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1、計算方法公式總結緒論有效數(shù)字元函數(shù)y=f （x）絕對誤差限|e| |x x|,為正數(shù)，稱為絕對誤差限rx x eT x x e相對誤差e*通常用e表示相對誤差xxxx相對誤差限|er |r 或 |er |r絕對誤差x , x為準確值，x為近似值。絕對誤差 e(y) f(x)e(x)相對誤差er（y）e(y)yf (x) e(x)yxf (x)f(x)er(x)二元函數(shù) y=f （xi,X2）絕對誤差e（y）逖凹dXi如歸dX2XiX2血如色號化）皿電號化）yX2yXiX2e（x!）+ e（叼）,（i）總（叼）亍e（叼叼）x e瀘（6）十 ie（x2）,1対一eJ：2就叼+叼）= e（j；i 乂

2、：2）= eeera ) 一 er(j；2).(3) 一 e(x2),工1叼 #、 叼 $、亡討叼 + 叼)uerxi) +er(x2),JCy +遲2忑1 +遠2%(兀1 -工2)心一金(丁1)*(：血),JC X2工1 不2知(叼也 I a er(j?i) + er(o;2),機器數(shù)系1）數(shù)的浮點表小:述=土（0他他y0卩： 其中三 /3（1 z n）. LpU.列02厶U）2）機器中的數(shù)集是有限的：J- = (0.旳血a 1 1 - 1,1l)SmS“一 1 冷=20?n.Zp (/ / 3）實數(shù)匹- ”3）（機器數(shù)）注：1. B曇，且通常取2、4、6、82. n為計算機字長3. 指數(shù)p

3、稱為階碼（指數(shù)），有固定上下限L、U4.尾數(shù)部S0.aia2L an，定位部p5.機器數(shù)個數(shù)1 2( 1)n1(U L 1)機器數(shù)誤差限舍入絕對丨x1 fl(x)l -n p截斷絕對|x fl(x)|n p|xfl (x) |11 n|x fl (x) |1 n舍入相對|x|2截斷相對| x |積分中值定理設/(刃羽(時在a川上連續(xù)r 匚)在陸可上保號(即IF負或卡正)則存 在 a川使得I /(x)g(x) dx = f() / g(x) dx.J aJ a秦九韶算法方程求根f(x) (x x)mg(x), g(x) 0 , x 為 f (x) =0 的 m 重根。二分法* _ ml S h加

4、_ 4）S 喬訂（b _位燦丁繡定桔度6若取上使得霜（b 小 &則有b 1冬迭代法f(x) 0Xk 1(xQk=0、1、2xk為迭代序列，（x）為迭代函數(shù)，lim XkX（x ）k定理1設甲3）在何制內存在階連續(xù)導數(shù)*且滿足:1）?Jlx a. b時,p（x） a. fe；2）存在正常數(shù) L當工川吋訶（巧| L L 則尤二諷龍）在%6|上有唯一實根,記為外2）対任意初值劌耳外迭代格式收斂，且lim以=龍Al-3）L一以| 琨k-11,k 一 1, 2,3* * -4)Lklim 工* :g局部收斂定義1燉J方程;r =爐匕），若住用的某個鄰域S = x|x-*| 6內，對任意初值如e S迭代格

5、Zxjt+i =卩（遠訂都收斂，則稱 迭代法在F的附近局部收斂.定理3設方稈忑=卩）有根X*, H.在/的某個鄰域S = xx x*| 1時.迭代格式發(fā)散.注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應用定理 3判斷是否局部收斂定義2設序列%收斂于Q并記 =心一&如果存在常 數(shù)冷1及非零常數(shù)C使得則稱序列心是卩階*攵斂的.定理4若護（QfE附近的某個鄰域內ftp（ 1）階連續(xù)導數(shù)且(14)(15)(16J心燈（浜*） = 0, k 2廠衛(wèi)- 1,沁）（h）豐0,則迭代格式在E附近是卩階局部收斂的,且有v 叼:十I 一決lim&joc (J% .E*)P如果P=l,耍求|0片）| 2)重根時,Newt

6、on迭代一階局部收斂.牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內也收斂，加如下四個條件定理5設函數(shù)幾乂)在區(qū)間他川內2階連續(xù)可導，且滿足:1) /儀/(切 C2W-M1、J.1 |ci| 0;2) bi 10.1 + |q|,叫G o(t = 2S 3, - ,n - 1)；3) bn alt 0*易證的系數(shù)矩陣非奇異利fflGaussMt法解方程組，每步 消元只要消一個元素消元過程算法如下：0=兀 yi =岔，対匚一 2： ：3做Clfk = -zB* = & tcf-b yi = di /tife-i-Pi-i析5C：9* Q* * d.In-a。M23*4*Tl16冗_*41 匾n

7、 1b“ dnAClyi 002CoV20Bs*C3V()*/?n1(Vn1 J/n100tiVn _回代算法：馮=弘/0巧對P =孔一1，門一2廠1做 航二(yi - gm+i)/3#列主元高斯消元法設進行了 ifc i步消元au00alS0(1) a2：i(3) %*0(10砂=000000-0*-*0卡00100I (k)(k)|當ask I max|aik |, all-lalk釦Z7G3A *呦&-11 *丄1)八1)竹十-1你一 M - 04k + 0胖).A:+1、k* V*- 0w叫卡A4*1 0Aank*JD an r 追(1) _ 必+1 打 fl2,n4 10 Q如十1h

8、_o（以）你:+a)Z： l.n+1 期%ak,TlJh切+1應1A-+1 .rz+1I *w（Aan+1bb 4ak/Fur?,nH-l即第k次消元把knk列絕對值最大的行（s行）調到第k行，再進行高斯消元2.1向量范數(shù)設忑=（無1“2，xn）T R定義1設/（x） = |列是R“上的函數(shù),如果滿足.（非負性丿旳? e Rn,有|“| o,且|忑| = o o忑=o, 2丿（齊次恂血e RA AeR有|入劍| = |A|x|；3）（三角不等式）Px、y G Rn,有卜 4- y x + y. 則稱|為R上的范數(shù).常用的三個向量范數(shù):n1）1范數(shù)：bill =刀國|;2=12)oc范數(shù):max

9、Kin3) 2-范數(shù)：|2 = J ” 昭=ZxJx = /么衛(wèi)).定理2設A w Rnxn,貝ij1)nMill = 慳lllli = J?孥刀如l tiii=iJn i2)nniloo =挫醫(yī)w創(chuàng)oo = 啓瓷工如l klloo=1_ _ 冃3)HII2 =Ax2 = p(ArA).11創(chuàng)2=1定義5設B 乩汕 入為B的ri個特征血 稱P(B) =l?n為矩陣E的譜半徑，定理3 i殳| - |是脾上的任意一個矩陣范數(shù)，A G 則令P(A) Mil.定理4如果4 Rm為對稱矩陣則p(A) = |A|b定義3設| J是IT中的一個范數(shù).工叫去1)衛(wèi)，是JT中的 一個向量岸列c R11為常向量*

10、如果lim |a?c| = 0,AK0C則稱向量序列代。收斂于C記為lim卅可=e迭代序列構造Ax b x Bx f x(k 1) Bx(k) f第三個等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別1. 充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1, PBP 1結論：Ax=b有唯一解x對任意初始向量洌G /?,迭代格式收斂齊詛有 |-| llll |P-1)-*I|! = 1,2,3,., 也叭-Tj卅山斤=曲3, 忖肋一巧上占皆問一* = 1,2；,.|2. 充要條件：迭代矩陣譜半徑小于 1, (B)1Jacobi迭代法A L D U其中L (low)為下三角，U為上三角，D為對角線元素迭代格式：x(k 1)

11、D 1(L U)x(k) D 1b昇十1=(% 一 口12虜)他3講)一一。曲丄農)/如 虜+1= _切理一也曙)也講)/戀2講+1)= 3 。31運F 口32錯)一一伽詞P)/阿331迭代矩陣JD (L U)收斂性判據(jù)：| I J | 0 |D 1 |?|L D U| 0 |L D U | 0求出 最大值小于1(J的譜半徑小于1 )即迭代格式收斂.Gauss-Seidel 迭代法迭代格式x(k 1) D1( Lx(k 1) Ux(k) b)x(k 1)(D L) 1 U x(k) (D L) 1b1迭代矩陣：G (D L) U常數(shù)矩陣：g (D L) b(*：)Q 12工訃卅)珂(如(M)巾

12、円切3也 _ *佝(+1)一門31心Jb+lJ翊站2(bni卜+】)Onll茁+1)一 (ln22(k+1)邏1=理+1)=川+1)-(M1)n-%講)/創(chuàng)1吆講)/和22034#)咲遵)/(A+l) v 1I 口 n.nMn -1網收斂性判據(jù):| I G | 0|(D L) 1 |?| (D L) U | 0| (D L) U | 0求出最大值小于1 (G的譜半徑小于1 )即迭代格式收斂.結論：當A是嚴格對角占優(yōu)的，貝U Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的甫值法用插值多項式p (x)代替被插函數(shù)f(x)nanX ,插值多項式：P(X) a0a1xLn+1 個點 P(Xi)

13、yi (i0 :n)插值區(qū)間：a,b，插值點滿足aXx1Lxnb求插值多項式P (x),即求多項式系數(shù)的過程為插值法帶入可知求系數(shù)的插值點行列式為范德蒙行列式，不為0，有唯一解。即n+1插值條次線性插值P (X)X X1X x0一 y。一*yl(x) y1(x)XX1件對應的不超過 n次的插值函數(shù) P (x)只有一個。lk(X)(x Xi)j 01 zi kn0(Xk Xj)n (x Xj)0 (Xk Xj)Lagrange插值多項式nnLn(X)Yklk(X)k 0k 0插值余項非插值節(jié)點上Lagrange插值多項式為被插函數(shù)f(x)的近似值(i 0 Xi k Xk)YkRn(X)f(X)

14、Ln(X)f (n 1) () n(X(n 1)! i 0Xi)(a,b)帶導數(shù)插值條件的余項估計求一個三次紳式H3使得”-f （弭它、理、fS HWSAH（a）=心）* HU 八它的余項為= 4r）（Xd（2）求一個三次多項式H&）使得H(a) =H（呼卜八寧卜、 H =fS & h、它的余項為y（X-）, ww（乩定理2設f ）（血）在C上連續(xù)、嚴+（）在S）內存在,5忑1,皿W a,b為互異節(jié)點,Ln（x）是滿足的插值多項式,則 對色G （?, 6,勺 G （偽b） （依賴于忑）,使得=才 3)一皿)=C仏+1(叭(10)(/I + 1 )!n其中軸+1(龍)=H3 - a)-注：推導過

15、程用羅爾中值定理構造輔助函數(shù)(t) Rn(t) K(x)Wn1(t)注2 “E依賴于眄即E = W）丘（訕和心；1, 衛(wèi)貳hrmxj；u.m癢）2） j f（d木身是亠個;欠數(shù)彳、超過nil。多頂式時./（T） rjf（.r）=Q因而乙佃）-f（x特別當/（X）= L則有n也）=1k=u刃由于 般不能精確求出F因此只能估計課差.設噩ims則仃曲瓷）| (r t + 11!第二條性質用于可以證明階數(shù)不大于n的f（x）的插值余項為0.差商和Newton插值法定義2役|2知函數(shù)/（戈）在侃+ 1個垃并節(jié)點叼.口,xn上的 函數(shù)值為/（叼）/（叼）+ /（n）.稱fg - fgf =:巧跖為丁（巫）關

16、于節(jié)點勸,心的/階差航均差厶稱/筑差商f 1-|: Xj和 打丄:上九的誥商為f）關于節(jié)點巧巧孔旳2階差商# 一般地*稱2個A： 1階的 差商為k階羞瓶U卩f陸小叼，弧_丄，氐升,叼，衛(wèi)卜-|必一 丁 呵，叼，叭7 必】約定0階莘筒是函數(shù)til計算函數(shù)的淬商可以通過列表法計算。記憶方法：先記分母，最后一個減去第一個，對應的分子第一項是最后一個臨近 k元素的差商，第二項是第一個臨近 k個元素的差商。性質3去階差商和上階導數(shù)之間有如F關系;/r嚴 S）九耐Ml廠山血=,其中q W （minfaroi,，耳，maxj；o,叼廠牛頓插值多項式Ln（x） = fM +叼（迄遠0）+ 子肚0,叼2（苗叼）

17、（山龍1）+ * * * + f o 庖1 廠，工訂（比 一 （）（富一富1） （遠 一 s_i）*（15）（稱為nJNewtonM值參項式.通常記作Nn （ X）分段樣條插值給定“疋）在比+ 1個節(jié)點a =如 叭v 上的函數(shù) 值匸JC丄ll止1注一1f(Q* 、 jFf g T31)H切記人心+i h max ht.在每個小區(qū)間遲2屮上作幾r） 的線性插徂遲 1 衛(wèi)3） 一+ /慮，疋訐i3 亦），x e 國，曲+i,其誤丼為幾）-G（）=一氏）（需一磯+& 玄心十）.aa從而有max 1/（） - u（）| max | 廠（）（成一曲）（一站+山工十1旳90訂112 打；max 屮）|（1

18、7）O J7（Tm )9l如)V _Co * (0Trti 0。) (0TFH 0l)4(77? dm)n,X才是最小二乘多項式o 1 m 00G! -1-ifby b2Jn_bm1112*“山。21Q22*-Wfiml。沁.八 amit(5)其屮mn,系數(shù)矩陣A的列向量線性無關.方程（5）稱為超定方 程組.該方程組一般沒有精確解.記-（-V呵巧一 &1=1 v=i/求琳碣嚴二使得訂 嶼廠 ,叱）二 min趴叼皿2, *知）.卩1,巾,TnFR由駐點方程組的理論可知衛(wèi)備確衛(wèi):是卜面方程組的解:A1 Ax = ATb注：記住公式即可。數(shù)值積分和數(shù)值微分性質7 (定積分中值定理)如果函數(shù)/(X)在

19、閉區(qū)間%上連續(xù)， 則在積分區(qū)間血上至少存衽一個歳, 1t/(x)tZr= /()(ba). S MgSb) 值公式|般的數(shù)值積分公式為：Zb兄必怎刀4汀(匯 心0Xk 為求積節(jié)點， Ak 為求積系數(shù)。 插值求積公式rbI f)dx ea4Ln(d)dj：-faA=Q71=工A汀(軌)t=D忑=口 + th. t 0. n.hQ燉 f(xk)a+ J人血=a + kh.定義2如果求積點珂(忌=0丄嚴)是等距的*即b a斤=a + kh h =, At = 0.1, * * * 7nJ 則稱對應的捕值型求枯I公式為Nen ton -Cotes公式71.b為xq =伽鞏=blIlO)11!以求得(?

20、i梯形公式1)/1= Ji =得2個零距節(jié)點的痢值型求枳公式:(4)h 門r(n-/() + .(4) 稱為梯形公丁 ISimps on 公式r,.t CLa + b, L ” r U 斗2) n 2： A. - 一-一J J2 h-山(3)未得7獸)SB-tCzi=-,Ct22 = 得3個等距節(jié)點的插仿型求枳公式 636)+他b as(.門=6-(5) 稱為Simpson公式*Cotes公式29(1Ef)d+ b 34 4 一 _ 4490可得5個年EP.廿點的插值型求枳公式b ti r+ btx -| bc(f= 吋7M + 32/r) + 12/(-)+32/(* ) + 7/(6).丄

21、-I(3稱為Cm凸公式.截斷誤差W) = /(/)-AXfh稱它為求積公式(1)的截斷誤范k=nfb定義3給定一個求積分1(f ) = fx)dx的求積公式fhf方=/ f(x)dx I Ln(z)dxJ nJ ft/?(/) = 1(f)- Uf)=I /()-厶(町血=/匸警如血，25 人仙+1)!匕代數(shù)精度/(/)in(f)= 52A-0當f(x)為不超過m次多項式時上式成立，f (X)為m+1多項式時上式不成立。則稱為求積 公式有m次代數(shù)精度。3山=4,h =字環(huán)=5 號竺 = k山求得由插值型求積公式的截斷誤差in,n + i個節(jié)點的插值型求 枳公式的代數(shù)粘度至少是仏定理1求積公式n

22、4（/）=工如fS）h=0令少H有比次代數(shù)椿度F該求枳公式是扌擊俏型求積公式.即fb山=/ h（）ch ，人 = E 1,，仏定理2求積公式nk-0的代數(shù)粘度是ni它對的3） = L 91（） = S的（丄）=此， 如=計精確成立，而對訣）=.確嚴立 即（31）人（）、，七=0 J m, /（Sm+1）豐 4（ffm+l）-梯形公式代數(shù)精度為 1 , Simps on公式代數(shù)精度為 3, Cotes公式代數(shù)精度為5一般.n十1個節(jié)點的Newton-Cotcsf等茁節(jié)點插俏巾）公式的代 數(shù)精度_（碼蘇是奇數(shù)= n + 1,薜是偶數(shù)截斷誤差梯形公式(龍一o)(r b)dx b(x a)(j： b)

23、dj;g)=-f(f) =/晉)如I2 JaW a)、廠 f xf 5),可 (a,b)tSimps on 公式GA 669 6(叫化9 xp(x)rOWWWS）辛啓ssne。予蘭軸丁 ,力 xp(x)fOSWWe）芒啓ssne。予腕軸丁 ,“uz MWWW竿啓ssneg切頭（士）（一阮=-m =也爭啓sajog(嚴)m h )(#pD-q丿v r081 = d _ g 咖-對隔 T w -訂 W7 = 嘰-役(點-J ()證/J- 丁pb)R (丁)/叭訕 -甲(叩 =(Gs - (/);qJqJbbba22計算機誦過不斷把區(qū)間二分所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可記住Xjk , A A的

24、關系，tk Ak查表即可3.2 區(qū)間C上的Gauss公式 考慮區(qū)間川上的積分tT1： 1上的Gauss公式得碼b上的Gnu跖公式_ # 小 v一、h i -+ bb fi 、w） = E 丁去 f （丁 + 丁杯ci b b _ ti A b _ 7 j r3 = 1g -4a = Ak. = 0? L 2； - ,n.貝！得口川上的Gauss積分公式為V 皿）=刀4叫）A-0淀義4設有計算積分JV）的復化求枳公式心 如果存在正整 數(shù)戸和非零常數(shù)C使心）入（子）八忸帝貝I稱公式In（f）P階的復化梯形公式 2 階，復化 Simps on 公式 4 階，復化 Cote 公式 6 階a 十 b b 一 a _ 沖. 作變換”=丁+丁人可仔心）=幾廠）宓J a給定精度 &, P 1 I 1 2n ( f) ln(f)l 時1|I(f) I2n(f)| 廠 |l2n(f) In(f)|因而可以取l2n(f )為I (f )的近似值。心)尬