圓錐曲線聯(lián)立及韋達定理

1、圓錐曲線聯(lián)立及韋達定理 1、圓錐曲線與直線的尖系 橢圓與雙曲線與給定直線的尖系通過聯(lián)立方程所得解的情況來判定: 22 橢圓2 爲=1 (abO) a b 22 雙曲線：務占=1 （a、b0） a b 直線：y = kX m （PS :這里并沒有討論橢圓的焦點在 y軸、雙曲線的焦點在y軸及直線斜率不存的情況，做題需要補充） （1）橢圓與雙曲線聯(lián)立: m123 b2 - 1 =0 （PS :聯(lián)立時選擇不通分原因？看完就知道了 ） 2 類一元二次方程：AX Bx0 1 k A= （F 2）,所以AAO，即方程為一元二次方程。 a b 判別式：厶二B? -4AC 一（許 Yb% -1） 化解得: =4

2、(% b2 ab 而 2當心，方程有兩個相同的根，直線與橢圓相切； （相切是因為重根而不是只有一個根） （2）雙曲線與直線聯(lián) 立： 2 2 k、22 km m “ -)X2 X 2 *1 = 0 2km) bb b 兀二次方程中， 22 JIZ 1 k m X = 4(-2 2 2 以) a b a b 1）當A =0, B = O時，方程為-1 =0，無解，直線與雙曲線相離；（此時為漸近線） 2）當A =0, B = 0時，方程為 元一次方程，只有一個解，直線與雙曲線只有一個交點（此時為漸近線 的平行線） 3）當An 0,厶Y 0時，一元二次方程無實數(shù)解，直線與雙曲線相離； 4）當An 0,

3、厶=0時，一元二次方程有兩個相同實數(shù)解，直線與雙曲線相切； 5）當Au 0,厶 0時，一元二次方程有兩個不同實數(shù)解，直線與雙曲線相交 PS:注意雙曲線與直線聯(lián)立和橢圓與直線聯(lián)立的方程及最后判定的異同！ 2、聯(lián)立方程與韋達定理 (1)韋達定理： = OJ-O JzJ 2 VA =J(Xl 4xi X2 VTT IA AX BxC二0運用韋達定理的前提： BC o/ I YO - Y1 YOXi-Xo AA (2)橢圓與直線聯(lián)立相矢的韋達定理: _L2 x2算 X mLI=O 廠匸 b2 b2 Xi x2 = 2km b ; 1 k2 2 以 b跖b XlXA 胛 1 b2 2j呼血 X1-X2

4、由y二kx m可得到尖于y的韋達定理: yi y2 = (kxi m) (kx2 m)二 k(xi x2) 2m 2臨m 2m(|k/) ba b 丄玄 a2 b2 2m a2 yi ya2, a2 b2 k兀 T)km( 紀 k x b ab a2 s+b2 2 m 12k a 2 , 1 k2 2 2 a b y y2 = I (kxf +m) +(kx2 +m) I = k Xi x2 2k yi V a2 b2 (3) 雙曲線與直線聯(lián)立相矢的韋達定理: k 2 2km V)x 2km b2 b 2mJ*) a b 2 k2 m2 b2 a2b2 1 k2 a2 b2 由y二kx m可得

5、到尖于y的韋達定理: yi= (kxi m) (kx2 m)二 k(xi X2) 2m 2m -2A Vi y2 匕 t ； 1 k a b 22 yiy2 =(kX)m)(kx2 m) =k y$2 km(xi X2) m ,2/m2km 2/1 k. k （一 1） km） m （2 j bBa b PS： 1 所有韋達定理所得的結果分母都一樣，之后的處理就不需要通分；2、記住部分結論（聯(lián)立的一元 二次方程和判別式必須記?。掳牍Ρ叮?、雙曲線相尖的式子與橢圓相矢式子的區(qū)別，所有帶項變 22 原因：橢圓的雙曲線方程化解之后均是x2 - 2y 2=1 0橢圓中a2 C2，令b2 = a2C?;雙曲線中 a a -C b12 a2b2 22 2k yAY2 22 人，2 a C，令b =a -C。 1）當厶YO，方程無實根，直線與橢圓沒有交點； 3）當八X）方程有兩個不同的實根