圓錐曲線中點弦問題(微課說明)

1、圓錐曲線中點弦問題 圓錐曲線中點弦問題是解析幾何中的一個重要問題， 也是高考中的重要考點。 本節(jié)微課， 我們將探討如何解決圓錐曲線中點弦問題。 解決中點弦問題主要有兩種方法， 即設(shè)而不求法 和點差法。下面我們通過幾個例題來進行說明。 1x2 y2 例 1、(2014江西 )過點 M(1,1)作斜率為 12的直線與橢圓 C：ax2yb21(ab0)相交于 A，B 兩點，若 M 是線段 AB 的中點，則橢圓 C 的離心率等于 設(shè)A x1, y1 ,B x1, y1 . 22 ax21by121， 方法二：(點差法) 設(shè) A(x1， y1)，B(x2，y2)，則 2 2 x222y2221， a2b

2、21， x1x2 x1x2y1 y2 y1y2 a2 b2 0， y1y2 2 b2 x1 x2 x1 x2 a2y1 y2. y1y2 x1 x2 x1x22，y1y22， ab22 1 a a22b2.又b2a2c2， a22（a2 c2），a22c2，ca 22. 22 例 2 已知橢圓 E：xa2 yb2 1(ab0) 的右焦點為 F(3,0)，過點 F 的直線交橢圓于 A，B 兩點若 AB的中點坐標(biāo)為 (1， 1)，則 E的方程為 ( ) 22 A.4x523y621 22 B.x2y21 36 27 22 C.x2 y21 27 18 22 D.x2y21 18 9 方法一：（設(shè)而

3、不求法） 直線AB的方程： 設(shè)A x1, y1 ,B x1,y1 . 113 y 1 x 1 ,即 yx . 222 13 yx 22 22 x22 y22 1 a2 b2 1 a2 4b2 x2 6a2x 9a2 4a2b2 0 6a 2 2 x1 x22 2 =2 a =2b . a2 4b2 a2=b2+c2=b2+9 b2 =9, a2 =18 22 橢圓方程是 x y 1. 18 9 方法二（點差法） 2 2 2 x1 y1x2 2 21， 2 a ba 設(shè) 2 yb2221， A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓的方程有， 兩式相減得， x1x2a2x1x2 y1y2b2y

4、1y20. ab 線段 AB 的中點坐標(biāo)為 （1， 1）， x1x22，y1y2 2 代入上式得： y1y2b2. x1x2a2. 直線 AB的斜率為 301121， ba2212? a2 2b2， 右焦點為 F （3,0） ， a2b2c29 解得 a2 18，b29， 22 又此時點 （1，1）在橢圓內(nèi)， 橢圓方程為 x y 1. 18 9 易錯題警示：忽視“判別式”致誤 2 典例： 已知雙曲線 x2y2 1，過點 P（1,1）能否作一條直線 l，與雙曲線交于 A、B 兩點，且 點 P 是線段 AB 的中點？ 易錯分析 由于“判別式 ”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的重要方法， 在解決直

5、線與 圓錐曲線相交的問題時， 有時不需要考慮判別式， 致使有的考生思維定勢的原因， 任何情況下都沒有考慮判別式，導(dǎo)致解題錯誤 錯解：（點差法） 設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2），假設(shè)直線 l 存在，易知它的斜率存在。 2 x 2 y12 1 x1 x2 x1 x2 12 y1 y2 y1 y2 0 x1 2 1 2 x22 y22 1 22 x1 x2 =2， y1 y2=2 y1 y2 2,即 k=2 x1 x2 能作一條直線 l 與雙曲線交于 l的方程是 y=2x-1 A ，B 兩點，且點 P（1,1）是線段 AB 的中點 . 本題錯在沒有檢驗判別式， 如果將得到的直線方程與雙曲線方

6、程聯(lián)立， 化簡得到一個二元 次方程，考察判別式，即可得出正確結(jié)論。 方法二：（設(shè)而不求法） 解 設(shè)點 A（x1，y1），B（x2，y2）在雙曲線上，且線段 AB 的中點為 （x0，y0）， 若直線 l 的斜率不存在，顯然不符合題意 設(shè)經(jīng)過點 P 的直線 l 的方程為 y1k（x 1）， 即 ykx 1k. y kx1k， 2 y2得（2k2）x22k（1k）x（1k）220 （2k20） x221， x0 x12x2k 1 2kk2 . 由題意，得 k21kk2 1，解得 k2. 當(dāng) k2 時， 方程 成為 2x2 4x30. 162480，方程 沒有實數(shù)解 不能作一條直線 l與雙曲線交于 A，B兩點，且點 P（1,1）是線段 AB 的中點 從而 小結(jié)】 （1） 本題是以雙曲線為背景，探究是否存在符合條件的直線，題目難度不大，思 路也很清晰， 但結(jié)論卻不一定正確 錯誤原因是忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷， 導(dǎo)致錯誤，因為所