培優(yōu)專題2-運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解(含答案)(20210320004430)

1、培優(yōu)專題2-運(yùn)用公式法進(jìn)行因 式分解（含答案）2、運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解-14 -【知識(shí)精讀】把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的 公式。主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和322b (a b) (a ab b )補(bǔ)充：歐拉公式：a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2a2a2立b2(a b)(a b)2ab b2方差(a b)2公式b2c2 abbe ca)2(ab c)(a b)2 (bc)2(c a)2特別地：(1)(2)當(dāng)c0時(shí)，有a3 b當(dāng)a b歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公0時(shí)，c3 3abc式。運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè) 公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式。但有時(shí)

2、需 要經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方 程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正確 掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今 后的學(xué)習(xí)很有幫助。下面我們就來學(xué)習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解【分類解析】1.把a(bǔ)2 2a b2 2b分解因式的結(jié)果是()A. (a b)(a 2)(b 2)C. (a b)(a b) 2B. (a b)(a b 2)D. (a2 2b)(b2 2a)分析：a2 2a b2 2b a2 2a 1 b2 2b 1 (a 1)2 (b 1)2。 再利用平方差公式進(jìn)行分解，最后得到(a b)(a b 2)，故選擇 B。說明：解這類題目時(shí)，一

3、般先觀察現(xiàn)有項(xiàng)的特 征，通過添加項(xiàng)湊成符合公式的形式。 同時(shí)要注 意分解一定要徹底。2. 在簡(jiǎn)便計(jì)算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項(xiàng)式的整除等方面的應(yīng)用例：已知多項(xiàng)式2x3 x2 m有一個(gè)因式是2x 1， 求m的值。分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運(yùn) 算，可假設(shè)另一個(gè)因式，再用待定系數(shù)法即可求 出m的值。解：根據(jù)已知條件，設(shè)2x3 x2 m (2x 1)( x2 ax b) 貝卩 2x3 x2 m 2x3(2a 1)x2 (a 2b)x b2a 11（1）由此可得a 2b 0m b（3）由（1 ）得a 1把a(bǔ) 1代入（2）,得b 1把b 2代入（3）,得m ?3. 在幾何題中的應(yīng)用。例：已知

4、a、b、c是ABC的三條邊，且滿足 a2 b2 c2 ab bc ac 0，試判斷ABC的形狀。分析：因?yàn)轭}中有a2、b2、ab，考慮到要用完 全平方公式，首先要把a(bǔ)b轉(zhuǎn)成2ab。所以兩邊同 乘以2,然后拆開搭配得完全平方公式之和為 0，從而得解。角軍：a2 b2 c2 ab bc ac 02a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 02 2 2 2 2 2(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a )02 2 2(a b)2 (b c)2 (c a)202 2 2(a b)0，(b c) 0，(c a) 0a b 0， b c 0， c a 0a b cABC為等邊三角

5、形4. 在代數(shù)證明題中應(yīng)用例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。分析：先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來，然后進(jìn)行變形和討論。解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為2n 1, 2n 3( n為 整數(shù))則(2n 3)2 (2n 1)2(2n3 2n 1)(2 n 3 2n 1)2(4 n 4)8(n1)由此可見，(2n 3)2 (2n 1)2 定是8的倍數(shù)。5、中考點(diǎn)撥：例1 ：因式分解：x3 4xy2 。解:x3 4xy2 x(x2 4y2) x(x 2y)(x2y)說明：因式分解時(shí)，先看有沒有公因式。此 題應(yīng)先提取公因式，再用平方差公式分解徹底。解:例 2：分解因式：2x3y 8x2y2 8xy3 (322

6、32222x y 8x y 8xy 2xy(x 4xy 4y ) 2xy(x 2y)說明：先提取公因式，再用完全平方公式分 解徹底。題型展示：例 1.已知：a 2m 1，b fm2，c 2m 3， 5求 a2 2ab b2 2ac c2 2bc 的值。解 : a2 2ab b2 2ac c2 2bc(a b)2 2c(a b) c2(a b c)2111a m 1, b m 2, c -m 3222原式 (a b c)2說明:1112(；m 1) Hm 2) Hm 3)2221 2 m4本題屬于條件求值問題，解題時(shí)沒有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式因式 分解，變形后再把條件帶入，從而簡(jiǎn)

7、化計(jì)算過程。例 2.已知 a b c 0, a3 b3 c3 0 ,證明:求證：a5 b5 c5 0a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)把a(bǔ) b c 0, a3 b3 c3 0代入上式,可得abc 0，即a 0或b 0或c 0 若a 0，則b c ,a5 b5 c50若b 0或c 0，同理也有a5 b5 c5 0 說明：利用補(bǔ)充公式確定a, b，c的值，命題 得證。y2的值例 3.若 x3 y3 27, x2 xy y2 9，求 x2解:33/、/22、x y (x y)(x xy y )27且 x2 xy y292 2x y 3，x 2xy y 9

8、 又 x2xy y29兩式相減得xy 0所以x2 y29說明：按常規(guī)需求出x，y的值，此路行不通 用因式分解變形已知條件，簡(jiǎn)化計(jì)算過程?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1. 分解因式:(1) (a 2)2 (3a 1)252x5(x 2y) x2(2y x)2234(3)a (x y) 2a(x y) (x y)2. 已知：x 1 3，求x4丄的值xx求證：3. 若a，b, c是二角形的二條邊，2 2 2a b c 2bc 04.已知：2 i 0，求2001的值。實(shí)數(shù)，且1丄）Q ）的c a a b5.已知a, b, c是不全相等的 abc 0, a3 b3 c3 3abc , 試求(1) a b c 的值；(2

9、) ag I；) b( 值?！驹囶}答案】1.( 1)解：原式(a 2) (3a 1)( a 2) (3a 1)(4a 1)( 2a 3)(4a 1)(2a 3)說明:把a(bǔ) 2，3a 1看成整體,利用平方差公式分解。（2）解:原式 x5(x 2y) x2(x2y)23x (x 2y)(x1)2 2x (x 2y)(x1)(x x 1)（3）解:原式 (x y)2a2 2a(xy) (x y)2(x y)2(a x y)22.解：(x丄)2 x2 21xx22 11 22x2 （x -）22（ 3）227xx（x2 秒）2 49, X4 2 2 49X4 47xxx證明:3.分析與解答：由于對(duì)三角

10、形而言，需滿足 兩邊之差小于第三邊，因此要證明結(jié)論就需要把 問題轉(zhuǎn)化為兩邊差小于第三邊求得證明。a2 b2 c2 2bca2 (b2 2bc c2)a2 (b c)2 (a b c)(a b c)c是三角形三邊a b c 0 a b c(a b c)(a b c) 0即 a2 b2 c2 2bc 04. 解 2 i o(1) ( 21) 0，即 3 1 03,2001/3、667/1 ( ) 15. 分析與解答：(1)由因式分解可知a3 b3 c3 3abc (a b c) (a2 b2 c2 ab bc ca)故需考慮a2 b2 c2 ab bc ca值的情況，(2)所求代數(shù)式較復(fù)雜，考慮恒等變形解：(1) a3 b3 c3 3abca3 b3 c3 3abc 0又 a3 b3 c3 3abc(a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)(a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) 0而 a2 b2 c2 ab bc ca 1(a b)2 (