高三數(shù)學二輪復習(6)數(shù)學方法之特殊證法精品教學案

1、【考情分析】近幾年的高考雖然削弱了在不等式證明方面的要求，但像立體幾何中位置關(guān)系的認定， 數(shù)列關(guān)系式的認可以及解析幾何性質(zhì)的證明都是頻頻出現(xiàn)的考試形式。在高考中所占的分值 大約在 30 分左右。這類考題的特點是：（1）立體幾何證明多以線、面間垂直或平行關(guān)系的證明為主，解決此類問題的思路是應(yīng) 用好在該部分學習的判定定理和性質(zhì)定理即可；（2）數(shù)列題可能是與等差等比數(shù)列定義或性質(zhì)有關(guān)的結(jié)論的證明問題（譬如證明數(shù)列是 否為等差或等比數(shù)列，這類題目要應(yīng)用好定義和性質(zhì)公式，技巧性很強） 、也可能是復合不等 式知識的或單純等式形式的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論的證明問題（解題思路是可能應(yīng)用數(shù)學歸納 法或放縮法） ；（

2、3）解析幾何中的解答題經(jīng)常與平面幾何圖形相結(jié)合，經(jīng)常判斷一些位置關(guān)系，此類題 目的證明多要結(jié)合幾何特征，應(yīng)用好代數(shù)關(guān)系式說明；預測 2013 年高考的趨勢為：題型、題量以及出題點還和往年一樣，基本保持不變； 【知識歸納】1定義法 所謂定義法，就是直接用數(shù)學定義解決問題。數(shù)學中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是 由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的 本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。 簡 單地說，定義是基本概念對數(shù)學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。2反證法反證法是屬于“間接證明法

3、”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè) 而否定結(jié)論，從而導出矛盾推理而得。反證法的實質(zhì)： “若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就 會導致矛盾” 。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推 理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已 經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命 題獲得了證明。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定T推理T否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否 定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：

4、否定結(jié)論 T 推導出矛盾 T 結(jié)論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； 第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾； 第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題 時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證 法又叫“歸謬法” ；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能 推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法” 。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、

5、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或 者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解 決得十分干脆。3 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在 n = 1（或n0）時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n = k時命題成立，再證明 n= k + 1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正 確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷

6、定對任何自然數(shù)（或 n n0且n N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推 實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運用數(shù)學歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n = k+ 1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐 步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。4 不等式的證明方法（1）比較法是證明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。它包括“作差法”與“作商法”，比差法的理論依據(jù)是：abab0abab0abab0比商法的理論

7、依據(jù)是 a, b R：那么:aba1b.a彳ab1b.a,ab1b判斷a, b的大小，當a, b R時，可以通過判斷 a-b與0的大小來完成。當 a, b R+ 時，可以通過判斷 a與1的大小來完成。b比較法這種方法其本質(zhì)就在于單獨討論“a, b”不等式難以證明時，就“ a-b,- ”整b體討論，使問題遷移“環(huán)境”，給問題帶來新的結(jié)構(gòu)。對 a-b,-變形后與0, 1的比較提供ba可能，這種變形后的式子結(jié)構(gòu)“ a- b,”能夠和“ 0, 1 ”比較大小是比較法的精髓。b作差法中，對差“ a-b”的變形方法通常有通分、配方（非負數(shù)）、因式分解、二次函數(shù)的判別式等。作商法的一般步驟是，求商 形判斷與

8、1的大小。方法的選擇：若不等式兩邊含有相同的項， 或者作差以后能進行因式分解；能用配方法，能寫成分式判斷其符號，可使用作差法。若不等式兩邊是指數(shù)形式，能使分子、分母變形得到相同結(jié)果的不等式，用作商法比較容易，也就是說，凡適合于求“商”運算，并能比較出商與1的大小的不等式，一般都適合于用作商法證明。(2) 綜合法綜合法就是由已知出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)，基本不等式等，逐步推導得到所要證明 的不等式的一種方法，也就是用因果關(guān)系書寫“從已知出發(fā)”借助不等式性質(zhì)和有關(guān)定 理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證不等式得證的全過程，其特點可描述為“執(zhí)因 索果”，即從“已知”看“可知”逐步推向“未知” ，綜合法證

9、明題邏輯性很強，它要求 每步推理都要有依據(jù)。(3) 分析法 證明不等式，可以從待證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不 等式轉(zhuǎn)化成為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能斷定這些充分條件都已具備，那么 就可以斷定原不等式成立，這種證明方法叫做分析法。分析法是從結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到和已知條件溝通為止，概括地說 就是“從未知，看需知，逐步靠攏已知” 。分析法證明“若 A則B的基本模式是欲證B為真只需證B為真只需證B2為真 只需證A為真，今已知A為真，故B必真其邏輯關(guān)系是 B B1 B2 LA(4) 放縮法在證明不等式 A B時，可以構(gòu)造出數(shù)學式 C,使A C,且

10、C B,貝U AB得證。其中數(shù) 學式C常常通過將 A縮小或?qū)放大而構(gòu)成，它的依據(jù)是不等式的傳遞性，這種證明方法叫 做放縮法，用放縮法證明不等式，在高中數(shù)學中占有一定的比重?！究键c例析】題型 1：定義法例1: (2012高考湖南)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記 A (n) =&計a2+ an, B (n) =a2+a3+ + an+i, C( n) =a3+a4+ an+2, n=1, 2, (1 )若ai=1, a?=5,且對任意n N*,三個數(shù) A(n), B(n), C(n)組成等差數(shù)列，求 數(shù)列 an 的通項公式；(2)證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意 n

11、N，三個 數(shù)A (n), B (n) , C (n)組成公比為q的等比數(shù)列?！敬鸢浮拷?1)對任意 n N ,三個數(shù)A(n), B(n),C(n)是等差數(shù)列，所以B(n) A(n) C(n) B(n),即 an 1 a1 an 2,亦即 an 2 an 1 a2 a1 4.故數(shù)列an是首項為1,公差為4的等差數(shù)列 .于是an 1 (n 1) 4 4n 3.(n) (1)必要性若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則對任意 nN，有an i anq.由 3n 0 知，A(n), B (n), C( n)均大于0,于是B(n)a? a3 a. 1A(n)a1a2.anC(n)a3a4.an 2B(n)a

12、?as.an 1q (aia2. an)q, aa?.anq(a2a3. an 1)q,a2a3. an 1即BinA(n)5也=q，所以三個數(shù) A(n), B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列B(n)(2)充分性：若對于任意n N，三個數(shù)A(n), B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,則B(n) qA(n),C(n) qB(n),于是 C(n) B(n) q B(n) A(n),得 an 2 a? q 1 aj,即an 2 qan 1 a2 a1.由 n 1 有 B(1) qA(1),即 a： qa1，從而 an 2 qan 1 0.因為an 0，所以也 亜 q，故數(shù)列 an是首項

13、為印，公比為q的等比數(shù)列，an 1 a1綜上所述，數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n N*,三個數(shù)A(n), B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證題型2：反證法例2. (2012高考江蘇)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列an和bn滿足_anbn小KI *an1：22 ，門.anbn(1)設(shè) bn 11 加,ann N *，求證：數(shù)列bn2是等差數(shù)萬an是等差數(shù)列;(2)設(shè)bn 1 邊？“ , n N*，且an是等比數(shù)列

14、，求31和b的值. an解：（1） bn 11ananbh2. 2bn 12bnanbn 1an 12bnanbn 1an 12電anbnanbnan1 n N* 。數(shù)列bnan是以1為公差的等差數(shù)列。*）（2） an 0,bn 0 , 2anbn22n n22,anbn an2bn1 0知q 0,下面用反證法證明q=1 ,若q1,則a1 = a2 log q時,a1an 1 an 2，與（*）矛盾。右0 q a2 1，二當 n logq 時，an 1 qa1a1q 1，與（*）矛盾。綜上所述，q=1。二 an a n N* , 1 1，于是4 b2 b3。又由an 1anbn即 a12 I.

15、a/bnI 得存a12 2a12a121。 b1, b2,（1 ）根據(jù)題設(shè)b3中至少有兩項相同，與 th b2 b3矛盾。心血2匸匚 =2=J 2，a = b2 = J 2?！军c評】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。aman bn 和 bn1n1 a 2 b 2n1_ an bn1bnan，求出bn 1an 112，從而證明bn 1an 1而得證。2(2)根據(jù)基本不等式得到1 a n bian色 匕 2，用反證法證明等比數(shù)列 an的公 an202比 q=1。從而得到an ai n N*的結(jié)論，再由bn 1.2? -?bn知bn是公比是一2的等an比數(shù)列。最后用反證法求出a=b2

16、= . 2。1例3. (11陜西理，21)設(shè)函數(shù)f(x)定義在(0,)上，f (1)0,導函數(shù)f (x)-,xg(x) f (x) f (x).(1 )求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；1(2) 討論g(x)與g()的大小關(guān)系；x 1(3) 是否存在X。 0 ,使得|g(x) g(x) |對任意x 0成立？若存在，求出x的取值x范圍；若不存在，請說明理由.【分析】(1)先求出原函數(shù) f(x)，再求得g(x)，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)，并求出最小值；(2)作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并 由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負； (3)存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進行求

17、解；注意利用前 兩問的結(jié)論.【解】(1) f (x)1 ,xf(x) In xc ( c 為常數(shù))，又 f (1) 0,所以 In 1 c 0,即c 0, f(x)In x ； g(x) Inx1x1入/、2 ，令 g (x)xx二 g (x)0 ,即 x 21x0 ,解得x 1 ,當x (0,1)時，g (x)0 , g(x)是減函數(shù)，故區(qū)間在(0,1)是函數(shù)g (x)的減區(qū)間;當x (1,)時，g (x)0 , g(x)是增函數(shù)，故區(qū)間在(1,)是函數(shù)g(x)的增區(qū)間;所以x 1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點,所以g(x)的最小值是g(1) 1 .111(2) g()

18、 ln x x，設(shè) h(x) g(x) g(-) 2l nx xxxx則 h (x)(x 1)22 ， x1當 x 1 時，h(1) 0，即 g(x) gC),x當 x (0,1)U(1,)時，h(x) 0, h(1) 0,因此函數(shù)h(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減,1當 0 x 1 時,h(x) h(1)=0,. g(x) g(-)；xg(-).x當 x 1 時，h(x) h=0,. g(x)(3)滿足條件的x0不存在.證明如下:證法一假設(shè)存在x00,使|g(x)g(x。)|1對任意x 0成立,x即對任意x0有 In xg(x0) ln x但對上述的g (xo)x，取為e 0丿時，有In捲 g(x

19、)，這與左邊的不等式矛盾,1x00 ,使| g(x) g(x0)| 對任意x 0成立.x1證法二 假設(shè)存在X。 0，使|g(x) g(x)| 對任意xx因此不存在0成立,由(1)知，g(x)的最小值是g(i) 1，1又 g(x) In x In x，而xx 1時，In x的值域為(0,當xT時，g(x)的值域為1,從而可以取一個值 x1 1，使g(x,)g(x0) 1，即g(x1)- |g(xj g(x)|1-，這與假設(shè)矛盾.X1不存在x0 0 ,使 |g(x) g(x0)| 1對任意x 0成立. x題型3 :數(shù)學歸納法2例4 .函數(shù)f (x) x 2x 3。定義數(shù)列 xng(xo)t ,如下

20、：x|2, xn 1是過兩點P(4,5), Qn(xn, f(xn)的直線PQn與x軸交點的橫坐標。(1 )證明：2 xn xn 1 3 ； (2)求數(shù)列 xn的通項公式。解：(1)為f(4)42 8 3 5，故點P(4,5)在函數(shù)f(x)的圖像上，故由所給出的兩點p(4,5), Qn(Xn，f (Xn)，可知，直線PQn斜率一定存在。故有直線PQn的直線方程為5凹5Xn(X4)，令y 0 ,可求得2Xn 2Xn 8-:(xXn 44)5Xn24Xn 3Xn所以Xn1 TXn 2F面用數(shù)學歸納法證明Xn1 時，X12，滿足2x13假設(shè)n k時,Xk3成立，則當1時,Xk4Xk3Xk2 Xk34

21、 xk 255Xk21142Xk 13也成立綜上可知2Xn 3對任意正整數(shù)恒成立。F面證明XnXn 1由 Xn 1 Xn4Xn 32Xn由2Xn綜上可知(2 )由XnXn1 XnXnXn 1Xn 14Xn 3 Xn2Xn 22Xn1)24Xn 2220 (Xn 1)3恒成立。佟3得到該數(shù)列的一個特征方程Xn 2爲3 M X1(1)3，故有Xn 1Xn0 即 XnXn 1X2 2x 30，解得4XnXn1 5Xn 5 2Xn2X兩式相除可得Xn 11，而Xn1x-i3x-i1故數(shù)列是以Xn 111丄為首項以1為公比的等比數(shù)列。35Xn 3Xn 13(1)n1，故人9 5n 11343 5n 11

22、3 5n 1 1【點評】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運用。先從函 數(shù)入手，表示直線方程，從而得到交點坐標，再運用數(shù)學歸納法進行證明，根據(jù)遞推公式構(gòu) 造等比數(shù)列進而求得數(shù)列的通基。題型4 :放縮法在證明不等式中的妙用例 5.(2012 年遼寧)設(shè) f x =ln x+1 + Jx+1+ax+b a,b R,a,b為常數(shù)，曲線 y=f x3與直線y二x在0,0點相切2(1 )求a,b的值；9x(2)證明：當0x2時，f x 0時，2x+1 glx+1+1=x+2，故、X+1-+12h x -+x+1 2.X+19x h x =f x - x+6542+ x+1x+62

23、x+1542x+6x+6544 x+1 - x+6 23x+6-216 x+124 x+1x+6，令 g X =x+63-216x+1，則當 0x2 時,2g x =3 x+6 -2160 (lby lfx因此g x在0,2內(nèi)是減函數(shù)，又由 g 因此h x在0,2內(nèi)是減函數(shù)，又由 h0 =0，得 g x 0 ,所以 h x 00 =0，得 h x 0,9x于是當 0x2 時，f x 0 時，2x+1 glx+1+1=x+2 ,故 一x+1X+12令 k x =ln x+1 -x,1 -x則 k 0 =0,k x =-1 =x+10，故 k x 0，即 In x+1x+1 x,3 一 x，記 h x = x+6 f23 h x =f x + x+6 f x -90時，f xx -9x，則當 0x2 時,+ I -9x+1 2x+12 x+1 3x x+1 + x+6 2+厲-18 x+1E 3x x+6x3+-18 x+127x-18 04 x+1因此h x在0,2內(nèi)是減函數(shù)，又由0 =0，得h x 0，即 f例6. (1)已知 ABC的三邊長為a、b、c,求證:.A . B . C sin sin sin29xx x+618證明：由2sin 2 1 cos