用向量表示三角形的五心

1、用向量表示二角形的五心m，伴 n (通分總可以把異分母分l EC l如圖， ABC中，E是AC上一點，F(xiàn)是AB上一點，且 一FB 數(shù)化為同分母分?jǐn)?shù))連接BE、CF交于點D，確定點D的位置.解:設(shè) AB a, AC b. BD DE, CD DFADABAE1111 an(1)(l1ACAF1由定比分點的向量表達(dá)式，得ADAB111b n)(1a)(l m)-(AC)1l nm-(AB)1l mm:AC1(1)(1 m)11m1(1 )(1m)n1(1 )(1n) 1解得m n _代入得：ADm一 an一 bl m n l m n設(shè)o是平面上任意一點，則有AD OD OA, a上式可化為：0DO

2、Am一 OBl m n l m n由()式出發(fā)，可得三角形五心的向量表達(dá)式(1).若 BE、CF 是EE 1,COB OA, b OC 0AABC兩邊的中線，交點D是三角形的重心m AF .1l FBOD (OA OB OC)3ABCAB c(2)若 BE、CF 是沖n AE則_l EC BC a代入(*)式得： a ODOAa b c兩內(nèi)角的平分線，交點D是三角形的內(nèi)心. m AFl FBb OBa b cAC bBC ac OC.a b c若BE、CF是 ABC兩邊上的高，交點D是三角形的垂心.則-AE ccosAcosC同理-AFcosBEC acosCJaFBallcosAcosAab

3、cODcosAOAcosBOBcosCOCabcabcabccosAcosBcosCcosAcosBcosCcosAcosB cosC若BE、CF的交點D是ABC的外心，即三邊中垂線的交點，貝U有:DA=DB=DC.cb根據(jù)正弦定理有n AEEC同理ODsin EBA sin Asin CBE si nCAF sin 2BFB sin 2Asin 2A1sinC sin (2_1sin A sin (2ADB)BDC)sin2BsinC cosC sin A cosAsin2Csin2AOAsin 2A sin 2B sin2Csin2A sin2B sin 2C(5)若BE、CF是 ABC外

4、角平分線，D是三角形的旁心.bsin 2COC sin 2A sin2B sin 2C則：n AEl ECODABBCaOAb c am AF l FB b b cOB aACBCcb c同理若D是頂點B所對的旁心則有：a b OD OA OBa c b a c b若D是頂點C所對的旁心，則有:OD 一a OA 一b OBa b c a b cOC. a c b一c OC F a b c若將點O與上述五心重合，則有以下簡單結(jié)論：OBaCBDEOC a(1)重心 O: OA OB OC 0內(nèi)心O: aOAbOBcOC0a*b c垂心O:-OAOBOC0cos Acos BcosC -外心O: sin2A OAsin2BOB si n2COC 0A對