |=3.辨析：本例誤以為 孑、了、W皆為非共線向量，而當(dāng)向量 孑、W、W，共線且同向時(shí)，所成的角也相等均為 0，符合 題意.由于當(dāng)向量孑、BW共線且同向時(shí)，所成的角均為0 ；所以 | 芳+了+三|=| 首|+| 了|+| W|=6 ;所以，正確的答案向量 a +b + c的長度為6或3例15如圖所示，向量i， j ，ei， e2均為單位向量，且i丄j，ei丄斂; 用i， j表示ei， e2； 若OP=xi +

18、y j，且xy=1; OP=xi ei+yi e2；當(dāng)時(shí)，求關(guān)于xi、yi的表達(dá)式，并說明方程表達(dá)的曲線形狀；O分析：利用平面向量的基本定理對(duì)向量進(jìn)行分解，中間包含向量的基本運(yùn)算可得 ei=cos i+sin j) e2=-sin i+cos jJ2ei詩(i+j)2方程為：xi2-yi2=2曲線為雙曲線e2=2(-i+j)注：本題要求學(xué)生對(duì)平面向量的基本定理有較深刻的理解，基向量的選擇，就是坐標(biāo)系 的選擇。利用向量的運(yùn)算，可以研究在不同坐標(biāo)系下同一曲線的不同方程，體現(xiàn)了坐標(biāo)變換 的思想，使初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)平穩(wěn)過渡，這是新 課改”的一個(gè)方向。向量的應(yīng)用(20i3ii20)作業(yè)姓名 成績i.求

19、函數(shù)y =x-3 i0 -9x2的最大值。分析：本題是求無理函數(shù)的最值問題，按常規(guī)方法求解有一定的難度，若正確構(gòu)造向量，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)| ab | - | a | b |解答，將會(huì)使求解非常容易1I2112解： 原函數(shù)可變?yōu)?y = _33x 10 _9x , 設(shè) f (x) 3x -JO _9x , 因?yàn)?31(3x)(10-9x )二10，所以構(gòu)造向量“中心0 )由|ab|十1323x ,10 -9x |0,y0，且x+y=1，求v 2x2y 1的最大值 證明：構(gòu)造向量 a =(1,1) , b ( 2x 1 , 2y 1)根據(jù)(a b )2 引 a |2 | b |2 得：(V 2

20、x 1 V,2y 1)(1 1)(2x 1 2y 1)即 1 2x 1 V .2y =2 2故 2x 1 . 2y - 1 最大值為 2. 2.5.設(shè)a，b為不等的正數(shù)，求證(a4 b4 )(a2 b2) - (a3 b3)2TT證明：構(gòu)造向量m = (a2， b2)， n = (a， b)，則(a3 b3)2 =(m n)2=| m|21 n |2 cos2 -2 2乞|m| |n|= (a4 b4)(a2 b2)Tf因?yàn)閍, b為不相等的正數(shù)，所以m =，n，即V = o，二所以(a4b4)(a2 b2) . (a3b3)211) _9。y16.已知 x0,y0，且 x+y=1，求證:(1

21、 ：卜)(1 ：卜X)，則 a b =1 -yXy，而(1x 1證明：構(gòu)造向量a =(1,),b =(1,Jx|a| |b| =I b |2 _ 1 _ 由 | a b |乞| a | b |，得 | a -b | 0,t向量2t e 1+7 e 2與e 1+t e 2的夾角為銳角,11即2t2 +15t+70，解得t -空故所求實(shí)數(shù)t的取值范圍為t -.辨析：上面的解法似乎合情合理， 毫無破碇.事實(shí)上，上面的解法忽略了向量夾角的范圍，以致岀錯(cuò).因?yàn)閮上蛄縠1與e2的夾角9的取值范圍是0 , n ，當(dāng)(2t e 1+ 7 e2) ( e 1 +1 e 2) 0時(shí)，2t e 1 + 7 e 2與

22、e 1 +1 e 2的夾角范圍9 0 , 2)，由題設(shè)條件知，向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為銳角，二9工0,因此，在上面所求出的 x的取值范圍須去掉9 = 0時(shí)9的范圍.設(shè) 2t e 1+7 e 2=入(e 1+t e 2)(入 0) , 7二，解得t唐入=14當(dāng) t =,2t e什7e2與e 1+t e 2的夾角為0.U仔1所求x的取值范圍應(yīng)是：（-，- 7） U （ - 2,10. P為KBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)。求證： +1I，則證明：如圖3建立坐標(biāo)系。”衛(wèi)(0, d卜 S(a,功，C(G 0), p(x,對(duì) 設(shè)x - y _ 玄-b), BP=(CATAB =二(-(7, 0),

23、 CP =(x-c, y)仙巧* AP -7)* TAP * BC+ BP * CA+ CP AB從而xc a by - aj + 盤(托c J + Zy/ex - xa hy ex+ca + ax ac + by=0說明：原解答利用垂心的性質(zhì)證之，要求較高，證法較煩，顯然坐標(biāo)解法相對(duì)簡練。11.求證：(ac bd)2 (a2 b2)(c2 d2)證明：設(shè) OA =(a,b),OB =(c, d)(O當(dāng)OA,OB至少有一個(gè)為零時(shí)，所證不等式 0遼0成立;當(dāng)OA,OB都不是零向量時(shí)，設(shè)其夾角是 ，則有cos 二OA OB|OA| |OB|ac bd二廠b2c2d2因?yàn)?|cos二 |_1，即(a

24、c bd)2 乞(a2 b2)(c2 d2)點(diǎn)撥：只要實(shí)質(zhì)上，甚至形式上和向量沾點(diǎn)邊的，都是向量的親戚，用向量去思考，沒錯(cuò)!12.若a = (cosa,sin 口 卜 b = (cos P,sin P 卜且 ka + b = J3|a -kb，其中 k 0 .(1) 用k表示a b;(2) 求當(dāng)k =1時(shí)，a與b所成角二(0n的大小.解：(1)a b = cos ： cos ,亠sin ： sin ： = cos(：-)；法一：ka + b = kcos：亠cos :, ksin ：亠sin ：，a - kb = (cos。-kcosP ,si n。-ksi n P)，二 ka + b? =(

25、kcosa +cosP)2 +(ksina +sin P)2=1 k2 2k(cos ： cos ： sinsin ：) = 1 k2 2k cos(：-)，a + kb? =(cos：_ -kcos - )2 (sin 二 -ksin I-)2 .=1 k2 -2k(cos ： cos ： sin ： sin ： )=1 k2 -2kcos(：I).由 ka + b = 5/3| a-k b，得 1 +k2 +2k cos(。一 B) =31+ k2 2k cos(a B )，整理，得 8kcos(： - J =2(k21).k +1又 k 0，二 cos(：-)，即 a b =4kjk 0

26、);4k法二：T=cos? ： sin? ： = 1b = -. cossin? ： = 1.由 ka+ b=3 a- k b，得 k a +2kaib+ b =3 a 6ka 中+ 3k b ，整理，得 8ka b= ： k21 ,k2 +1二 ab=k 0）；（2）當(dāng) k =1 時(shí)，t a b =2k 114kCOSda ba|b又t 0 9 n e =3點(diǎn)評(píng)：本題以向量的模、數(shù)量積作為平臺(tái)，主要考查了三角恒等變換解答中用到了解答向量模的兩種典型的方法：一是通一 一 2 2過運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算先求得向量的坐標(biāo)，再求向量的模；二是利用公式a =a將求模轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積.要熟練掌握這兩種方

27、法的解題要領(lǐng).Hr.13.已知 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A = (2 cos x 1) OB =(1,J3sin 2x + a) ( R， R， a 為常數(shù))，若y = OA OB，(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式f (x)；(2)若x. o,上 時(shí)，f(x)的最大值為2,求a的值，并指出函數(shù) f(x)(xR)的單調(diào)區(qū)間. 27t解: (1) f (x) = y = OAOB = 2cos2 x 、3sin 2x a = cos2x+3sin 2x+1+a=2sin、2x+ 十 1 + a ；1a，i n : f（X）=2sin 2x -故 f (x)max =21 a = 2，解得 a = -1 可求

28、得函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kn7 n ， k Z ；單調(diào)遞減區(qū)間為 kn2 n k n ， k Z .IL 36 .IL63點(diǎn)評(píng)：本題通過向量的數(shù)量積巧妙地把向量與三角函數(shù)、三角恒等變換融為一體，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值及單調(diào)區(qū)間.14.已知向量 m = (cos日,sin 日)和 n = (J2 sin日，cos日)，日乏(n2 n，鉅，求 cosC512 8 丿的值.解法一：t m + n = cost-sin v 、2,cosv sin v ,m+n = (cos sin .2)2 (cos sin )2=4 2 2(cosin )4+4cosbV I 4丿由已知m +

29、n =應(yīng)2，得cos日5Ln =乙425又cosn二 2cos- n -12 8 cos2 2 n 上28 丿 255 nn 9 n + - 828 8n ： v : 2 n,cos n : 0 ,2 8cos? +nL 4128 丿 52 2 2 2解法二： m+n =( m+n) = m +2m+n2=m+n2 m n=(、cos2 r sin2 )2 亠.(2 sin 二)22 _cos2 r 2cosr(2sin r)sin rcosr=4 2、-2(cos v -sin J7tcos 2 8由已知m+ n| =魚叵，得5n ： v : 2 n,5 n 二1 n 9 n + 8 2 8 80 cos I -2n I80,y0，且x+y=1，求.2x2y 1的最大值證明：構(gòu)造向量 a =(1,1) , b =( .2x 1 , , 21) 根據(jù)(a b )2 引 a |