工科線性代數(shù)教案第一章

1、第一章 行列式本章教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)要求第一節(jié) 二階與三階行列式1、 掌握二階與三階行列式的概念.2、 會(huì)計(jì)算二階與三階行列式.3、 作業(yè) p33. 1(3，4)第二節(jié) 全排列及其逆序數(shù)1、 掌握全排列、逆序數(shù)、奇偶排列等概念.2、 會(huì)計(jì)算逆序數(shù).3、 作業(yè) p33. 2(2),(5).第三節(jié) n 階行列式的定義1、 掌握n 階行列式的定義.2、 掌握三角形行列式的特性.3、 作業(yè) p33. 3.第四節(jié) 對(duì)換1. 了解對(duì)換的概念.2. 掌握定理1及其推論3. 掌握n 階行列式的新定義（定理2）.第五節(jié) 行列式的性質(zhì)1. 掌握二行列式的性質(zhì).2. 熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式.3. 作業(yè) p33.

2、 4(2),(3). 5(2),(3). 7（1）(2).第六節(jié) 行列式按行（列）展開(kāi) 1. 掌握余式式和代數(shù)余子式的定義.2. 會(huì)運(yùn)用行列式按行（列）展開(kāi)法則及其推論計(jì)算行列式.3. 作業(yè) p33 ，5(5) ,7(4), 7(6).第七節(jié) cramer 法則1、 會(huì)利用 cramer 法則解線性方程組.2、 作業(yè) p35, 8(1), 10講 授 內(nèi) 容備 注第一節(jié) 二階與三階行列式1二階行列式：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。 在線性代數(shù)中，將含兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程式的線性方程組的一般形式寫(xiě)為 （1）用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng) 時(shí)，有 （2）這就是二元方

3、程組的解的公式。但這個(gè)公式不好記，為了便于記這個(gè)公式，于是引進(jìn)二階行列式的概念。我們稱記號(hào)為二階行列式，它表示兩項(xiàng)的代數(shù)和： 即定義 （3）二階行列式所表示的兩項(xiàng)的代數(shù)和，可用下面的對(duì)角線法則記憶：從左上角到右下角兩個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角兩個(gè)元素相乘取負(fù)號(hào)，即 由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數(shù)，所以又稱它為二元方程組的系數(shù)行列式，并用字母d表示，即有如果將d中第一列的元素a11，a21 換成常數(shù)項(xiàng)b1，b2 ，則可得到另一個(gè)行列式，用字母d1表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和： ，這就是公式（2）中x1 的表達(dá)式的分子。同理將d中第二列的元

4、素a 12，a 22 換成常數(shù)項(xiàng)b1，b2 ， 可得到另一個(gè)行列式，用字母d2表示，于是有 按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：a11b2-b1a21，這就是公式（2）中x2的表達(dá)式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫(xiě)為 其中d02. 三階行列式含有三個(gè)未知量三個(gè)方程式的線性方程組的一般形式為 （1）還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當(dāng)時(shí)，有 （2）這就是三元方程組的解的公式。這個(gè)公式更不好記，為了便于記它，于是引進(jìn)三階行列式的概念。 我們稱記號(hào)為三階行列式。 三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和，也用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元

5、素取負(fù)號(hào)，即（3） 由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母d來(lái)表示，即有同理將d中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項(xiàng)就可以得到另外三個(gè)三階行列式，分別記為 于是有 按照三階行列式的定義，它們都表示6項(xiàng)的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達(dá)式的分子，而系數(shù)行列式d是它們的分母。于是三元方程組的解的公式又可寫(xiě)為 ， ， 其中d0例1：求解三元線性方程組解: (其實(shí)這就是克萊姆法則給出的線性方程組解的公式)p4 例2、3第二節(jié) 全排列及其逆序數(shù)1 排列定義（排列）：由n個(gè)不同的元素1 , 2 , 3 , , n排

6、成的任一有序數(shù)組，稱為一個(gè)n級(jí)全排列，簡(jiǎn)稱n級(jí)排列。 例如： 1 2 3 4是一個(gè)4級(jí)排列； 5 2 3 4 1是一個(gè)5級(jí)排列. n級(jí)排列的總數(shù)為n!個(gè).例如由1 , 2 , 3這三個(gè)數(shù)碼可以排出3!=6個(gè)3級(jí)排列，它們是：1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 3 ，2 3 1 ，3 1 2 ，3 2 1 .一般地，我們將一個(gè)n級(jí)排列記為i1 i2 .in ，其中i1 是1 , 2 , , n中的某一個(gè)數(shù)，i2 是余下的n-1個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，. 2逆序 定義（排列的逆序）：在一個(gè)n級(jí)排列i1 i2 .in中，如果有某個(gè)較大的數(shù)it 排在較小的數(shù)is的前面，就稱it與is構(gòu)成了一個(gè)逆序。 例如在

7、5級(jí)排列1 2 3 5 4中，較大的數(shù)5排在較小的數(shù)4之前，就稱5與4為一個(gè)逆序。一個(gè)n級(jí)排列i1 i2 .in中逆序的總數(shù)，稱為此排列的逆序數(shù)，記為n(i1 i2 .in)由于5級(jí)排列1 2 3 5 4中，只有一個(gè)逆序，所以n（1 2 3 5 4）=1求一個(gè)排列的逆序數(shù)的方法是：先求第一個(gè)元素i1的逆序數(shù)n1，再求第二個(gè)元素i2的逆序數(shù)n2，最后求第n-1個(gè)元素in-1的逆序數(shù) ，將它們加起來(lái)即可。即有 3. 奇偶排列 定義（奇排列、偶排列）：如果n(i1 i2 .in)為奇數(shù)，則稱i1 i2 .in為奇排列；如果n(i1 i2 .in)為偶數(shù)，則稱i1 i2 .in為偶排列. 規(guī)定：n級(jí)排

8、列1 2 n為偶排列.例1 計(jì)算n（3 2 1 4 5）和n（3 4 1 2 5） 解： n（3 2 1 4 5）=2+1=3 n（3 4 1 2 5）=2+2=4可見(jiàn)，5級(jí)排列3 2 1 4 5是奇排列； 5級(jí)排列3 4 1 2 5是偶排列. 第三節(jié) n 階行列式的定義分析： (i)每一項(xiàng)均是取自不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積構(gòu)成，除符號(hào)外可寫(xiě)為(ii)符號(hào)為“+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列）(iii)項(xiàng)數(shù)為 3！=6于是將其推廣，有n 階行列式定義 .1行列式的定義定義（n階行列式定義）：由排成n行n列的n2個(gè)元素 構(gòu)成的記號(hào)稱為n階行列

9、式。它是n!項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)是取自不同行和列的n個(gè)元素的乘積，各項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)這一項(xiàng)中各元素的行指標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，如果列指標(biāo)排列為偶排列，則取正號(hào)；為奇排列，則取負(fù)號(hào)。 于是得到 （1）其中記號(hào)為連加號(hào)（求和號(hào)），這里表示n!項(xiàng)的和， 稱為行列式的一般項(xiàng)。 n階行列式簡(jiǎn)記為 ，=. 注意：n階行列式的定義有三個(gè)要點(diǎn)： （1）是n!項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)其元素的行指標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，如果列指標(biāo)排列為偶排列，則取正號(hào)；如果為奇排列，則取負(fù)號(hào)； （3）每一項(xiàng)是取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積（這樣的項(xiàng)恰有n!項(xiàng)）.由行列式的定義不難看出：如果一個(gè)行列式有一行（或一列）的元素

10、全為零，則此行列式的值必為零。2三角行列式的值例 計(jì)算解 由行列式定義,和式中僅當(dāng)相關(guān)結(jié)論： (1)上三角形行列式（主對(duì)角線下方元素全為零的行列式） (2)下三角形行列式（主對(duì)角線上方元素全為零的行列式） (3)對(duì)角形行列式（主對(duì)角線以外元素全為零的行列式） 定理n階行列式的一般項(xiàng)可寫(xiě)成 其中 與 均為n級(jí)排列.即n階行列式的值又可按下式計(jì)算： （1）其中 ， 第四節(jié) 對(duì)換定義（對(duì)換）：在一個(gè)排列il .is .it .in中，如果只將is與it的位置互換（其余均不動(dòng)），得到另一個(gè)排列il .it .is .in，這樣的變換稱為一次對(duì)換。 例如在排列3 2 1 4 5中，將2與4對(duì)換，得到新的

11、排列3 4 1 2 5. 我們看到：奇排列3 2 1 4 5經(jīng)對(duì)換2與4之后，變成了偶排列3 4 1 2 5. 反之，也可以說(shuō)偶排列3 4 1 2 5經(jīng)對(duì)換4與2之后，變成了奇排列3 2 1 4 5 定理 1 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.證 先證相鄰對(duì)換的情形. 設(shè)排列經(jīng)對(duì)換 a 與 b ,得排列 那么所以，經(jīng)一次相鄰對(duì)換，排列改變奇偶性. 再證一般對(duì)換的情形. 設(shè)排列 經(jīng)對(duì)換 a 與 b排列，得排列 事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過(guò) 2m + 1 次相鄰對(duì)換變?yōu)榕帕校?）. 根據(jù)相鄰對(duì)換的情形及 2m + 1 是奇數(shù)，所以這兩個(gè)排列的奇偶性相反.推論 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇

12、數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。證明略定理 2 n 階行列式也可以定義為。第五節(jié) 行列式的性質(zhì)考慮將它的行依次變?yōu)橄鄳?yīng)的列，得稱dt為d的轉(zhuǎn)置行列式 .性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（d=dt）例1 計(jì)算行列式解 證 事實(shí)上，若記 則性質(zhì)2 互換行列式的兩行(rirj)或列(cicj)，行列式的值變號(hào) .推論 若行列式d的兩行（列）完全相同，則d=0 .性質(zhì)3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù) k，等于數(shù)k乘以此行列式，即推論 (1) d中一行(列)所有元素的公因子可提到d的外面；(2) d中一行(列)所有元素為零，則d=0；性質(zhì)4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是兩個(gè)數(shù)

13、的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和. 這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同 .即證 由行列式定義性質(zhì)5 行列式d的某一行（列）的所有元素都乘以數(shù) k加到另一行（列）的相應(yīng)元素上，行列式的值不變，即推論 d的兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則d=0.例2 計(jì)算行列式解 例3 計(jì)算n階行列式解 (1)(2) 注意到行列式各行元素之和等于x+(n-1)a,有例4 證明證 例 5 計(jì)算行列式解 從第 4 行開(kāi)始，后行減前行得，p19 例10思考練習(xí)1.計(jì)算行列式2.證明答案第六節(jié) 行列式按行（列）展開(kāi)余子式與代數(shù)余子式在n階行列式 中，劃去元素aij所

14、在的第i行和第j列，余下的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作mij；而aij=(-1)i+jmij稱為元素aij的代數(shù)余子式.例 三階行列式 中元素 a23 的余子式為元素 a23 的代數(shù)余子式為四階行列式中元素 x 的代數(shù)余子式為=5定理3 n階行列式 等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即證 （1）元素aij位于第一行、第一列，而該行其余元素均為零,即 aij= a11， a1j=0 （j=2,3,n)；而a11=(-1)1+1m11=m11 ,故d= a11a11 ; （2）將d中第i行依次與前i-1行對(duì)調(diào)，調(diào)換i-1次后位于第一

15、行 d中第j列依次與前j-1列對(duì)調(diào)，調(diào)換j-1次后位于第一列經(jīng)（i-1）+（j-1）= i+j-2次對(duì)調(diào)后， aij 位于第一行、第一列，即(3) 一般地例1 p23, p24例2 計(jì)算n階行列式解：例 3 計(jì)算四階行列式解 按第 1 行展開(kāi)，有對(duì)等式右端的兩個(gè) 3 階行列式都按第 3 行展開(kāi)，得例4 計(jì)算四階行列式解 c3 - c1 c4 - 2c1按第 2 行展開(kāi)得第1 行提取 2，第 2 行提取 1 c2 - c1 ，c3 - c1按第 1 行展開(kāi) r2 + r1= 24推論 n階行列式 的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即證 考慮輔助行列式該行列式中

16、有兩列對(duì)應(yīng)元素相等.而d=0，所以=0例5 已知4階行列式解 (方法1) (方法2) 利用行列式的按列展開(kāi)定理，簡(jiǎn)化計(jì)算.它是d中第2列元素與第4列元素的代數(shù)余子式的乘積之和，故有例6 證明范得蒙行列式（vandermonde)證 用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)對(duì)n-1階范得蒙行列式結(jié)論成立，以下考慮n階情形. 例7 用范德蒙行列式計(jì)算4階行列式解 ：對(duì)照范德蒙行列式，此處a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5 所以有 第七節(jié)克萊姆（cramer）法則設(shè)n元線性方程組的一般形式為 （1）它的未知量的系數(shù)構(gòu)成的行列式 稱為方程組的系數(shù)行列式. cramer 法則：若線性方程組（1）的系數(shù)行列式不等于零，即則

17、方程組有唯一解其中這個(gè)定理的條件是系數(shù)行列式 ，結(jié)論實(shí)際上有三條：1方程組有解（存在性）； 2解是唯一的（唯一性）；3解由公式（2）給出.證 先證（2）是（1）的解，即要證明為此看 n+1 階行列式首先，因?yàn)榈?1 行與第 i+1 行相同,所以它的值為零. 再把它按第1行展開(kāi)，注意到，其第一行中 aij 的代數(shù)余子式為 故有即 因而 是線性方程組（1）解.其次，證明唯一性: 只需證明如果有一組是線性方程組(1)的解,那么它一定是由(2)給出的形式.設(shè)為(1)的任意一個(gè)解，于是以的第列元素的代數(shù)余子式依次乘以上式各等式的兩邊,然后相加,得根據(jù)行列式按一列展開(kāi)公式,得因此 .這就是說(shuō),如果為(1)的一個(gè)解,那么一定有即方程組的解是唯一的. 例1 用 cramer 法則解線性方程組解 因?yàn)椋?， 所以克萊姆法則的