2018-2019學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(文科)

1、2018-2019 學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）副標(biāo)題題號(hào)一二三總分得分一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（ i 為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限2.若，則=（）A.B.C.D.3.，則=（）A.B.C.D.4.已知在等比數(shù)列 an15=93）中， a =1，a，則 a =（A. 5B. 5C. 3D. 35.等差數(shù)列 an 中， a+a =10，則 a +a +.+ a =（）26127A. 15B. 35C. 50D.706.已知向量，則“ x=-2”是“ 與 反向”的（）A.

2、充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件7. 如圖所示，在正方形 ABCD 中， E 為 BC 的中點(diǎn)， F 為的 AE中點(diǎn)，則 =（）A.B.C.D.ABC中，ab、c分別為內(nèi)角AB、C的對(duì)邊，若a=4，b=5，cosA=，則8. 在、B=（）第1頁(yè)，共 16頁(yè)A.B. 或C.D. 或9. 對(duì)于非零向量， ， ，下列命題中正確的是（）A.B.若=，則=若，則=（）2C. 若 ，則 在 上的投影為 | |D. 若 + = （ =0121， 2R），則 1 210. 已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，對(duì)任意的 xR 都有 f（ x+ ）=f（ x-

3、），當(dāng)x（ -）時(shí)， f（ x）=（ 1-x），則 f（ 2017）+f（2019 ） =（）A.1B.2C.-1D.-211.已知 f （ x） =cosx-sinx，x0， ，則函數(shù)的值域和單調(diào)增區(qū)間分別為（）A.B.C.D.12. 在 ABC 中， a、b、 c 分別為內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊， b=ccosA，SABC=12 ，點(diǎn) P 為線段 AB 上一點(diǎn)，=x+y，則 xy 的最大值為（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空題（本大題共4 小題，共 20.0 分）13.數(shù)列 an 滿足 a1=1， an+1=2an+1，則數(shù)列 an 的前 6項(xiàng)和 S6=_14.函數(shù) f（x）=A

4、sin（ x+）（ 0，- ）的部分圖象如圖所示，則f（ x）的解析式為 _15.已知向量| |=1| |=2，|=，則 與 的夾角為_(kāi)，16.已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足：，數(shù)列 bn=ancos（ n），前2n 項(xiàng)和為 T2n，則滿足 T2n 2018的最小正整數(shù) n=_三、解答題（本大題共7小題，共82.0 分）17. 已知公差不為零的等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S15=120，且 a1， a2， a4 成等比數(shù)列（ ）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ ）設(shè)數(shù)列 an 滿足 bn=，求數(shù)列 bn 前 n 項(xiàng)和 Tn 第2頁(yè)，共 16頁(yè)18.已知 ABC 的角 A

5、， B， C 所對(duì)的邊分別為a，b， c，且 acosB+bsinA=c（ ）求角 A 的大??；（ ）若 a=1，?=3，求 b+c 的值19. 已知數(shù)列（ ）求（ ）設(shè) an 中， a1= 且 an= （an-1+n+1）（ n2， nN*）a2， a3；并證明 an-n 是等比數(shù)列；n=2n?an，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn20. 已知橢圓C=1a b0）的離心率為，橢圓C和拋物線y2有相同的：（ =4x焦點(diǎn)（ ）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ ）A，C 是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線 y=kx（ k 0）和橢圓 C 交于 B，D 點(diǎn)若四邊形 ABCD 面積為 2，求該直線斜率21. 已知

6、 f （ x） =ex?sinx（ ）列表求 f（ x）在（ 0，2）的所有極值；（ ）當(dāng) x0， 時(shí)，（ i）求證： f（ x） x；（ ii）若 f（ x） kx 恒成立，求 k 的取值范圍第3頁(yè)，共 16頁(yè)22.在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 C1：（ x-2）2+y2=4 ，曲線 C2：（ 為參數(shù)） 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（ ）求 C1 ，C2 的極坐標(biāo)方程；（ ）射線 l 的極坐標(biāo)方程為=（ 0， 0），若 l 分別與 C1， C2 交于異于極點(diǎn)的M， N 兩點(diǎn)求 |OM|?|ON|的取值范圍23. 已知函數(shù) f（ x） =|x-a|+|x+b|（ ）若

7、a=1， b=2，求不等式 f（ x） 5的解集；（ ）若 a 0， b 0，且 a+4 b=2ab，求證： f（ x）第4頁(yè)，共 16頁(yè)答案和解析1.【答案】 D【解析】解：=，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐 標(biāo)為（），位于第四象限故選：D利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得 z 的坐標(biāo)得答案本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考 查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題2.【答案】 A【解析】解：若=-sin ，則=-sin =，故選：A由條件利用 誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)所給的式子，可得結(jié)果本題主要考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子，屬于基礎(chǔ)題3.【答案】 C【解析】題，且 1，解：根據(jù) 意，則=cos = ；故

8、選：C根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得=cos，計(jì)算即可得答案本題考查分段函數(shù)的解析式的應(yīng)用，注意分析的值礎(chǔ)題，屬于基4.【答案】 D【解析】解：設(shè)公比為 q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 a5=a1q4，即9=1?q4，解得 q2=3，a3=a1 q2=3，故選：D第5頁(yè)，共 16頁(yè)設(shè)公比為 q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 a5=a1q4，由此求出 q2 的值，再由 a3=a1q2 求得結(jié)果本題主要考查等比數(shù)列的通 項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5.【答案】 B【解析】解：因?yàn)閿?shù)列 a n 為等差數(shù)列，所以 a2+a6=10=2a4，a4=5，則 a1+a2+.+a7=7a4=35，故選：B根據(jù)等差中

9、項(xiàng)的性質(zhì)，a2+a6=10=2a4，a4=5，再將S7 轉(zhuǎn)化為含有 a4 的算式即可本題考查了等差數(shù)列的性 質(zhì)，等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和屬于基礎(chǔ)題 6.【答案】 C【解析】解：向量共線則坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，而要反向，也就是系數(shù)為負(fù)，只有一個(gè)解就是x=-2“ x=-2”是“ 與反向 ”的充要條件故選：C由向量共 線則 坐標(biāo)對(duì)應(yīng) 成比例，而要反向，也就是系數(shù) 為負(fù) ，得到只有一個(gè)解，可判斷出結(jié)論本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，是基 礎(chǔ)題7.【答案】 D【解析】解：根據(jù)題意得，=（+）而=+=+=（+）=+=-+；故選：D第6頁(yè)，共 16頁(yè)運(yùn)用平行四 邊形法則和平面向量基本定理可得結(jié)

10、果本題考查平行四邊形法則和平面向量基本定理8.【答案】 A【解析】解：根據(jù)題意，在ABC 中，cosA=，則 sinA= ，且 A 為銳角；又由=，可得 sinB=，又由 a=4則則； b=5， B A， B=故選：A根據(jù)題意，有 cosA 的值求出 sinA 的值，結(jié)合正弦定理可得 sinB=，計(jì)算可得 sinB 的值，比較 a、b 的大小，分析可得答案本題考查三角形中正弦定理的應(yīng)鍵是掌握正弦定理的形式，屬于基礎(chǔ)用，關(guān)題9.【答案】 B【解析】對(duì)選項(xiàng)A ，若=，所以（）?=0，故A錯(cuò)誤，解： 于對(duì)于選項(xiàng)B，若，所以則=2，故B 正確，=0，）對(duì)于選項(xiàng) C，若 ，則在上的投影 為 |，故C 錯(cuò)

11、誤，對(duì)于選項(xiàng) D，若+=，不能推出 =0，故D 錯(cuò)誤，1212綜選項(xiàng)B 正確，上可知：故選：B由平面向量數(shù)量 積的性質(zhì)及其運(yùn)算逐一 檢驗(yàn)即可得解，本題考查了平面向量數(shù)量 積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題10.【答案】 A【解析】【分析】根據(jù)題意，對(duì) f （x+）=f（x-）變形可得 f（x ）=f（x-3），則函數(shù) f（x）是周期為 3的周期函數(shù)，據(jù)此可得 f （2017）=f（1+6723）=f（1），f（2019）=f（6733）=f（0），結(jié)合函數(shù)的解析式以及奇偶性求出f （0）與f （1）的值，相加即可得答案 .第7頁(yè)，共 16頁(yè)本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性、 對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)的

12、周期，屬于基礎(chǔ)題 .【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù) f （x）滿足任意的 xR 都有 f （x+ ）=f（x- ），則 f（x）=f（x-3），則函數(shù) f（x）是周期為 3 的周期函數(shù)，f （2017）=f（1+6723）=f（1），f（2019）=f （6733）=f（0），又由函數(shù) f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，則 f （0）=0，x（-）時(shí)，f （x）=（1-x），則 f （-1）=1- （-1）=-1，則 f（1）=-f （-1）=1；故 f（2017）+f （2019）=f （0）+f（1）=1.故選 A.11.【答案】 A【解析】解：f（x）=cosx-sinx=cos（x+），x

13、0，x+ ， ，-1 cos（x+），即- cos（x+）1，則值為-，1f（x）的 域由 x+ （， ），可得x：（ ，），即單調(diào)增區(qū)間為：（ ，）故選：Af （x）解析式提取變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的 值域即可求出 f （x）的值域，利用余弦函數(shù)的 單調(diào)性可求單調(diào)遞增區(qū)間此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的定義域與值域及單調(diào)性，熟練掌握公式是解本 題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題12.【答案】 B【解析】第8頁(yè)，共 16頁(yè)解：b=ccosA，b=c ，化簡(jiǎn)可得，a2+b2=c2，C=90，SABC =12，ab=24，=x+y，且均為單位向量

14、，過(guò) P 分別作 PEBC，PFAC，垂足分別為 E，F(xiàn)，則 PE=x，PF=y，兩式相加可得，由基本不等式可得， 1=僅時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且 當(dāng)解可得，xy6則 xy 的最大值為 6故選：B由 b=ccosA，結(jié)合余弦定理可求 C=90，結(jié)合三角形的面 積公式可求 ab，再由=x+y，結(jié)合均為單位向量，和平行線分線段成比例可得，結(jié)合基本不等式可求本題綜合考查了余弦定理，三角形的面 積公式，基本不等式的 綜合應(yīng)用，13.【答案】 120【解析】解：an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1），又a1+1=2， =2，數(shù)列 a n+1 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，n-1nanan+1=

15、22=2 ， n=2 -1，S6=2-6=120，故答案為 120第9頁(yè)，共 16頁(yè)an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1），利用a n+1 是等比數(shù)列可得 an 的通項(xiàng)公式，從而可得 S6本題考查了數(shù)列求和，屬中檔 題14.【答案】 f（ x） =2sin（ 2x- ）【解析】解：由函數(shù) f（x）=Asin（x+）的部分圖象知，A=2 ，=-=，T=，=2，由 x= 時(shí)，2 += ，解得 =- ，所以 f （x）=2sin（2x- ）故答案為：f（x）=2sin（2x- ）由函數(shù) f（x）的部分圖象，求出 A 、T、和 的值，即可寫(xiě)出 f（x ）的解析式本題考查了正弦型函數(shù)的 圖象

16、與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題15.【答案】【解析】解：設(shè)與的夾角為 ，0，則由 |=，平方可得7=1+4+2 1 2cos，解得 cos=，= ，故答案為設(shè)與的夾角為 ，由條件|=，平方可得 cos=，由此求得 的值本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量 積的定義，向量的模的定義，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔 題16.【答案】 6【解析】解：n=1 時(shí)，S1=2a1-2，a1=2，n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2an-2-2an-1+2=2an-2an-1，第10 頁(yè)，共 16頁(yè)an=2an-1，又a1=2，an 是以 2 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，an=22n-1=2n，bn=2ncosn ，T

17、2n=-21+22-23+24+22n=-+，由 T2n 2018得 - + 2018，得22n+1 6056，n=5 時(shí)，211=20486056，n=6 時(shí)，213=81926056，故 n 的最小值為 6故答案為 6先求出 an，bn，再利用等比數(shù)列求和公式得T2n，再解不等式可得 n 的最小值 本題考查了數(shù)列的求和，屬中檔 題22217.【答案】解：（ ）設(shè) an 的公差為 d，則 a2 =a1a4，（ a1+d） =a1（a1+3d），d =a1d，又 d0， a1=d，1511S=15a +d=120 ， a =d=1，an=n（ ） bn= -，Tn=1-=-+-+-+ +-【解

18、析】（）設(shè)公差為 d，根據(jù)題意列方程 組可得 a1=d=1，由此可得 an；（）使用裂項(xiàng)求和可得本題考查了數(shù)列求和，屬中檔 題18.【答案】 解：（ ） acosB+bsinA=c由正弦定理：可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin （ A+B）即 sinAcosB+ sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB sinBsinA=cosAsinB0 B ， sinB0， sinA=cosA第11 頁(yè)，共 16頁(yè)即 tanA= 0 A ，A= （ ） ?=3，可得：即 bccosA=3可得： bc=2a=1，222由余弦定理可得：a =b +c -2cbcosA22可得

19、 7=b +c 即（ b+c） 2-2bc=7b+c=【解析】（）利用正弦定理，邊化角，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求角A 的大??；（）a=1，?=3，利用向量的夾角公式即可求解 b+c 的值本題考查了正余弦定理的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力屬于中檔題19.【答案】 解：（ ）由題意，可知：=，=當(dāng) n=1 時(shí)，當(dāng) n2時(shí)，=數(shù)列 an -n 是以 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（ ）由（ ），可知：， nN* =Sn=b1 +b2+b3+bn123n=（ 1?2 +1 ）+（ 2?2 +1）+（ 3?2 +1）+ （ n?2 +1）123n=1 ?2 +2?2 +3?2 +n?2 +n， -第12 頁(yè)，共 1

20、6頁(yè)（ n-1）?2n+n?2n+1+2 n- -，可得：n+1-n?2+n-2n=n+1=（ 1-n）?2-n-2，【解析】本題第（）題可根據(jù)遞推式逐步代入算出a2和 a3的值，再根據(jù)題意將 an 的遞推式代入 an-n 進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)最終會(huì)得到 an-n 和 an-1-（n-1）的關(guān)系，最終得證數(shù)列 a n-n 是等比數(shù)列；第（）題先根據(jù)（）求得bn 的通項(xiàng)公式，得到，由bn通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可根據(jù) 錯(cuò)位相減法得到數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和Sn本題第（）題主要考查根據(jù)遞推公式逐步代 值，以及根據(jù)遞推公式求出通 項(xiàng)公式；第（題）主要考查利用錯(cuò)位相減法來(lái)求數(shù)列的前n 項(xiàng)和本題屬中檔題20.【答案】

21、 解：（ ）由拋物線y2=4x，得焦點(diǎn)F（ 1， 0），則 c=1，又，得 a=， b2=a2-c2=1橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（ ）由橢圓方程可得：A（）， B（ 0， 1），如圖，聯(lián)立，得，|BD |=第13 頁(yè)，共 16頁(yè)A 到直線 y=kx 的距離為， C 到直線 y=kx 的距離為四邊形 ABCD 面積 S=，解得： k=【解析】（）由拋物線方程求得焦點(diǎn)，得到 c，再由離心率求得 a，結(jié)合隱含條件求得 b，則橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求解 B 的坐標(biāo)，得到|BD|，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得 A ，C 到 BD 的距離，代入面積公式求 k本題考查橢圓 方程

22、的求法，考 查直線與橢圓位置關(guān)系的 應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題【答案】 解：（ ）因?yàn)?f（ x）=exsinx，所以 f（ x） =ex（ sinx+cosx）=exsin（ x+21.），f （ x）， f（ x）， x 的變化關(guān)系如下表：x（0， ）（ ， ）（ ， ）f（ x）+0-0+f（ x）遞增極大值遞減- e遞增x（ ）（ i ）令 g（ x） =f（ x）-x=e ?sinx-xxg（ x） =e （ sinx+cosx） -1，令 h（ x）=ex（ sinx+cosx），則 h（ x）=2excosx0對(duì) 0， 恒成立，h（ x）在 0， 上是增函數(shù)，則h（ x） 1，

23、e ，g（ x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為增函數(shù)，g（ x） min =g（ 0） =0；f（x） x（ ii ）令 g（ x） =f（ x） -kx=exsinx-kx要使 f（ x） kx 恒成立，只需當(dāng)0， 時(shí)， g（ x） min0，g（ x） =ex（ sinx+cosx） -k，令 h（ x）=ex（ sinx+cosx），由（ i）得 h（ x） 1， e ，當(dāng) k1時(shí)， g（x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為增函數(shù)，g（ x） min =g（ 0） =0， k1滿足題意；第14 頁(yè)，共 16頁(yè)當(dāng) 1時(shí)， g（ x） =00， 上有實(shí)根x0，h（ x）在 0， 上是增函數(shù)，則當(dāng) x0，x0）時(shí)， g（ x） 0， g（x0） g（ 0）=0 不符合題意；當(dāng) k時(shí)， g（ x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為減函數(shù)，g（ x） g（ 0） =0 不符合題意 k1，即 k（ -， 1【解析】（）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于 0 求其增區(qū) 間，導(dǎo)函數(shù)小于 0 求其減區(qū)間；（）i）（構(gòu)造輔助函數(shù) g（x ）=f（x）-x，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 x0， 時(shí)，g（x）0，min（ii ）構(gòu)造輔助函數(shù) g（x ）=f（x ）-kx ，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 x0， 時(shí)，g（x）0，然min后對(duì) k 的值進(jìn)行分類(lèi)