高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4（經(jīng)典實(shí)用）

1、高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知， 曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰峰”、“谷谷”，函，函 數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn) 處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無論處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無論 在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義， 值得我們作一般性的討論。值得我們作一般性的討論。 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義

2、 ox y a b )(xfy 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 .)()( ,)()(, , ;)()( ,)()(, , ,),( ,),()( 0 00 0 0 00 0 0 的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù) 就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn) 對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn) 的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù) 就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn) 對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn) 內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)

3、內(nèi)的一個(gè)點(diǎn) 是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xfxf xfxfxx x xfxf xfxfxx x ba xbaxf 定義定義 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得 極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且且 在在 0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)( 0 xf. . 定理定理1 1( (必要條件必要條件) ) 定義定義 .)( )0)( 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù) 叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使

4、導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) xf xf 注意注意: . ,)( 是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻不不一一定定 點(diǎn)點(diǎn)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)必必定定是是它它的的駐駐可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)xf 例如例如, 3 xy , 0 0 x y .0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 注注 這個(gè)結(jié)論又稱為這個(gè)結(jié)論又稱為Fermat定理定理 如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn)如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn) 則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào)則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào) 不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn) 可疑極值點(diǎn)：可疑極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) 可

5、疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步 判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、 右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào)，則問題右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào)，則問題 即可得到解決。即可得到解決。 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 ( (1 1) )如如果果),( 00 xxx 有有; 0)( xf而而),( 00 xxx, , 有有0)( xf，則則)(xf在在 0 x處處取取得得極極大大值值. . ( (2 2) )如如果果),( 00 xxx 有有; 0)( xf而而),( 00 xxx 有有0)( xf

6、，則則)(xf在在 0 x處處取取得得極極小小值值. . ( (3 3) )如如果果當(dāng)當(dāng)),( 00 xxx 及及),( 00 xxx時(shí)時(shí), , )( xf 符符號(hào)號(hào)相相同同, ,則則)(xf在在 0 x處處無無極極值值. . 定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) ) x y ox y o 0 x 0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形) 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 x y ox y o 0 x 0 x 求極值的步驟求極值的步驟: : );()1(x f 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) ;0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 x f ;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)在駐點(diǎn)左右

7、的正負(fù)號(hào)檢查檢查x f .)4(求極值求極值 (不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形) 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 例例1 1 解解 .593)( 23 的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf 963)( 2 xxxf ，令令0)( x f. 3, 1 21 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論 x )1,( ), 3()3 , 1( 1 3 )(x f )(xf 00 極大值極大值 極小值極小值 )3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 593)( 23 xxxxf M m 圖形如下圖形如下 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 設(shè)設(shè))(x

8、f在在 0 x處處具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , 且且0)( 0 xf, , 0)( 0 xf, , 那那末末 ( (1 1) )當(dāng)當(dāng)0)( 0 xf時(shí)時(shí), , 函函數(shù)數(shù))(xf在在 0 x處處取取得得極極大大值值; ; ( (2 2) )當(dāng)當(dāng)0)( 0 xf時(shí)時(shí), , 函函數(shù)數(shù))(xf在在 0 x處處取取得得極極小小值值. . 定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) ) 證證)1( x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 , 0 異異號(hào)號(hào)，與與故故xxfxxf )()( 00 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()( 00 xfxxf 有有 , 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()( 0

9、0 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在 0 x處取得極大值處取得極大值 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 例例2 2 解解 .20243)( 23 的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf 2463)( 2 xxxf ，令令0)( x f. 2, 4 21 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn) )2)(4(3 xx , 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故極極大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故極極小小值值 .48 20243)( 23 xxxxf圖形如下圖形如下 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 M m 注意注意: : . 2 ,)(,0)( 00 仍仍用用定定理理 處處

10、不不一一定定取取極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 例例3 3 解解 .)2(1)( 3 2 的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxf )2()2( 3 2 )( 3 1 xxxf .)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x ; 0)( x f 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x . 0)( x f .)(1)2(的的極極大大值值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf 注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn). M 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 例例4)0(12,0 2 aeaxxx x 時(shí)時(shí)證證明明 證證 x e

11、axxxf 12)( 2 記記 x eaxxf 22)(則則 （不易判明符號(hào)）（不易判明符號(hào)） x exf 2)( 2ln0)( xxf得得令令 0)(,2ln xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)(,2ln xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)是是)(2lnxfx 而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，而且是一個(gè)最大值點(diǎn)， )2(ln)(fxf 222ln2 a0 )(,0 xfx時(shí)時(shí) 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 0)0()( fxf x eaxx 12 2 即即 例例5 設(shè)設(shè)f ( x )連續(xù)，且連續(xù)，且f ( a )是是f ( x )的極值，問的極值，問 f 2( a )是否是是否是 f 2( x )的極值的極值

12、 證證分兩種情況討論分兩種情況討論 0)(),()( afafxf且且設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí)，有有使使當(dāng)當(dāng)),(, 0 aax )()( 22 afxf 所以所以 f 2( a ) 是是 f 2( x ) 的極小值的極小值 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 設(shè)設(shè)f ( a ) 是是f ( x )的極小值，且的極小值，且 0)( af 時(shí)，有時(shí)，有使當(dāng)使當(dāng)),(, 0 111 aax )()(afxf 又又f ( x )在在 x = a 處連續(xù)，且處連續(xù)，且0)( af 時(shí)時(shí)，有有使使當(dāng)當(dāng)),(, 0 222 aax 0)( xf ,min 21 令令時(shí)，有時(shí)，有則當(dāng)則當(dāng)),( aax 0)()( xfaf )

13、()( 22 afxf f 2( a )是是 f 2( x )的極大值的極大值 同理可討論同理可討論f ( a ) 是是f ( x )的極大值的情況的極大值的情況 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 例例6 假定假定f(x)在在x=x0處具有直到處具有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 0)(, 0)()()( 0 )( 0 )1( 00 xfxfxfxf nn 但但 證明當(dāng)證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， f(x0)是是f(x)的極值的極值 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)， f(x0)不是不是f(x)的極值的極值 證證由由Taylor公式，得公式，得 n n xx n f xfxf)( ! )( )()

14、( 0 )( 0 )( 0之 之間間與與在在xx 處處連連續(xù)續(xù)在在又又 0 )( )(xxf n 0)()(lim 0 )()( 0 xfxf nn xx 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 因此存在因此存在x0的一個(gè)小鄰域，使在該鄰域內(nèi)的一個(gè)小鄰域，使在該鄰域內(nèi) 同號(hào)同號(hào)與與)()( 0 )()( xfxf nn 同號(hào)同號(hào)與與)()( 0 )()( xff nn 下面來考察兩種情形下面來考察兩種情形 n為奇數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)，當(dāng)x 漸增地經(jīng)過漸增地經(jīng)過x0時(shí)時(shí) n xx)( 0 變號(hào)變號(hào) ! )( )( n f n 不變號(hào)不變號(hào) )()( 0 xfxf 變號(hào)變號(hào) )( 0 xf不是極值不是極值 高等數(shù)學(xué)

15、函數(shù)的極值及其求法4 n為偶數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)，當(dāng)x 漸增地經(jīng)過漸增地經(jīng)過x0時(shí)時(shí) n xx)( 0 不變號(hào)不變號(hào) ! )( )( n f n 不變號(hào)不變號(hào) )()( 0 xfxf 不變號(hào)不變號(hào) )( 0 xf是極值是極值 且當(dāng)且當(dāng)0)( 0 )( xf n 時(shí)時(shí))( 0 xf是極小值是極小值 0)( 0 )( xf n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí))( 0 xf是極大值是極大值 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小 值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值. 駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). . 函數(shù)的極值必

16、在函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)取得取得. 判別法判別法 第一充分條件第一充分條件; 第二充分條件第二充分條件; (注意使用條件注意使用條件) 三、小結(jié)三、小結(jié) 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 思考題思考題 下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果 0 x為為)(xf的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)，那那么么必必存存在在 0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在 0 x的的左左側(cè)側(cè) 下下降降，而而在在 0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升. 高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4 思考題解答思考題解答 不正確不正確 例例 0, 2 0), 1 sin2(2 )( 2 x x x x xf 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)， )0()(fxf)