培優(yōu)專題2-運用公式法進行因式分解(含答案)(20210320004430)

1、培優(yōu)專題2-運用公式法進行因 式分解（含答案）2、運用公式法進行因式分解-14 -【知識精讀】把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的 公式。主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和322b (a b) (a ab b )補充：歐拉公式：a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2a2a2立b2(a b)(a b)2ab b2方差(a b)2公式b2c2 abbe ca)2(ab c)(a b)2 (bc)2(c a)2特別地：(1)(2)當c0時，有a3 b當a b歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公0時，c3 3abc式。運用公式法分解因式的關鍵是要弄清各個 公式的形式和特點，熟練地掌握公式。但有時

2、需 要經過適當?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方 程、幾何綜合題中也有廣泛的應用。因此，正確 掌握公式法因式分解，熟練靈活地運用它，對今 后的學習很有幫助。下面我們就來學習用公式法進行因式分解【分類解析】1.把a2 2a b2 2b分解因式的結果是()A. (a b)(a 2)(b 2)C. (a b)(a b) 2B. (a b)(a b 2)D. (a2 2b)(b2 2a)分析：a2 2a b2 2b a2 2a 1 b2 2b 1 (a 1)2 (b 1)2。 再利用平方差公式進行分解，最后得到(a b)(a b 2)，故選擇 B。說明：解這類題目時，一

3、般先觀察現(xiàn)有項的特 征，通過添加項湊成符合公式的形式。 同時要注 意分解一定要徹底。2. 在簡便計算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項式的整除等方面的應用例：已知多項式2x3 x2 m有一個因式是2x 1， 求m的值。分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運 算，可假設另一個因式，再用待定系數(shù)法即可求 出m的值。解：根據(jù)已知條件，設2x3 x2 m (2x 1)( x2 ax b) 貝卩 2x3 x2 m 2x3(2a 1)x2 (a 2b)x b2a 11（1）由此可得a 2b 0m b（3）由（1 ）得a 1把a 1代入（2）,得b 1把b 2代入（3）,得m ?3. 在幾何題中的應用。例：已知

4、a、b、c是ABC的三條邊，且滿足 a2 b2 c2 ab bc ac 0，試判斷ABC的形狀。分析：因為題中有a2、b2、ab，考慮到要用完 全平方公式，首先要把ab轉成2ab。所以兩邊同 乘以2,然后拆開搭配得完全平方公式之和為 0，從而得解。角軍：a2 b2 c2 ab bc ac 02a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 02 2 2 2 2 2(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a )02 2 2(a b)2 (b c)2 (c a)202 2 2(a b)0，(b c) 0，(c a) 0a b 0， b c 0， c a 0a b cABC為等邊三角

5、形4. 在代數(shù)證明題中應用例：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。分析：先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來，然后進行變形和討論。解：設這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為2n 1, 2n 3( n為 整數(shù))則(2n 3)2 (2n 1)2(2n3 2n 1)(2 n 3 2n 1)2(4 n 4)8(n1)由此可見，(2n 3)2 (2n 1)2 定是8的倍數(shù)。5、中考點撥：例1 ：因式分解：x3 4xy2 。解:x3 4xy2 x(x2 4y2) x(x 2y)(x2y)說明：因式分解時，先看有沒有公因式。此 題應先提取公因式，再用平方差公式分解徹底。解:例 2：分解因式：2x3y 8x2y2 8xy3 (322

6、32222x y 8x y 8xy 2xy(x 4xy 4y ) 2xy(x 2y)說明：先提取公因式，再用完全平方公式分 解徹底。題型展示：例 1.已知：a 2m 1，b fm2，c 2m 3， 5求 a2 2ab b2 2ac c2 2bc 的值。解 : a2 2ab b2 2ac c2 2bc(a b)2 2c(a b) c2(a b c)2111a m 1, b m 2, c -m 3222原式 (a b c)2說明:1112(；m 1) Hm 2) Hm 3)2221 2 m4本題屬于條件求值問題，解題時沒有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式因式 分解，變形后再把條件帶入，從而簡

7、化計算過程。例 2.已知 a b c 0, a3 b3 c3 0 ,證明:求證：a5 b5 c5 0a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)把a b c 0, a3 b3 c3 0代入上式,可得abc 0，即a 0或b 0或c 0 若a 0，則b c ,a5 b5 c50若b 0或c 0，同理也有a5 b5 c5 0 說明：利用補充公式確定a, b，c的值，命題 得證。y2的值例 3.若 x3 y3 27, x2 xy y2 9，求 x2解:33/、/22、x y (x y)(x xy y )27且 x2 xy y292 2x y 3，x 2xy y 9

8、 又 x2xy y29兩式相減得xy 0所以x2 y29說明：按常規(guī)需求出x，y的值，此路行不通 用因式分解變形已知條件，簡化計算過程?！緦崙?zhàn)模擬】1. 分解因式:(1) (a 2)2 (3a 1)252x5(x 2y) x2(2y x)2234(3)a (x y) 2a(x y) (x y)2. 已知：x 1 3，求x4丄的值xx求證：3. 若a，b, c是二角形的二條邊，2 2 2a b c 2bc 04.已知：2 i 0，求2001的值。實數(shù)，且1丄）Q ）的c a a b5.已知a, b, c是不全相等的 abc 0, a3 b3 c3 3abc , 試求(1) a b c 的值；(2

9、) ag I；) b( 值。【試題答案】1.( 1)解：原式(a 2) (3a 1)( a 2) (3a 1)(4a 1)( 2a 3)(4a 1)(2a 3)說明:把a 2，3a 1看成整體,利用平方差公式分解。（2）解:原式 x5(x 2y) x2(x2y)23x (x 2y)(x1)2 2x (x 2y)(x1)(x x 1)（3）解:原式 (x y)2a2 2a(xy) (x y)2(x y)2(a x y)22.解：(x丄)2 x2 21xx22 11 22x2 （x -）22（ 3）227xx（x2 秒）2 49, X4 2 2 49X4 47xxx證明:3.分析與解答：由于對三角

10、形而言，需滿足 兩邊之差小于第三邊，因此要證明結論就需要把 問題轉化為兩邊差小于第三邊求得證明。a2 b2 c2 2bca2 (b2 2bc c2)a2 (b c)2 (a b c)(a b c)c是三角形三邊a b c 0 a b c(a b c)(a b c) 0即 a2 b2 c2 2bc 04. 解 2 i o(1) ( 21) 0，即 3 1 03,2001/3、667/1 ( ) 15. 分析與解答：(1)由因式分解可知a3 b3 c3 3abc (a b c) (a2 b2 c2 ab bc ca)故需考慮a2 b2 c2 ab bc ca值的情況，(2)所求代數(shù)式較復雜，考慮恒等變形解：(1) a3 b3 c3 3abca3 b3 c3 3abc 0又 a3 b3 c3 3abc(a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)(a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) 0而 a2 b2 c2 ab bc ca 1(a b)2 (