高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解課件 新人教A版必修1

1、3 3.1 1.2 2用二分法求方程的近似解 1.了解二分法是求方程近似解的一種方法,能夠借助于計算器用 二分法求方程的近似解. 2.理解二分法的步驟與思想. 123 1.二分法的概念 對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x),通過不斷 地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步 逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法. 名師點撥名師點撥二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間(a,b)一分為二,逐步 地逼近零點的方法,即找到零點附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的 精確度,用此區(qū)間內(nèi)的某個數(shù)值近似地表示真正的零點. 123 2.用二分法求函數(shù)f(x)的零點近

2、似值的步驟 (1)確定區(qū)間a,b,驗證f(a)f(b)0,給定精確度. (2)求區(qū)間(a,b)的中點c. (3)計算f(c); 若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點; 若f(a)f(c)0,則令b=c(此時零點x0(a,c); 若f(c)f(b)0,則令a=c(此時零點x0(c,b). (4)判斷是否達(dá)到精確度: 即若|a-b|,則得到零點的近似值為a(或b);否則重復(fù)(2)(4). 123 【做一做1】 下列說法正確的是() A.二分法所求出的方程的解都是近似解 B.函數(shù)f(x)=|x|可以用二分法求零點 C.用二分法求函數(shù)零點的近似值時,每次等分區(qū)間后,零點必定在 右側(cè)區(qū)間內(nèi) D.若f(a)

3、f(b)0,且|a-b|(為精確度),則區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意數(shù)都可 作函數(shù)零點的近似值 答案:D 123 3.二分法的應(yīng)用 由函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系,可以用二分法來求方程的近 似解. 【做一做2】 下面關(guān)于二分法的敘述,正確的是() A.用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值 B.用二分法求方程的近似解時,可以精確到小數(shù)點后的任一位 C.二分法無規(guī)律可循,無法在計算機上完成 D.只有在求函數(shù)零點時才用二分法 答案:B 123 【做一做3】 已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,在用二分 法求方程f(x)=0在(1,2)內(nèi)近似解的過程中得 f(1)0,f(1.25)0,則方程的解所在的區(qū)間為

4、() A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2)D.不能確定 解析:由于f(1.25)f(1.5)0,則方程的解所在的區(qū)間為(1.25,1.5). 答案:A 用二分法求方程的近似解需注意的問題 剖析:(1)看清題目要求的精確度,它決定著二分法步驟的結(jié)束. (2)初始區(qū)間的選定要盡可能小,不同的初始區(qū)間結(jié)果是相同的, 但等分區(qū)間的次數(shù)卻相差較大. (3)在二分法的第四步,由|a-b|,便可判斷零點的近似值為a或b, 即只需進行有限次運算即可. (4)用二分法求出的零點一般是零點的近似值,并不是所有函數(shù)都 可以用二分法求零點的近似值;也就是說,并不是所有的方程都可 以用二分

5、法求近似解. 題型一題型二題型三 【例1】 下列函數(shù)圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求圖 中函數(shù)零點的是() 解析:利用二分法求函數(shù)零點必須滿足零點兩側(cè)的函數(shù)值異號. 在選項B中,不滿足f(a)f(b)0,不能用二分法求零點;由于選項 A,C,D中零點兩側(cè)的函數(shù)值異號,故可采用二分法求零點. 答案:B 題型一題型二題型三 題型一題型二題型三 【例2】 求方程lg x=2-x的近似解.(精確度0.1) 分析:在同一坐標(biāo)系中,畫出y=lg x和y=2-x的圖象,確定方程的解 所在的大致區(qū)間,再用二分法求解. 題型一題型二題型三 解:在同一坐標(biāo)系中,作出y=lg x,y=2-x的圖象如圖所示,可

6、以發(fā)現(xiàn) 方程lg x=2-x有唯一解,記為x0,并且解在區(qū)間(1,2)內(nèi). 設(shè)f(x)=lg x+x-2, 則f(x)的零點為x0. 用計算器計算得f(1)0 x0(1,2); f(1.5)0 x0(1.5,2); f(1.75)0 x0(1.75,2); f(1.75)0 x0(1.75,1.875); f(1.75)0 x0(1.75,1.812 5). |1.812 5-1.75|=0.062 50.1, 方程的近似解可取為1.812 5. 題型一題型二題型三 反思反思利用二分法求方程的近似解的步驟:(1)構(gòu)造函數(shù),利用圖象 確定方程的解所在的大致區(qū)間,通常取區(qū)間(n,n+1),nZ;(

7、2)利用二 分法求出滿足精確度的方程的解所在的區(qū)間M;(3)區(qū)間M內(nèi)的任一 實數(shù)均是方程的近似解,通常取區(qū)間M的一個端點. 題型一題型二題型三 【變式訓(xùn)練2】 根據(jù)下表,用二分法求函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間 (1,2)內(nèi)的零點的近似值(精確度0.1)是. 解析:首先根據(jù)零點在(1,2)區(qū)間內(nèi),再判斷零點在(1.5,2)上,最終判 斷零點在(1.5,1.562 5)內(nèi). 答案:1.5或1.562 5 題型一題型二題型三 【例3】 某市A地到B地的電話線路發(fā)生故障,這是一條10 km長 的線路,每隔50 m有一根電線桿,如何迅速查出故障所在? 分析:對每一段線路一一檢查很麻煩,當(dāng)然也是不必要的,可以利 用二分法的思想設(shè)計方案. 題型一題型二題型三 解:如圖,可首先從中點C開始查起,用隨身攜帶的工具檢查,若發(fā) 現(xiàn)AC段正常,則斷定故障在BC段; 再到BC段的中點D檢查,若CD段正常,則故障在BD段; 再到BD段的中點E檢查,如此,每檢查一次就可以將待查的線路長 度縮短一半,經(jīng)過7次查找,即可將故障范圍縮小到50100 m之間,即 可迅速找到故障所在. 反思反思本題實際上是二分法思想在實際問題中的應(yīng)用,通過取區(qū)間 (線路)的中點,依次使區(qū)間(線路)的長度減半,就逐步逼近了函數(shù)的 零點(線路故障處),從而使問題得到解決. 題型一題型二題型