利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍

1、利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍 課型：專題復習課 復習重點 ：利用導數(shù)的有關知識，求參數(shù)的取值范圍 基礎知識 ：導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的極值和最值的求法、函數(shù)單調性的充要條 件的應用 復習難點 ：解題方法靈活變通 一 已知函數(shù)單調性，求參數(shù)的取值范圍 類型 1參數(shù)放在函數(shù)表達式上 例設函數(shù) f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中 a R (1)若f(x)在x 3處得極值,求常數(shù) a的值. (2)若f(x)在( ,0)上為增函數(shù) ,求a的取值范圍 略解：()由 f (3) 0解得a 3.經(jīng)檢驗知 a 3時,x 3為f (x)的極值點 () 方法 ： f (x) 6x2 6(a 1)x 6a

2、 6(x a)(x 1) 當a 1時,f (x)在( ,1),(a, )上遞增,符合條件. 當a 1時,f (x) 6(x 1)2 0恒成立, f (x)在( , )上遞增. 當a 1時,f (x)在( ,a),(1, )上遞增,要保證f(x)在( ,0)上遞增,則0 a 1 綜上所述.a 0時, f (x)在( ,0)上遞增. 方法： 因為 f (x)在( ,0)上遞增 所以f (x) 0在x ( ,0)上恒成立 即x(x 1) a(x 1)在 x ( ,0)上恒成立 x 0, x xa 從而 a 0 10 方法 保證 f (x) 6x2 6(a 1)x 6a在 ( ,0上最小值大于或等于零

3、 a1 a1 0 故有 2 0或 2 0 f (0) 0 可解得 a 0 解題方法總結：求 f ( x)后，若能因式分解則先因式分解，討論 f(x)=0 兩根的大小 判斷函數(shù) f(x) 的單調性，若不能因式分解可利用函數(shù)單調性的充要條件轉化為恒成 立問題. 基礎訓練： 1.設函數(shù) f (x) 2x3 3(a 1)x2 1,其中 a 1 (1).求 f (x)的單調區(qū)間 ; (2).討論f (x)的極值 . 類型 2參數(shù)放在區(qū)間邊界上 例已知函數(shù) f (x) ax3 bx2 cx d在x 0處取得極值 ,曲線y f(x) 過原點和點 (-1,2),若曲線 y f (x)在點P處的切線與直線 y

4、2x的夾角為 45 且切線的傾斜角為 鈍角. (1) 求 f(x) 的表達式 (2) 若 f ( x)在區(qū)間2m-1,m+1上遞增,求m 的取值范圍 . 略解 (1) f (x) x3 3x2 (2)f (x) 3x2 6x 3x(x 2)可知f (x)在( , 2),(0, )上遞增,在( 2,0)上遞減 從而只要保證 2m 1,m 1是 ( , 2)或(0, )的一個子區(qū)間 m 1 2 2m 1 0 所以 或 m 1 2m 1 m 1 2m 1 1 解得 m ( , 3 1,2 2 總結 :先判斷函數(shù)的單調性 ,再保證問題中的區(qū)間是函數(shù)單調遞增 (遞減)區(qū)間的一個子 區(qū)間即可. 基礎訓練：

5、 2.已知函數(shù) f(x) x3 3x2 7,若f (x)在a,a 1上單調遞增 ,求a的取值范圍 . 二已知不等式在某區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍 類型參數(shù)放在不等式上 2 例 3.已知 f (x) x3 ax2 bx c在x2 與x 1時都取得極值 3 (1) 求、的值及函數(shù) f (x) 的單調區(qū)間 (2) 若對 x 1,2, 不等式 f (x) c 恒成立，求的取值范圍 1 略解： (1)a,b 2 2 2 2 2 2 22 3 (2).f (x) 3x2 x 2,由3x2 x 2 0得x或x 1且f( ) c, f(1) c 3 3 27 2 1 f( 1) c, f (2) 2 c,

6、所以f(x)在 1,2上的最大值為 f(2) 2 c 從而 c2 2 c，解得 c 1或c 2 2 3.已知函數(shù) f (x) x3 x 2 總結 :區(qū)間給定情況下 ,轉化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值 . 基礎訓練： 2x 5,若對任意 x 1,2都有 f(x) m則實數(shù) m的取值范圍是 類型 2參數(shù)放在區(qū)間上 例已知三次函數(shù) f (x) ax3 5x2 cx d 圖象上點 (1,8)處的切線經(jīng)過點 (3,0),并且 f(x) 在 x=3 處有極值 . ) 求 f (x) 的解析式 . ) 當x (0,m)時, f ( x) 0恒成立,求實數(shù) m的取值范圍. 分析 :(1) f (x) x3 5x

7、2 3x 9 2 (2).f (x) 3x2 10 x 3 (3x 1)(x 3) 由f(x) 0得x1 1,x2 3當x (0,1)時f(x) 0, f(x)單調遞增 ，所以f(x) f (0) 9 33 1 當x (1,3)時f(x) 0, f ( x)單調遞減 ,所以f(x) f(3) 0 3 所以當 m 3時f (x) 0在(0, m)內不恒成立 ，當且僅當 m (0,3時f (x) 0在(0, m)內恒成立 所以 m的取值范圍為 (0,3 基礎訓練： 4.若不等式 x4 4x3 2 a對任意實數(shù) x都成立 ，則實數(shù) a的取值范圍是 . 三知函數(shù)圖象的交點情況，求參數(shù)的取值范圍 例 5

8、.已知函數(shù) f (x) ax3 bx2 3x在x 1,x 1處取得極值 (1) 求函數(shù) f (x) 的解析式 . (2) 若過點 A(1,m)(m 2)可作曲線 y= f (x)的三條切線,求實數(shù) m的取值范圍 . 略解(1)求得 f (x) x3 3x (2)設切點為 M(x0,x03 3x0),因為f (x) 3x2 3 所以切線方程為 y m (3x02 3)(x 1),又切線過點 M 所以 x03 3x0 m (3x02 3)(x0 1) 即2x30 3x02 m 3 0 因為過點 A可作曲線的三條切線 , 所以關于 x0的方程 有三個不同的實數(shù)根 設g(x0 ) 2x30 3x02

9、m 3則g(x0) 6x02 6x0 由g (x0) 0得x0 0或 x0 1 所以 g(x0)在( ,0), (1, )上單調遞增 ,在(0,1)上單調遞減 ,故函數(shù) g(x0)的極值點為 x0 0,x0 1 所以關于 x0的方程 有三個不同實根的充要 條件是 g(0) 0解得 3 m 2 0 g(1) 0 所求的實數(shù) m的取值范圍是 ( 3, 2) 總結:從函數(shù)的極值符號及單調性來保證函數(shù)圖象與 x 軸交點個數(shù) . 基礎訓練： 5.設 a為實數(shù) ,函數(shù) f (x) x3 x2 x a (1)求f ( x)的極值 (2)當a在什么范圍內取值時 ,曲線y f ( x)與x軸僅有一個交點 四.

10、開放型的問題，求參數(shù)的取值范圍。 例已知 f(x) x2 c,且 f f(x) f (x2 1)。 (1)設g(x) f f (x) ，求 g(x)的解析式。 (2)設 (x) g(x) f (x) ，試問：是否存在R，使 (x) 在( , 1)上是單調 遞減函數(shù)，且在( 1,0 )上是單調遞增函數(shù)；若存在，求出的值；若不存在，說 明理由。 分析：(1)易求 c=1,g(x) x4 2x2 2 (2) (x) g(x) f (x)x4 (2 )x2 (2 ) ， (x) 2x2x2 (2 ) 由題意 (x) 在( , 1)上是單調遞減函數(shù)，且在( 1,0 )上是單調遞增函數(shù)知， ( 1) 0 是極小值，由 ( 1) 0 得 4 當4，x ( 1,0)時， (x) 0, (x) 是