高中數(shù)學(xué)必修4平面向量知識點與典型例題總結(jié)(生)

1、高中數(shù)學(xué)必修4 平面向量知識點與典型例題總結(jié)( 生)1 數(shù)學(xué)必會基礎(chǔ)題型平面向量【基本概念與公式】【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】1. 向量既有大小又有方向的量。記作AB或a。2. 向量的模向量的大小或長度記作|AB或|a。3. 單位向量長度為 1 的向量。若 e 是單位向量則| | 1e。4. 零向量 長度為 0 的向量。記作 0。【0 方向是任意的 且與任意向量平行】5. 平行向量共線向量方向相同或相反的向量。6. 相等向量 長度和方向都相同的向量。7. 相反向量 長度相等 方向相反的向量。ABBA。8. 三角形法則AB BC AC1/24AB BC CD DE AEAB AC CB指向被減

2、數(shù)9. 平行四邊形法則以,a b 為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為a ba b。10. 共線定理 / /a b a b。當(dāng) 0時a b 與同向當(dāng) 0時a b 與反向。11. 基底 任意不共線的兩個向量稱為一組基底。12. 向量的模 若( , )a x y則 22| |a x y22| |a a2| | ( )a b a b13. 數(shù)量積與夾角公式| | | |cosa b a bcos|2/24a b a b14. 平行與垂直1 2 2 1/ /a b a b x y x y1 2 1 20 0a b a b x x y y題型 1. 基本概念判斷正誤1 共線向量就是在同一條直線上的向量。

3、2 若兩個向量不相等 則它們的終點不可能是同一點。3 與已知向量共線的單位向量是唯一的。4 四邊形 ABCD是平行四邊形的條件是 AB CD。5 若ABCD則 A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形。6 因為向量就是有向線段所以數(shù)軸是向量。3/247 若a 與 b 共線b 與 c 共線則 a 與 c 共線。8若 ma mb則 a b。29若 ma na則 m n。10 若a 與 b 不共線則 a 與 b 都不是零向量。11 若| | | |a b a b則/ /a b 。12若|a b a b則 a b。題型 2. 向量的加減運(yùn)算1. 設(shè)a 表示“向東走8km”, b表示“向北走 6km”, 則|

4、|a b4/24。2.化簡()()ABMBBOBCOM。3. 已知| | 5OA,| | 3OB, 則| |AB的最大值和最小值分別為、。4. 已知 AC AB AD為 與的和向量且,AC a BD b則 ABAD。5. 已知點 C在線段 AB上 且 35ACAB,則ACBCABBC 。題型 3. 向量的數(shù)乘運(yùn)算1.計算13( ) 2( )a b a b2 2(253)3(232)5/24a b c a b c2. 已知(1, 4), ( 3,8)a b則 132a b。題型 4. 作圖法球向量的和已知向量 ,a b如下圖請做出向量 132a b和 322a b。6/24ab題型 5. 根據(jù)圖

5、形由已知向量求未知向量1. 已知在 ABC中 D是 BC的中點 請用向量 ABAC 表示 AD。2. 在平行四邊形 ABCD中 已知,AC a BD b求 AB AD和。題型 6. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算1. 已知(4,5)AB(2,3)A則點 B的坐標(biāo)是。2. 已知( 3, 5)PQ(3,7)P則點 Q的坐標(biāo)是。3. 若物體受三個力 17/24(1,2)F,2( 2,3)F,3( 1, 4)F, 則合力的坐標(biāo)為。34. 已知 ( 3,4)a(5,2)b求 a ba b3 2a b。5. 已知 (1,2), (3,2) AB,向量( 2, 3 2)a x x y與 AB相等求,x y 的值。6. 已知

6、 (2,3)AB( , )BC m n( 1,4)CD則 DA。7. 已知 O是坐標(biāo)原點(2, 1), ( 4,8)A B且 3 0AB BC求 OC的坐標(biāo)。題型 7. 判斷兩個向量能否作為一組基底8/241.已知 12,e e 是平面內(nèi)的一組基底判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底A.1212e e e e和B.1 2 2 13 2 6e e e e和4 C.122133e e e e和D.2 2 1e e e和2. 已知 (3,4)a 能與 a 構(gòu)成基底的是A.3 4( , )55B.43( , )55C.34( , )5 5D.4(1,)9/243題型 8. 結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)1. 已

7、知 O是坐標(biāo)原點點 A 在第二象限|2OA150xOA求 OA的坐標(biāo)。2. 已知 O是原點點 A 在第一象限|43OA60xOA求 OA的坐標(biāo)。題型 9. 求數(shù)量積1. 已知| | 3,| | 4a b且 a 與 b 的夾角為 60求1a b210/24( )a a b31( )2a b b4(2 ) ( 3 )a b a b。2. 已知 (2, 6), ( 8,10)a b求1| |,| |a b2a b3(2 )a a b4(2 ) ( 3 )a b a b。11/24題型 10. 求向量的夾角1. 已知| | 8,| | 3a b12a b求 a 與 b 的夾角。2. 已知( 3,1),

8、 ( 2 3,2)a b求 a 與 b 的夾角。3. 已知 (1,0)A(0,1)B(2,5)C求 cosBAC 。4題型 11. 求向量的模1. 已知| | 3,| | 4a b且 a 與 b 的夾角為 60求1| |a b2|2 3 |a b。2. 已知 (2, 6), ( 8,10)a b求1| |,| |a b5| |12/24a b6 1| |2a b。3. 已知| | 1 | | 2a b|32|3a b求|3 |a b。題型 12. 求單位向量【與a 平行的單位向量| |a13/24ea】1. 與(12,5)a平行的單位向量是。2. 與 1(1,)2m 平行的單位向量是。題型 1

9、3. 向量的平行與垂直1. 已知(6,2)a( 3, )b m當(dāng) m為何值時1/ /a b2a b14/242. 已知 (1,2)a( 3,2)b1k 為何值時向量 ka b與 3a b垂直2k 為何值時向量 ka b與 3a b平行3. 已知a 是非零向量a b a c且 b c求證( )a b c。題型 14. 三點共線問題1. 已知 (0, 2)A(2,2)B(3,4)C求證, ,A B C三點共線。15/242. 設(shè) 2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b求證A B D、 、三點共線。5 3.已知 2 , 5 6 , 7 2AB a b BC a b CD a

10、 b則一定共線的三點是。4. 已知 (1, 3)A(8, 1)B若點(2 1, 2)C a a在直線 AB上求 a 的值。5. 已知四個點的坐標(biāo) (0,0)O(3,4)A( 1,2)B(1,1)C是否存在常數(shù) t使 OA tOB OC成立16/24題型 15. 判斷多邊形的形狀1. 若 3AB e5CD e且| | | |AD BC, 則四邊形的形狀是。2. 已知 (1,0)A(4,3)B(2,4)C(0,2)D證明四邊形 ABCD是梯形。3. 已知 ( 2,1)A(6, 3)B(0,5)C求證ABC 是直角三角形。4. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)( 1,8), ( 4,1), (1,3)17/24O

11、A OB OC, 求證ABC 是等腰直角三角形。題型 16. 平面向量的綜合應(yīng)用1. 已知 (1,0)a(2,1)b當(dāng)k 為何值時向量 ka b與 3a b平行2. 已知( 3, 5)a且 a b| | 2b求 b 的坐標(biāo)。3. 已知 a b與同向(1,2)b則 10a b求 a 的坐標(biāo)。3. 已知 (1,2)18/24a(3,1)b(5,4)c則 cab。4. 已知 (5,10)a( 3, 4)b(5,0)c 請將用向量,a b表示向量 c。5. 已知 ( ,3) a m(2, 1)b1若a 與 b 的夾角為鈍角求 m的范圍2 若a 與 b 的夾角為銳角求 m的范圍。19/246. 已知(6

12、,2)a( 3, )b m當(dāng) m為何值時1a 與 b 的夾角為鈍角2a 與 b 的夾角為銳角7. 已知梯形 ABCD的頂點坐標(biāo)分別為 ( 1,2)A(3,4)B(2,1)D且/ /AB DC2AB CD求點 C的坐標(biāo)。68. 已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為(2,1)A( 1,3)B(3,4)C求第四個頂點 D的坐標(biāo)。9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于對岸方向行駛航船實際航行方向與水流方向成30 角求水流速度與船的實際速度。10. 已知 ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為 (3,4)A(0,0)B( ,0)C c1 若 020/24AB AC求 c 的值2若 5c求 sinA 的值

13、?！緜溆谩?.已知|3,|4,|5a b a b求| |a b和向量 ,a b 的夾角。2. 已知 x a b2y a b且| | | | 1a ba b求,x y的夾角的余弦。1. 已知 (1,3), ( 2, 1)a b則(3 2 ) (2 5 )a b a b。21/244. 已知兩向量 (3,4), (2, 1)a b求當(dāng) a xb a b與垂直時的 x 的值。5. 已知兩向量 (1,3), (2, )a ba b 與的夾角為銳角求的范圍。變式若( ,2), ( 3,5)a ba b與的夾角為鈍角求的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法1. 特例法例 全品 P27 4。因為 M,N在 AB,AC上的任意位置都成立 所以取特殊情況 即 M,N與 B,C重合時可以得到 1m n2m n。2. 代入驗證法