格型自適應(yīng)濾波器

1、。第四章格型自適應(yīng)濾波器本章研究另一類線性自適應(yīng)濾波器， 其是設(shè)計基于階數(shù)更新和時間更新的遞歸算法。這種新的自適應(yīng)濾波器與前面章節(jié)所研究的濾波器的不同之處在于階數(shù)更新。而這可以利用均勻采樣后時間數(shù)據(jù)的時移特性來實(shí)現(xiàn)。就結(jié)構(gòu)而言， 階更新獲得一種計算高效、 模塊化以及格型的結(jié)構(gòu)； 它可將前面 m-1 階計算得到的信息傳遞到更新后的 m階濾波器。最后結(jié)果是實(shí)現(xiàn)其計算復(fù)雜度與濾波器 m階呈線性關(guān)系的自適應(yīng)濾波器。與其他類型線自適應(yīng)濾波器相同， 階遞歸自適應(yīng)濾波器的設(shè)計也是基于下面兩種方法：1 隨機(jī)梯度法它建立在前向線性格型預(yù)測器和后向格型預(yù)測器的基礎(chǔ)上。2 最小二乘法它建立在卡爾曼濾波器與最小二乘濾

2、波器之間對應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上。LMS和 RLS濾波器同屬于橫向自適應(yīng)濾波器，在實(shí)際應(yīng)用中，一個橫向?yàn)V波器的最優(yōu)階數(shù)通常是未知的， 這就需要通過比較不同階數(shù)的濾波器來確定最優(yōu)的階數(shù)。但是，當(dāng)改變橫向?yàn)V波器的階數(shù)時， LMS和 RLS算法必須重新運(yùn)行，這顯然是很不方便且費(fèi)時，而格型濾波器解決了這一難題。格型濾波器最突出的特點(diǎn)是局部相關(guān)聯(lián)的?；瘔K結(jié)構(gòu)， 格型系數(shù)對于數(shù)值擾動的低靈敏性， 以及格型算法對于信號協(xié)方差矩陣特征值擴(kuò)散的相對惰性， 使得其算法具有快速收斂和優(yōu)良數(shù)值特性，已被廣泛應(yīng)用于信號預(yù)測和濾波處理。4.1 梯度自適應(yīng)格型算法梯度自適應(yīng)格型（ GAL， gradient-adeptive la

3、ttice）濾波器具有對稱的格型結(jié)構(gòu)，從隨機(jī)梯度法得出的階遞歸自適應(yīng)濾波器設(shè)計簡單，但在特性方面是近似的；其設(shè)計的簡單性在于格型濾波器的每一級只有一個反射系數(shù)。其設(shè)計準(zhǔn)則和 LMS算法一樣是使均方誤差為最小。圖 4.1 示出了一個單級格型預(yù)測器的方框圖：精選資料，歡迎下載。fm 1( n)f m (n)由反射系數(shù) K mbm (n)bm 1( n)表征的第 m級圖 4.1 單級格型預(yù)測器6其輸入輸出關(guān)系用單個參數(shù) 反射系數(shù) K m 來表征。假設(shè)輸入數(shù)據(jù)廣義平穩(wěn)且 km為復(fù)值。對于 km的估計，首先考慮代價函數(shù)J fb ,m1 E| f m (n) |2| bm ( n) |2 (4-1)2其中

4、，()是第m級前向預(yù)測誤差，b (n) 是第m級后向預(yù)測誤差。fm (n)fm nm和 b (n) 在第二章已有定義，它們都是在本級濾波器輸出端測量的；E 為統(tǒng)計期m望算子；引入 1/2是為了簡化表達(dá)式。格型濾波器的輸入輸出關(guān)系為：f m( n)f m 1( n) K m*bm 1 (n 1)(4-2)bm (n)bm 1(n 1)K m f m 1(n)(4-3)把式 (4-2) 和(4-3) 代入 (4-1) ，并對代價函數(shù)求關(guān)于km的偏導(dǎo)數(shù)，我們得到：Jfb,mK m222E bm 1 (n 1) fm*1 (n)(4-4)( E f m 1( n) E bm 1 (n 1) )K m如

5、令該梯度等于零，則當(dāng)代價函數(shù)Jb ,m 取得最小值時，即得反射系數(shù)最優(yōu)值為：K mEbm 1 (n1) f m*1 (n)1 E| f m 1 (n) |2(4-5)|bm 1 (n 1) |2 2式(4-5)就是反射計算的計算公式。由于式 (4-5) 涉及使用集平均。設(shè)輸入信號u( n) 是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用平均值代替式中分子分母的期望值。于是，m級格型預(yù)測器反射系數(shù)K m 的估計為：nbm 1 (i 1) fm*1 (i )K m (n)i 1(4-6)1n(| fm 1 (i) |2| bm 1 (i 1) |2 )2 i 1我們定義：精選資料，歡迎下載。1n2| bm 1(i2)(4-

6、7)m 1 (n)(| f m 1 (i) |1) |2 i 1m 1 (n) 是直到時刻 n（包含 n）測得的 m級輸入前向預(yù)測誤差和延遲的后向預(yù)測誤差的總能量 . 將式 (4-6)2| bm 1 (i2中的 | fm 1 ( i ) |1) |與其他和式分離， 即得計算 m 1 (n) 總能量的遞歸公式 :m 1 (n 1)= m 1 (n 1)+ | fm 1 (i ) |2| bm 1 (i 1) |2(4-8)采用類似方式，可對6 式中的分子寫出遞歸公式，它表示時間平均互相關(guān)nn 1bm 1 (i 1) f m*1 (i )=bm 1 (i 1) fm*1 (i )+ bm 1(i

7、1) f m*1 (n)(4-9)i 1i1將式 (4-8) 和式 (4-9)代入式 (4-6) ，可得反射系數(shù)估計值的遞歸關(guān)系式為：K m (n) K m (n 1)f m* 1(n)bm (n)bm 1 (n1) f m*( n)(4-10)m 1( n)為了最終確定梯度格型濾波器算法的表達(dá)式，對式(4-8)和式 (4-10) 做如下兩點(diǎn)修改：1 引入步長參數(shù) ，用來控制從一次迭代到下一次迭代傳遞中每個反射系數(shù)的調(diào)整量：K m (n) K m (n 1)( f m*1(n)bm (n) bm 1 (n 1) fm* ( n)(4-11)m 1 (n)2 修改式 (4-8) 的能量估計器，使

8、之成為如下形式：m 1(n)22m 1 (n 1) (1 )( fm 1 (n)bm 1 (n 1) )(4-12)式中是一個介于 01 之間的新參數(shù)。導(dǎo)出式 (4-10) 的遞歸估計器， 原來假設(shè)工作在平穩(wěn)情況下， 為了處理非平穩(wěn)情況下的統(tǒng)計變量， 引入修改后的式 (4-11) 。修改的目的是使估計器具備記憶功能，并借助預(yù)測能量最接近的過去值m 1 (n) 及現(xiàn)在值來計算反射系數(shù)的估計值 。在 GAL 算 法中 ，當(dāng) 反射 系 數(shù) K m (n) 的更 新式 中 使用 時 變 步長 參數(shù)m (n) =時引入了一種類似于歸一化LMS算法的歸一化形式。由式 (4-12)m 1 (n)可以看出，對

9、于較小的前后向預(yù)測誤差，參數(shù) m 1( n) 相應(yīng)較??；或者等效地，步長參數(shù)m (n) 相應(yīng)較大。從實(shí)用觀點(diǎn)看，這種性能很比較需要。本質(zhì)上，小的預(yù)測誤差意味著自適應(yīng)格型預(yù)測器正在為它所運(yùn)行的外部環(huán)境提供一個精確的模精選資料，歡迎下載。型。因此，如果預(yù)測誤差增大，應(yīng)該是外部環(huán)境變化引起的；在這種情況下，能夠?qū)@種變化作出快速響應(yīng)的自適應(yīng)格型器將是高度合乎需要的。事實(shí)上，可通過設(shè)定m (n) 為一個較大值來實(shí)現(xiàn)這一目的，這也使得GAL算法中的式 (4-10) 一開始就能夠快速收斂到新的環(huán)境。但是，加到自適應(yīng)格型預(yù)測器的輸入數(shù)據(jù)含噪過多 （即有用信號上加有很強(qiáng)的白噪聲成分） 則由自適應(yīng)格型預(yù)測器所產(chǎn)

10、生的預(yù)測誤差相應(yīng)就大。 在這種情況下，參數(shù) m 1 (n) 取較大值，或者等效地，步長參數(shù) m (n) 取較小值。因此，這時GAL算法中式 (4-10) 并不恰好像我們所希望的那樣， 能對外界環(huán)境的變化作出快速相應(yīng)。GAL算法的流程歸納如下：參數(shù)： M=最終預(yù)測階數(shù)m 1 (n1)中的=0.09多級格型預(yù)測：對于階數(shù) m=1,2,M, 置fm (0) bm (n) 0(4-13)m 1 (0)取 0.01 ，K m(0)取為 。0 .對于時間步： n=1,2, 置f0 (n) b0 (n) u(n)(4-14)對于預(yù)測階數(shù) m=1,2, ,M, 和對于時間步： n=1,2, , 計算m 1 (

11、n)m 1 (n1) (1)( fm 1 ( n)22(4-15)bm 1( n 1) )f m( n)f m 1( n)K m*bm 1 (n1)(4-16)bm (n)bm 1(n1) K m f m 1(n)(4-17)K m (n)K m (n 1)m (n)( f m*1 (n)bm (n)bm 1 (n1) f m* (n)(4-18)4.2 GAL 算法仿真分析用自適應(yīng)預(yù)測來驗(yàn)證新算法的收斂性能。自適應(yīng)預(yù)測示意圖如圖2.7 所示。所示。計算機(jī)仿真條件為:設(shè)輸入信號 x(n) 由二階 AR模型所產(chǎn)生x(n)=1.558x(n-1)-0.81x(n-2)+V(n)(4-19)其中 a

12、1=1.558 ，a2=-0.81,V(n)為一白噪聲，我們用一個二階 LMS自適應(yīng)橫精選資料，歡迎下載。向預(yù)測器和一個二階梯度自適應(yīng)格型預(yù)測器分別對a1 和 a2 作出估計， 通過迭代，這兩種方法的估計值 a1 和 a2 分別分別趨于 1.558 和 -0.81 。需要注意的是，因?yàn)樽赃m應(yīng)格型預(yù)測器估計出的是反射系數(shù) K1( n) 和 K 2 (n) ，所以需要將其進(jìn)行換算，也即 a1 和 a2 可按下式算出：a1 (n)K1 (n)1K 2 (n)(4-20)a2 ( n)K 2 (n)(4-21)圖 4.2 示出了三種算法的 a1 n， a2 n 曲線。21.51值 0.5GAL算法權(quán)L

13、MS算法0-0.5-10200400600800100012001400160018002000采樣點(diǎn)數(shù)圖 4.2兩種算法權(quán)值收斂軌跡以上曲線均為獨(dú)立實(shí)驗(yàn)100 次取平均得來。由圖4.2 可見， LMS算法和 GAL算法算得的 a1 和 a2 都分別趨于 1.558 和-0.81 ，但自適應(yīng)格型算法的收斂速度比橫向自適應(yīng)算法快很多。梯度自適應(yīng)格型濾波器算法的反射系數(shù)用遞推算法得來，不涉及矩陣求逆，其計算量比 LMS略高，比 RLS算法低?？蓱?yīng)用與比 LMS算法要求高的場合。 但是，一些場合往往需要更高的收斂速度才能滿足要求。這就迫使我們研究一種收斂更快的格型算法。那就是下面要介紹的LSL 算法

14、。4.3 最小二乘格型算法基于最小二乘法的階遞歸自適應(yīng)濾波器比較精確； 但其算法表達(dá)式需要更多的軟件編碼關(guān)系。其算法的復(fù)雜性在于最小二乘格型預(yù)測器的每一級需要兩個不同的反射系數(shù)來表征它， 一個用于前向預(yù)測， 另一個用于后向預(yù)測。 這種非對稱的格型濾波器的設(shè)計準(zhǔn)則采用最小二乘（LS）方法，使預(yù)測誤差的平方和為最小。圖 4.3 是一個 LS 格型濾波器。其中 m (n) 和 m (n) 分別為第 m級格型濾波器的前向殘差和后向殘差， rm 稱為反射系數(shù)， p 為濾波器的階數(shù) 15 。與只有一個反精選資料，歡迎下載。射系數(shù) rm 的 LMS格型濾波器不同的是， LS 格型濾波器的前向反射系數(shù) k *

15、f , m( n 1) 和后向反射系數(shù) kb* ,m (n 1) 是不相等的。0 (n)1(n)M 1(n)M (n)k*f ,1(n)k*f ,M(n)u(t)k* *(n1)kb,1(n)*b,1kbM, (n)0 (n)1 (n)M 1M (n)z1z1圖 4.3 RLS 自適應(yīng)格型濾波器19由上圖可以寫出前、后向預(yù)測誤差的方程，即有m (n)m 1 (n)kb*, m (n) m 1(n 1)(4-22)m (n)m 1 (n1)k *f ,m (n) m 1 (n)(4-23)式(4-22) 和式 (4-23) 表明了以下事實(shí)：(1)第 m級濾波器在 n 時刻的前（后）向預(yù)測誤差不僅

16、與前一級n 時刻的前向預(yù)測誤差m 1( n) 有關(guān)，而且還決定于前一級n-1時刻的后向預(yù)測誤差m 1 (n 1) 。(2) LS 格型濾波器設(shè)計的核心問題就是推導(dǎo)前、后向反射系數(shù)的遞推公式，即如何使用前級濾波器的有關(guān)參數(shù)推出本級的前、后向反射系數(shù)。(3) LS 格型濾波器既含有階數(shù)遞歸 （本級參數(shù)與前級參數(shù)有關(guān)） ，又包含了時間遞推（當(dāng)前時刻的濾波器參數(shù)與前一時刻的參數(shù)有關(guān)） 。定義以下參數(shù)：偏相關(guān)系數(shù)m 1( n)m (n), m (n 1)m (n 1), m (n)(4-24)前、后預(yù)測誤差剩余mf ( n)m (n), m( n)(4-25)mb (n)m (n), m( n)(4-2

17、6)前向反射系數(shù)k*f ,m (n)m (n)(4-27)mb (n)后向反射系數(shù)精選資料，歡迎下載。kb* ,m (n)m ( n)(4-28)mf ( n)引入 n 個分量的單位向量（也叫抽取向量）(n) 0, ,0,1 ，得到角度參量 m (n1) 的定義式為：m (n1)(n), P1,m (n) (n)(4-29)迭代公式為：m 1 (n 1)m (n m (n1)2(4-30)1)1)mb (n所以，可得到 LS 格型（ Least Square Lattice,LSL）自適應(yīng)濾波算法如下1015 ：初始化m (0)m (0)m (0)0(4-31)m (0)1(4-32)mf (

18、0)mb (0)(4-33)對 n1,2, , 計算0 (n)0 (n)0f ( n)0b ( n)0 (n)1對于 m0,1, M1計算u(n)(4-34)0f (n 1) u2 ( n)(4-35)(4-36)m( n)m (nm (n)m 1 (n)m (n)m 1 (nmf (n)mf 1( n)1)m 1(n)m1 (n 1)m ( n1)m ( n1) m 1 (n1)mb1 (n1)1)m (n1) m 1( n)mf1 (n)2m (n)bm 1( n1)(4-37)(4-38)(4-39)(4-40)精選資料，歡迎下載。mb (n)mb1 (n1)m2 (n)mf1( n)m

19、 1 (n 1)m (nm (n1)21)mb( n1)(4-41)(4-42)其中，參數(shù)應(yīng)選擇接近穩(wěn)態(tài)預(yù)測誤差的平方值。4.4 最小二乘格型算法特性分析格型算法與橫向算法最顯著的不同是它具有輸入信號正交化的功能。首先考慮格型濾波器第 m 階抽頭處，格型算法中前向預(yù)測誤差m( n) 必然與過去的數(shù)據(jù)樣本正交以達(dá)到最小均方誤差值，即m 1( n) u(n)a1u(n 1)am 1u(nm1)(4-43)E m 1 (n)u( n j )0,1j m1(4-44)其中 E 代表統(tǒng)計期望。同理，對于反向預(yù)測誤差m (n) 有m 1 (n1) u(nm) b1u(nm1)bm 1u(n1)(4-45)

20、E m 1 (n1)u(n j)0,1 jm1(4-46)這里 bj 的選取滿足正交條件，同樣兩個預(yù)測誤差滿足同樣的正交條件。然后考慮格型濾波器第m 階抽頭處，m (n) 表示由 u( n 1)u(nm) 預(yù)測的u(n) 的誤差。因?yàn)?m 1 階預(yù)測誤差利用了 n1 n m 1時刻的所有信息， 所以，第 階預(yù)測中必須包含從 u(nm1) 可以預(yù)測得到關(guān)于 u(n) 的信息，然而許多信m息已經(jīng)包含在 u(n 1) u(nm1)之中，而正交化就要求我們只考慮u( n m) 帶來的新信息。因此，考慮反向預(yù)測誤差m (n1) ，它表示由 u(n m1), , u( n 1)預(yù)測 u(n m) 的誤差，

21、也就是說m (n1) 代表了樣本 u(n m) 中的新信息，于是關(guān)于 m( n) 的一種可取的遞推表達(dá)式為m (n)m 1( n)kb*,m (n)m 1 (n 1)(4-47)E m( n)u(n j )0,1jm(4-48)這里的 kb*, m ( n) 使 m (n) 滿足新的正交條件E m ( n)u( n m)Em 1 (n)u(n m)kb* ,m (n)Em 1 (n1)u(n m)Em 1(n) m 1 (n1)kb* ,m( n)Em 1 (n1) m 1(n 1)精選資料，歡迎下載。=0kb*,m (n)Em 1 (n)m 1 (n1)(4-49)E m 1 (n 1) m

22、 1 (n 1)類似的，可以得到反向預(yù)測器的遞推式m (n)m 1( n1) k*f ,m (n)m 1( n)(4-50)E m (n 1)u(n)Em 1 (n)m 1(n1) k*f ,m (n)Em 1 (n) m 1 (n) 0(4-51)于是k*f ,m (n)E m 1 (n)m 1 (n1)(4-52)Em 1 (n) m 1 (n)按照同樣的分析，我們可以把自適應(yīng)預(yù)測濾波器擴(kuò)展到更高階數(shù)m1 。因此，利用格型結(jié)構(gòu)只要繼續(xù)增加濾波器的階數(shù)即可構(gòu)成預(yù)測濾波器。這正是格型結(jié)構(gòu)的逐級正交性，每個反射系數(shù)都可以分別予以確定。格型濾波器的正交性就是： 反向預(yù)測誤差可以由信號延遲形式的格蘭

23、姆施密特型正交化公式導(dǎo)出。 正交變量的這個特性使格型結(jié)構(gòu)有利于自適應(yīng)濾波，也容易確定信號能量通過每個預(yù)測級后的衰減。 這個特點(diǎn)可用于按比例確定預(yù)測誤差以保證良好的數(shù)值特性。一些重要的特性如下：Em( n)j ( n1)jm(4-53)01jmEm (n)j (n)mf ， 1jm(4-54)Em (n1)j ( n 1)Em (n1)u(n m 1)b(4-55)mbjmE m (n1)j ( n1)m(4-56)01jmff*(4-57)mm 1(1k f ,mkb, m )bb*(4-58)mm 1(1k f , mkb, m )如果信號 u 在自相關(guān)函數(shù)已知的情況下是平穩(wěn)的，每一級的前向

24、與反向預(yù)測誤差能量均相同， 那么兩個反射系數(shù)相等， 而且可用對稱的雙乘法器格型結(jié)構(gòu)計算這些預(yù)測誤差的遞推式。 假如被建模的信號是平穩(wěn)的， 通過組合取樣數(shù)據(jù)估計 kb* ,m 和 k *f ,m ，可確定單一的反射系數(shù) k 。對于非平穩(wěn)信號來說，使反射系數(shù)隨時間變化可產(chǎn)生自適應(yīng)估計。精選資料，歡迎下載。在諸如雜波抑制、 噪聲消除和均衡等應(yīng)用中， 格型結(jié)構(gòu)正交性的主要意義在于得到快速的跟蹤或者收斂特性。 由于反向預(yù)測誤差是輸入時間序列延遲型的格蘭姆 施密特正交化，因而格型算法得到了廣泛的應(yīng)用。4.5 LSL 算法聯(lián)合估計過程在許多應(yīng)用情況下，我們希望由期望響應(yīng)d (n) 所表述某個過程性質(zhì)的預(yù)測和

25、由輸入信號 u(n) 所包含的有關(guān)過程進(jìn)行預(yù)測和估計，這時，如何推導(dǎo)出一個自適應(yīng)格型濾波器來實(shí)現(xiàn)與期望信號d (n) 的匹配就很重要。將后向預(yù)測誤差序列用于另一自適應(yīng)處理過程中是格型聯(lián)合估計過程的核心。簡單來說，聯(lián)合處理分為 2 個階段，利用格型濾波結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的后向預(yù)測誤差序列再同時經(jīng)過單獨(dú)的另外一次常規(guī)自適應(yīng)濾波處理。經(jīng)過格型結(jié)構(gòu)濾波后 ,提取其中產(chǎn)生的后向預(yù)測誤差 bm (n) 序列作為聯(lián)合估計的輸入信號。因?yàn)楹笙蝾A(yù)測誤差bm (n) 彼此之間具有正交的特性 , 使得格型結(jié)構(gòu)前后兩級間是去耦的 ,因此級間信號抗干擾性得到了保障。對后向預(yù)測誤差bm (n) 序列做加權(quán)求和 ,并與參考信號 d

26、(n) 進(jìn)行比較 ,以獲得誤差 e(n) 。通過對期望信號引入方式的分析,聯(lián)合估計過程有兩種模式, 分為總體誤差更新和階誤差遞歸更新方式 , 它們對權(quán)值的更新的方式不同。總體誤差更新方式如圖4.4所示：0 ( n)1(n).M 1M (n)h0(n)h1(n). hM-1 (n)hM ( n).e( n )d(n)圖 4.4 總體誤差更新方式 錯誤！未找到引用源。以當(dāng)前時刻的總體誤差即為期望信號與整個濾波系數(shù)同時和所有估計器輸入信號的乘積之差作為調(diào)整下一時刻整個濾波系數(shù)的修正因子 ; 總體誤差為 :e(n) d(n) w(n)b(n)(4-59)階誤差遞歸更新方式如圖4.5 所示：精選資料，歡

27、迎下載。0 (n)1(n)h0 (n)h1 (n)d( n)e0 (n)e1 (n).M1M (n)hM-1 (n)hM (n)eM 1(n)eM(n)圖 4.5 階誤差更新方式 錯誤！未找到引用源。在當(dāng)前時刻先從第一級濾波系數(shù)進(jìn)行調(diào)整 , 逐次計算每一個濾波系數(shù)的更新 , 調(diào)整后的單級誤差成為下級單元的期望信號 , 依次遞歸計算每一級的誤差和濾波系數(shù)以達(dá)到整體最優(yōu)。單級誤差為 :em 1( n) em (n) wm (n)bm (n)(4-60)e0 (n) d(n) m=0,1,2,M(4-61)如果一定需要嚴(yán)格限制估計過程中濾波模型本身噪聲所帶來的測量誤差,那么就有必要采用后一種模型中的

28、直接獲取法進(jìn)行聯(lián)合估計, 因?yàn)殡A誤差遞歸更新模型以每一級為最優(yōu)處理對象,致使總的M 級測量誤差之和也將最小;但是如果不需要嚴(yán)格關(guān)注濾波模型本身噪所帶來的測量誤差,從實(shí)用性的角度考慮 ,普遍采用前一種易于實(shí)現(xiàn)的總體誤差更新模型。在這兩種聯(lián)合過程估計模型中，濾波系數(shù)的更新均可以采用NLMS算法或者是 RLS算法以及其他類型的更新算法。 為了更少的增加計算復(fù)雜度， 對于濾波系數(shù)的更新采用歸一化 LMS算法。這樣，總體算法可以稱為： LSL-NLMS算法。聯(lián)合過程估計的總體結(jié)構(gòu)如圖 4.6 所示：精選資料，歡迎下載。0(n)1(n)M 1(n)M (n)k1f (n)kMf (n)u(t)k*b(n)bkb,11(n)kM (n)0 (n)1(n)M 1M (n)1z1zh0 (n)h1(n)hM 1(n)hM ( n)d(n)e0(n)e1(n)e (n)e (n)M 1M圖 4.6 聯(lián)合過