電子科大隨機(jī)信號(hào)分析2014年隨機(jī)信號(hào)分析試題B卷-評講

1、TR ft名 學(xué)ffltlEW 0場枚有 m，専號(hào) ff對一 錢 以內(nèi)答 無 A-電子科技大學(xué)20132014 學(xué)年第2 學(xué)期期 末考試 B 卷題兮三四五去七八九十合計(jì)得分一、若隨機(jī)變量X的概率特性如下，求其相應(yīng)的特征函數(shù)：（共10分）（1）（-3, 3）伯努利分布：f（x）=05（x-3）+0.5（x，3）； （3 分）（2）指數(shù)分布：f（x）.eu（x）； （3 分）（3）P X - c -1, c 是常數(shù)。（4 分）解：（1）M（v）=E衫x = pef 舟偵心她專葉彈卽槌必 (2) *x(v) Efe- j/exie-/Xdx Hf e()xdx (3) J(v) = E甘 E甘e*，

2、如果 c =0,則x(V)T二、正弦隨機(jī)信號(hào)X（t）= Acos（20Ot）,其中振幅隨機(jī)變量 A取值為1和-1, 概率分別為0.5和0.5,試：（共10分），（1）求X（t）的一維概率分布F（x;5）;（3分）（2）求 X（t 啲二維概率分布 F（x.X2；0,0.0025）； （3 分）（3）問x（t）是否嚴(yán)格平穩(wěn)？ （ 4分）jcos（200M）,依概率0.5發(fā)生解：X。）。cos（200“）,依概率 0.5發(fā)生（1） F（x;t） = 0.5u（x- cos200 t） 0.5u（x cos206 t）f1，依概率0.5發(fā)生X S J，依概率0.5發(fā)生F（ x;5）. 0.5u（ x

3、T） 0.5u（ x* 1）(2) 1 JK M XfR ttX T9 粘HI. ft線 以 內(nèi) 一答 無- ftF(為，*2；匕2)= 0.5u(為-cos200 t，x2 - cos200” t2)- 0.5u( x： cos200 tnx2 cos200 t2)(X (0) = 1, X (0.0025) =0,依概率 0.5發(fā)生(X (0) -1, X (0.0025) 0),依概率 0.5發(fā)生F(x1,x2;010.0025)= 0.5u( K -1, x2)* 0.5u( * 1,x2(3)因?yàn)?F(x;t0.5u(x - cos200 t)* 0.5u( x * cos200n

4、t)X(t)-階不平穩(wěn)，故X(t)非嚴(yán)格平穩(wěn)。三、設(shè)隨機(jī)過程x（t） = Acosst* Bsin.t ,其中。為常數(shù)，A和B是兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量。已知E【AJE【B】=0, EA2= EB2 = a20試：（共10分）（1）求X的均值和相關(guān)函數(shù)。（3分）（2）求X（t）的一維和二維概率密度函數(shù)。（4分）（3）問X（t）是否嚴(yán)格平穩(wěn)。（3分） 解：（1）因?yàn)锳和B是兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變雖，故X（t）是高斯信號(hào)。E X （t） = EA】cos。t * E lBsin t = 0R(s,t) E lX(s)X (t)-E j Acosw s* Bsinw s)( Acos t Bsi

5、n t) E A2 cos，。scos t E( B2)sirr ssin。t2A 2=。cos scos t * sirr ssirr t-a 2 cos ( s-1)（2）因?yàn)椋簃（t）o, C（s,t）= R（s,t。2cos（s-t）, 所以/（t）=c（t,t）2,并且，o C（s,t） ,、P - 1L cos （s- t）。（S）。（t）所以，X（t）N（0/2）,其一維概率密度函數(shù)為：第2貝典TK ； 學(xué)弓 號(hào)場枚至 煤時(shí) 密 計(jì)一 線 以一 內(nèi) 答 無ft 1r X?)fx(x,t). -=-expi - -IJ*。i 2。丿進(jìn)而可得(X(s),X(t) N(0, 2;0,b

6、 2QOS (S- t),即其二維密度函數(shù)為:1r x2 - 2xycos( s - t)+ y21exp i-sin)(s t) I2o 2sin2(s-1)(3)因?yàn)閄(t)均值平穩(wěn)，相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)，故 X廣義平穩(wěn)，又因?yàn)閄(t)是高 斯信號(hào)，故也嚴(yán)格平穩(wěn)。)四、零均值平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) N(t),自相關(guān)函數(shù) 田) 土),通過頻響為 H(b) = r7的RC低通電路后，試判斷系統(tǒng)輸出信號(hào) Y(t)是否均值各態(tài) 歷經(jīng)。(共10分)解:EY -0)|H(jW2 - 2|H(j )|21 RC)2。2(1/RC)2 。2 + (1/ RC)2 2RC FVC)-ed，l,RC2RC2(1/ RC)廣(1

7、/ RC)22a又:Cy() f 任)1 Ta2 lim J eJ 2T -T 2RCeCd |im RCeT,RC fT 任一次 |J-To 丁卄 2t 2RC -lim T1 CT 21 tr i tCy(x )d2T -T1 。2-lim2T 2RC =lim -RC2 - 2eT/RC = lim 1- eT，RC= 0t* 2T 2RC一 5 2T第3貝4 ft名 學(xué)號(hào) Hilttw 旳場林至 W9/O9 給1錢以一內(nèi)答 無ft所以，Y(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。五、隨機(jī)信號(hào)丫 乂, cos(o t 。)，其中X(t)是廣義各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)，。是【02】上均勻分布的隨機(jī)變梟，X(t)與。

8、相互獨(dú)立，請判斷：(共10分)(1) Y(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)？(5分)(2) Y(t)在滿足什么條件下是廣義各態(tài)歷經(jīng)的？ (5分)解：EY(t) = EX(t) * cosgt *6) = EX(t) * Ecos( ot * 0) s mxEY(t + r )Y(t) = E q X (t + 丁)+ cos( + ol +e ) X(t) + cos(。t 十 )P EX(t * )X(t) * EX(t)cos(ot *oT *e)* E X (t + t )cos( ot * e) + Ecos( ot * Q )cos( t * o1 + 6 )=Rx(：) cos0f = Rf(

9、x)所以，Y(t)是廣義平穩(wěn)的。又A(Y(t) - A X (t) * cos(s ot * 0) * AX(t) * Acos(w ot * 0 ) EX (t)所以Y是均值各態(tài)歷經(jīng)。AY(t )Y(t) - AX(tcos(細(xì)t s o： 6) X (t) cos(。t )=AX(t t )X(t) + AX (t)cos( ot * ot * ) A X (t + t )cos()t +。) + A(cos(3 ot+ 0 )cos( ox + o)-Rx (*) cosm0x * AX (t)cos( ot * ox *6) * AX (t i )cos(w ot * d )其中：Ac

10、os( ot * e )cos(0t * 6 )= Acos 0T * cos(2w ot * 0T )1 1 t1 1 t=lim f cos 0T dt lim J cos(2 ot * oT + 2 )dttt, pt 2 Tt=c CT 21=cos” ox21 tt* 2T 2 J只有當(dāng)X(t)與cos(%t宀)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)時(shí)，Y(t)才廣義各態(tài)歷經(jīng)。 六、設(shè)有一個(gè)廣義平穩(wěn)信號(hào) s(t),通過線性時(shí)不變系統(tǒng)后的信號(hào)為 X(t), S(t) 的帶寬大大于系統(tǒng)帶寬，x(t)自相關(guān)函數(shù)如圖1所示，類似于sin(x)/x函數(shù)，第4貝典TR tt名 學(xué)號(hào) fTUt號(hào)場枚. 號(hào) (1) 問輸出信

11、號(hào)X(t)是廣義平穩(wěn)的嗎？如果是，求輸出信號(hào)的均值和方差；(3分)(2) 對x(t)進(jìn)行采樣，如果要求相鄰采樣點(diǎn)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，給出可能的采樣間隔集合。(4分)(3) 給岀最小采樣間隔下 N個(gè)連續(xù)釆樣點(diǎn)的聯(lián)合密度函數(shù)。(3分)解：(1)根據(jù)廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)后，輸岀仍然是廣義 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的原理，得出輸出信號(hào)X(t)是廣義平穩(wěn)的。其均值和方差為：ORx (* ) - m “ m - 0o = Rx (0) - m2 = 1(2) 寬帶信號(hào)通過窄帶系統(tǒng)后，其輸出信號(hào)服從高斯分布。同時(shí)，不相關(guān)的高斯隨機(jī)變雖是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。當(dāng)采樣間隔1,2,3,時(shí)，相鄰的兩個(gè)隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，因此，其可

12、能的采樣間隔集合為：TS|TS 1,2,3,IIP(3) 最小釆樣時(shí)間間隔為Ts-1 (1分)，N個(gè)點(diǎn)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，因此其聯(lián)合密度函數(shù)為： fx(X|,X2,lll,XN；t“t2,lll,tN)- n fx(x,;tt)exp- Xl X2 Xn i,=J(2兀)乏I)七、在圖2所示的RC電路中，設(shè)其輸入隨機(jī)過程X(t)為平穩(wěn)白噪聲，功率No譜密度為O試求：(共10分)2第5貝共tR T9 號(hào)場教至 密封一錢以內(nèi)答無H(1) 輸岀隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)凡心；(5分)(2) 系統(tǒng)的等效噪聲帶寬。(5分)圖2 解：(1)由題意知系統(tǒng)的頻響為1/ j C 11/ RC a R*1/ C RC* 1

13、j * 1/ RC a卜，具屮(系統(tǒng)沖激響應(yīng)為h(t) = ae項(xiàng)u) 2 a2 功率傳輸函數(shù)H仲)| 了二Tcl2a2 N則輸出功率譜密度為 & 2)= H()| Sx(o)= -i aN() alrl輸岀的相關(guān)函數(shù)為(2)系統(tǒng)的等效噪聲帶寬(亦即系統(tǒng)輸出信號(hào)的等效矩形帶寬)為:(Rr-FKO)-NoBNQ)-NoBN|H(of)凡(0)a 12=_ =N0|H(0)|4 4RCBn 八、設(shè)確定信號(hào)S(t)圖3所示，試：(共10分)(1) 畫岀相應(yīng)匹配濾波器的沖激響應(yīng)，并給出最佳抽樣時(shí)刻；(5分)(2) 假設(shè)背景噪聲是功率譜為 Nq/2的白噪聲，求最佳抽樣時(shí)刻匹配濾波器的輸出信噪比。(5分)

14、7/3 27/3 T圖3解：(1)取t0=T, C為任意非零常數(shù)(不妨取 1),則相應(yīng)的匹配濾波 6 JU Jt M tt 學(xué)仟屋tn 號(hào)場教至 對一 錢以內(nèi)答 一無ft 器如下所示。 *w ，.0 邛辺3 T(2)根據(jù)(S/N2E,/Nt圖4解：(1) M (t) = X(t)x 2cos ot * A(t)(1 * cos2 ot) - B(t)sin 2 ot Z(t) A(t)(2) Z(t)N(0,駕)2 E)打念(3) Z(t)是廣義平穩(wěn)性和嚴(yán)格平穩(wěn)性。卜、若零均值平穩(wěn)窄高斯隨機(jī)信號(hào) x的功率譜密度如圖5所示，試：(共第7貝興頁TR ft名 T9 樸懾號(hào) 密M錢以內(nèi)fir無fl10分)(1)(2)(3)求x(t)的兩個(gè)正交分量i(t),q(t)的功率譜；(3分)寫出此隨機(jī)信號(hào)x(t)的一維概率密度函數(shù)；(3分)寫出X(t)的兩個(gè)正交分量i (t), q(t)的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)。(4分)AZ*- =4I o,w | - MHzothers(2)-2tri ()W/2基于功率譜計(jì)算功率得:21 化P-x -J Sx)d。2AW2