多面體外接球半徑內(nèi)切球半徑的常見幾種求法

1、多面體外接球、內(nèi)切球半徑常見的 5種求法如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面 體，這個球稱為多面體的外接球.有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也 是高考考查的一個熱點.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球 的知識，并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，而多面體外接 球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用 .公式法例1 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在 同一個球面上，且該六棱柱的體積為 9，底面周長為3,則這個球的體積為8T 6x=3, T 1IIx =解 設正六棱柱

2、的底面邊長為x，咼為h，則有丿9V3 22_=6漢xh,石84 小 一 x/3正六棱柱的底面圓的半徑r =-，球心到底面的距離d二上3 .二外接球的半徑2 2R=、r2 d2=1. . V球二.3小結 本題是運用公式R2 -r2 d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式 .多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是A. 16二 B. 20 二 C.24 二D. 32 二解 設正四棱柱的底面邊長為x ,外接球的半徑為R，則有4x2 = 16，解得x = 2.二2R = J22 +22 +42 =2屈,二R = T6. 這個球的表面積是4

3、兀R2=24兀.選C.小結本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解 的.補形法例3若三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且側棱長均為.3，則其外接球的表面積是.解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側棱兩兩垂直，I把這個三棱錐可以補成一個棱長為3的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球設其外接球的半徑為R，則有（2Rf =（応行（亦丫 +（73$ =9.二R2=9.4故其外接球的表面積S =4二R2 =9二.小結一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為a b、c，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球的半

4、徑為R，則有2R= a2 b2 c2 .尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S - ABCD的底面邊長和各側棱長都為 V2，點S、A、B、C、都在同一球面上，則此球的體積為.解設正四棱錐的底面中心為Oi，外接球的球心為0,所示.二由球的截面的性質(zhì)，可得 00i _平面ABCD .又SOi _平面ABCD，二球心0必在SO所在的直線上.ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的 是外接球的半徑.如圖3半徑就在 ASC中，由 SA = SC = .2, AC =2，得 SA2 SC2 二 AC2. AASC是以AC為斜邊的Rt ：. AC =1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球二.23小結

5、根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸 截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外 接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾 何問題轉化為平面幾何問題來研究.這種等價轉化的數(shù)學思想方法值得我們學習.確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角A.125n12B.空二C.D.1253解 設矩形對角線的交點為0 ,則由矩形對角線互相平分,0A =0B =0C =0D . 點0到四面體的四個頂點A、B、C、D的距離相等，即點0為四面體的外接

6、球的球心，0可知如圖2所示.二外接球的半徑R = 0A =總.故2球=二R3 = 125二.選C.236出現(xiàn)多個垂直關系時建立空間直角坐標系，利用向量知識求解【例題】：已知在三棱錐 A - BCD中，AD _面ABC，. BAC =120，AB二AD二AC = 2，求該棱錐的外接球半徑解：由已知建立空間直角坐標系由平面知識得5-1, 3,0)設球心坐標為x, y, z) 貝U A0 二 B0 二 CO廣 Dq由.空間兩.點 1間C距離公式知B - AC -D，則四面體ABCD的外接球的體積為解得 x = 1 y 3 z = 13所以半徑為R-12 （ 3）2 12 =-2133【結論】：空間兩

7、點間距離公式：P （x1 -x2）2 （y - y2）2 （乙-z2）2四面體是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個點,根據(jù)勾股定理知，假設正四面體的邊長為 a時，它的外接球半徑為a。4內(nèi)切球的半徑正方體的內(nèi)切球：設正方體的棱長為a，求（1）內(nèi)切球半徑；（2）外接球半徑；（3）與棱相切的球半 徑。（1）截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，得R=E ；2（2） 與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，如圖4作截面圖，圓0為正方形EFGH的外接圓，易得 a o2（3）正方體的外接球：正方體的八個頂點都在球面上，如圖5，以對角面AA作截面圖得，圓0為矩形ACQ的外接圓，

8、易得構造 解正 合問 接球， 下底 中 占I 八、 底面 頂 占 八、 角形D1心2圖5直三角形，巧 棱柱與球的組 題正棱柱的外 其球心定在上 面中心連線的 處，由球心、 中心及底面一 構成的直角三 便可得球半例題：已知底面邊長為a正三棱柱ABC -AiBiCi的六個頂點在球Oi上,又知球。2與此正棱柱的5個面都相切，求球O1與球O2的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關系。解：如圖6，由題意得兩球心Oj、O2是重合的，過正三棱柱的一條側棱 AA1和它們的球心作截面，設正三棱柱底面邊長為a，則R23a，正三棱柱的高為h =2R2-a，由63Rt ADQ中，得Ci圖62Ri2i2aR2二aaR = .12a5a12Sr : S2 = R| $ : R2 $ =5:1， V1 ：V2 =5.5:1二棱錐的內(nèi)切、外接球問題4.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？分析：運用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點、 線、面關系解之。解：如圖1所示，設點O是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a .由 圖形的對稱性知，點O也是外接球的球心.設內(nèi)切球半徑為r，外接 球半徑為R.在 Rt BEO 中，BO2 二 BE2 EO2，即 R23a r2，得I3丿.6R a，得 R = 3r4A【點評】由于正四面體本身的對稱性可知,內(nèi)切球和外接球的