2019-2020學(xué)年北京四中高三(上)10月統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷

1、2019-2020 學(xué)年北京四中高三（上）10 月統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10 小題，共 30.0 分）1.?690的值為 ()A.- 3B.3C.-3D. 3332.設(shè)數(shù)列 ? 是等差數(shù)列，若 ? + ? + ? = 12，則 ? + ? + ? + ? = ()?345127A. 14B.21C. 28D.353.“ ?= ?”是“ ?2?=1”的 ()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件?14.2?，則 z 等于 ()定義： = ?- ?，若復(fù)數(shù) z滿足 = 1+?-?A. 1+?B.1- ?C. 3+ ?D.3- ?5.已知集合

2、? = ?|?- 1| 2 ， ?=?| 5 1 ，則 ?= ()?+1A. ?|0 ? 3B. ? ?|0 ? 3C. ?|- 1 ? 0D. ? ?|-1 ? 06. 同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù) ?= 2?+1與 ?= 2 1-? 的圖象 ( )A. 關(guān)于原點對稱B. 關(guān)于 x 軸對稱C. 關(guān)于 y 軸對稱D. 關(guān)于直線 ?= ?對稱7.函數(shù)1+ ln(?-1)在點 ?(2,?)處的切線是 ()?=2A. ?- 2?= 0B. ?- ?-1 = 0C. ?- 2?-1 = 0D. 2?- 2?- 3 = 08.函數(shù) ?(?)在定義域 R 內(nèi)可導(dǎo)，若 ?(?)= ?(2- ?)，且當(dāng) ?(-

3、,1) 時， (?-?=11)? (?) 0，設(shè) ?=?(0)，?( )， ?= ?(3)，則 ()2A. ? ?B. ? ? ?C. ? ? ?D. ? ? ?9.已知?(?)R上的周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)?(0,2)2是定義在時， ?(?)= ? + ?，則?(2019) = ()A. -1B. 0C. 1D. 2?(?)= 3sin?(?)的極值點 ?滿足222m，若存在，則的10.設(shè)函數(shù)? ?00 + ?(?)0取值范圍是( )A. (- ,-6)(6, +)B.C. (- ,-2)(2, +)D.二、填空題（本大題共5 小題，共15.0 分）(- ,-4)(4, +)(- ,-1)(1,

4、 +)111.函數(shù) ?(?)= ?(2?+1)1的定義域是 _212.曲線?2?= ?在點(2, ?) 處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為_13.設(shè)等比數(shù)列 ? 的公比 ?=2，前 n 項和為 ?，則?4 = _ ?214.已知函數(shù) ?(?)= ?+2，且 ?是函數(shù) ?(?)的極值點給出以下幾個問題：001；?01；? ?(?)0+?0 0其中正確的命題是_. ( 填出所有正確命題的序號 )2 ?-?,? 115.設(shè)函數(shù) ?(?)= 4(?-?)(?-2?), ? 1 ， 若 ?= 1 ，則 ?(?)的最小值為 _ ； 若 ?(?)恰有 2個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是 _三、解答題（本

5、大題共7 小題，共75.0 分）16.設(shè) A、B 兩點在河的兩岸， 一測量者在 A 的同側(cè)所在的河岸邊選定一點C，測出 AC的距離為 50m，?= 45，?= 105后，算出 A、B 兩點的距離為 _?.17. 已知： ?是公比大于1 的等比數(shù)列，為其前n 項和， ?= 7，且 ?1 + 3，3?2，?3?3 + 4構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列 ? 的通項公式；(2)令? =?，求數(shù)列 ? 的前 n 項和 ?log 2 3?+1?18.已知：函數(shù) ?(?)= sin (2?+ ?)(-? ? 0) 圖象的一條對稱軸是直線?= 8 (1) 求?的值；(2) 求函數(shù) ?= ?(?)的單調(diào)增區(qū)間；(3)

6、 畫出函數(shù) ?= ?(?)一個周期的圖象19. 已知函數(shù) ?(?)= ?- ?(?)(1) 當(dāng)?= 2時，求曲線 ?= ?(?)在點 ?(1,?(1)處的切線方程；(2) 求函數(shù) ?(?)的極值第2頁，共 11頁20. 設(shè) ?中的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為ab c?=4，?= 2，且55( ) 當(dāng)?= 3時，求角 A 的度數(shù)；( ) 求?面積的最大值21.某制藥廠準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對產(chǎn)品進行宣傳，在一年內(nèi)， 預(yù)計年銷量 ?(萬件3?+1)與廣告費 ?(萬元 ) 之間的函數(shù)關(guān)系為?=(? 0). 已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投?+1入為 3 萬元，每生產(chǎn) 1 萬件此產(chǎn)品仍需后期再投入 32 萬

7、元，若每件售價為“年平均每件投入的 150% ”與“年平均每件所占廣告費的 50% ”之和 ( 注：投入包括“年固定投入”與“后期再投入” )(1) 試將年利潤W 萬元表示為年廣告費x 萬元的函數(shù)，并判斷當(dāng)年廣告費投入100萬元時，企業(yè)虧損還是盈利？(2) 當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？222. 已知：函數(shù) ?(?)= 2?-?+ 3?，其中 ?(1)若?(1) = 2 ，求函數(shù) ?(?)的最大值；(2)，?滿足 ?(?0，證明：-3+17若?= -1 ，正實數(shù) ?1) + ?(?) =?1+ ?21222第3頁，共 11頁答案和解析1.【答案】 A【解析】 解： ?690=(72

8、0-30 )= -?30= -3，tan3故選： A由 (?+ 2?)= ?、 (-?) = -?及特殊角三角函數(shù)值解之tantan本題考查誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值2.【答案】 C【解析】 解： 數(shù)列 ?是等差數(shù)列，若 ?3 + ?4 + ?5= 12， 3?4 = 12， ?4 = 4?+ ?+ ? + ?= 7?= 281274故選： C由 ?3 + ?4 + ?5= 12，可得 ?4 = 4，故有 ?1 + ?2 + ?+ ?7 = 7?4，運算求得結(jié)果本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題3.【答案】 C?【解析】 解： ?= ?，可得 ?= ?+ 4， ?，?2?= 2?+

9、2， ?2?= 1，“ ?= ?”是“ ?2?= 1”的充分條件，?2?= 1，可得 2?= 2?+?， ?= ?+， ?，24可得 ?= ?，“ ?= ?”是“ ?2?= 1 ”的必要條件，所以“ ?= ?”是“ ?2?= 1”的充要條件故選： C直接利用充要條件的判斷方法，求解判斷即可本題考查充要條件的判斷與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題4.【答案】 B【解析】 解：復(fù)數(shù)z 滿足 ?-?1+?則?=? = 1 - ?1= 1 + 2?= ?+ ?，?故選： B化簡行列式，再計算本題考查行列式，復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題5.【答案】 B【解析】 解： ? = ?|-1 ? 3 ， ?= ?|- 1 ? 4 ，? ?=

10、 ?|- 1 0 ，此時 ?(?)為增函數(shù)， ?(1, +)時， ? (?) 0， ?(?)為減函數(shù)，所以 ?(3) = ?(-1)1?， ?(0) ?() ，即 ? ?2故選： B根據(jù) ?(?)= ?(2-?)求出 (?)的圖象關(guān)于 ?= 1對稱，又當(dāng) ?(- ,1) 時，(?- 1)? (?)0 ， ?- 1 0 ，此時 ?(?)為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)性質(zhì)得到即可考查學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性來解決數(shù)學(xué)問題的能力9.【答案】 A【解析】 解：由題意可得：?(2019) = ?(5054 - 1) = ?(-1) = -?(1)= -(1 2 + ?1)= -1 故選： A由題意結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)

11、的奇偶性計算函數(shù)值即可本題主要考查函數(shù)的奇偶性， 函數(shù)的周期性等知識， 意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力10.【答案】 C【解析】 【分析】本題主要正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題第5頁，共 11頁由題意可得，且?0?2?12?(?) = 3= ?+ ，再由題意可得? + 3，由?240此求得 m 的取值范圍【解答】解：由題意可得，?2?+1?(?，即0= ?+， ?，即 ?=30?.0 ) =?22再由22222，?，即 ?+3 0+ ?(?)0 1 ?2 + 3，?2 44得? 2，或? 0?(2?+ 1) 012解得： ? - 1且 ? 02所

12、以原函數(shù)的定義域 (-12 ,0)(0, +)故答案為： (-12, 0) (0, +)由對數(shù)式的真數(shù)大于0，分母不等于0，求出 x 的范圍后取交集即可本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域及其求法，屬于基礎(chǔ)題2?12.【答案】2?【解析】 解析：依題意得 ?= ? ，?22因此曲線 ?= ?在點 ?(2,?) 處的切線的斜率等于?，相應(yīng)的切線方程是22，?- ? =?(?- 2)當(dāng) ?= 0時， ?= -?2 即 ?= 0時， ?= 1，切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為：122? ?= 2? 1 =22故答案為： ? 2欲切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，只須求出切線在坐標(biāo)軸上的截距即可，故先利用

13、導(dǎo)數(shù)求出在 ?= 2 處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率最后求出切線的方程，從而問題解決本小題主要考查直線的方程、三角形的面積、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力屬于基礎(chǔ)題1513.【答案】 2第6頁，共 11頁【解析】 解： ?= 2，? (1-? 4 )?411-? 41-16151-? =? ?=?(1-?) = 2(1-2)= 221故答案為： 152 ? (1-? 4)?411-?4 代入可求由等比數(shù)列的通項公式及求和公式可得=1-?2?1 ?= ?(1-?)本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題14.

14、【答案】 【解析】 解： 函數(shù) ?(?)= ?+2 ， (? 0)? (?)= ?+ 1 + 2?，12? ()= 0，? 0， ? (?)- ，1，即 正確， 不正確；0 ?0 ?+ 1 + 2? = 000?(?)0 + ?022，即正確， 不正= ?00+ ? + ?0 = ?(?00+ ?0 + 1) = -?0? 00確故答案為： 求導(dǎo)數(shù)， 利用零點存在定理，可判斷；?(?20) + ? = ?+ ? + ? = ?(?+0000000?+ 1) = -?0 0 ，可判斷 0本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)15.1? 1或? 22【答案】 -1【解析】 解

15、： 當(dāng) ?= 1 時， ?(?)= 2 ?- 1, ? 1，4(?- 1)(? - 2), ? 1當(dāng) ? -1 ，當(dāng) ?1時，?(?)=4(?-1)(? -2) =23)2-1，4(? - 3?+ 2) = 4(?-2當(dāng) 1 ?3時，函數(shù)單調(diào)遞增，22故當(dāng) ?=3時，?(?) =3-1，?() =2?2 設(shè) ?(?) =2 ?- ?， ?(?)= 4(?-?)(?- 2?)若在 ?0，并且當(dāng) ?= 1時， ?(1)= 2- ? 0，所以0 ?2 ，而函數(shù) ?(?)=4(?- ?)(?-2?)有一個交點，所以 2? 1，且 ?1，所以 21 ?1，若函數(shù) ?(?) =2?- ?在?1 時，與 x

16、 軸沒有交點，則函數(shù) ?(?)=4(?- ?)(?- 2?)有兩個交點，當(dāng) ? 0時， ?(?)與 x 軸無交點， ?(?)無交點，所以不滿足題意(舍去 )，當(dāng) ?(1)= 2 -? 0 時，即 ? 2 時， ?(?)的兩個交點滿足 ?= ?，? = 2?，都是滿足題12意的，第7頁，共 11頁綜上所述 a 的取值范圍是1 ? 1 ，運用等比數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公比，進而得到所求通項公式；(2) 求得 ? = log 2 23? = 3?，由等差數(shù)列的求和公式，可得所求和本題考查等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題18.【答案】 解： (

17、1)?依題意，由 2 8+ ?=2，得4，?，+ ? ?=+ ?又 -? ?0，?=?4；2?+?(2) 由- + 2?,+ 2?422，?，得 ?-3?8+ ?,+ ?，8函數(shù) ?= ?(?)的單調(diào)增區(qū)間為 -3?8+ ?,+ ?， ?；8?(3)2? +4， x， ?(?)的對應(yīng)值如下表第8頁，共 11頁?3?2?+ 402?22?x?3?5?7?-88888?(?)010-10所以函數(shù) ?= ?(?)一個周期的圖象如圖：【解析】 (1) 由 2 ?+ ?=+82?，結(jié)合 -? ? 0)因而 ?(1) = 1 ， ?(1)= -1 ，所以曲線 ?= ?(?)在點 ?(1,?(1)處的切線方

18、程為 ?- 1 = -(? -1) ，即 ?+ ?-2 = 0?-?=， ? 0知：(2) 由 ?(?)= 1 -? 當(dāng) ? 0時， ? (?) 0 ，函數(shù) ?(?)為 (0, +)上的增函數(shù)，函數(shù)?(?)無極值； 當(dāng)?0時，由 ? (?)= 0，解得 ?=?又當(dāng) ?(0, ?)時， ?(?) 0從而函數(shù) ?(?)在 ?=?處取得極小值，且極小值為?(?)= ?-?，無極大值綜上，當(dāng) ? 0 時，函數(shù) ?(?)無極值；當(dāng) ? 0時，函數(shù) ?(?)在?= ?處取得極小值 ?- ?，無極大值【解析】 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思

19、想，屬中檔題(1) 把 ?= 2 代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在?= 1 時的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；(2) 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知，當(dāng) ? 0 時， ? (?) 0 ，函數(shù)在定義域 (0, +)上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當(dāng) ? 0 時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值20.【答案】 解： (?)?= 1- cos 2?= 35 ，第9頁，共 11頁?52由正弦定理得，即3=，=3?5解得 ?= 1，2? ?，?為銳角，?=?6222224? +? -? +? -4(?)由余弦定理可得 ?=2?=2?= 5，228? + ?=5 ?+ 4 2?，解得 ? 10，? ?=1?=3? 3210?面積的最大值是 3【解析】 (?)根據(jù)正弦定理計算A；(?)利用余弦定理得出ac 的最大值從而得出面積的最大值本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題21.【答案】 解： (1) 由題意，3+32?9+96?+?每件售價為?150% +?50% =2?，9+96?+?9+96?+?-2?-6-64?則 ?=?- ?- 3 -32?=22?= -?2 +98?+35 ， 2(?+1)則當(dāng) ?= 100 時，? =-10000+9800+35得， 0 ? 2，第10 頁，共 11頁?(?)在 (0,2)