《勾股定理》典型練習題

1、勾股定理典型例題分析一、知識要點：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形 的兩直角邊為a、b,斜邊為c，那么a2 + b2= c2。公式的變形：a2 = c2- b 2， b 2= c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a，b，c,且滿足a2 + b2= c2,那么三角形ABC是直角三 角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時，同學們要注意處理好如下幾個要點： 已知的條件：某三角形的三條邊的長度. 滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方. 得到的結(jié)論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角

2、 如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2 + b2= c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分數(shù) - 或小數(shù)。一組勾股數(shù)擴大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：（3, 4, 5 ）（5，12，13 ） （ 6, 8，10 ） （ 7, 24, 25 ） （ 8, 15, 17 ）（9， 12， 15 ）4、最短距離問題：主要5、運用的依據(jù)是兩點之間線段最短。、考點剖析.c考點一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓.2. 如圖，以Rt ABC的三邊為直徑分別向外作三

3、個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系.3、如圖所示，分別以直角二角形的二邊向外作二個正二角形，其面積分別是Si、S2、S，則它們之間的關(guān)系是（）A. Si- S2= S3B. Si+ S2= S3C. S2+Ss1）,那么它的斜邊長是（）A、2nB、n+1C、n2 1D n2 17、在Rt ABC中, a,b,c為三邊長，則下列關(guān)系中正確的是（）A. a2b2c2B.a2c2b2C. c2b2a2D.以上都有可能8、已知 Rt ABC中, Z C=90 , 若 a+b=14cm c=10cm 貝u RtABC的面積是（）2 2 2 2A、24 cmB、36 cm C 48cmD 60cm考點

4、四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，172、若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（）A、2 : 3 : 4B、3 : 4 : 6 C、5： 12： 13 D 、4 : 6 : 73、下面的三角形中： 厶ABC中，/ C=ZA-Z B; 厶 ABC中, Z A:Z B:Z C=1: 2: 3; 厶 ABC中, a： b: c=3: 4: 5; 厶ABC中，三邊長分別為8，15，17.其中是直角三角形的個數(shù)有（）.A.

5、 1個 B . 2個 C . 3個 D . 4個4、 若三角形的三邊之比為-i： ：1，則這個三角形一定是（）2血A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形2 2 2 2 25、 已知a，b，cABCE邊，且滿足（a b）（a +b -c） = 0，則它的形狀為（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形&將直角三角形的三條邊長同時擴一倍數(shù)，得到的三角形是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形7、若厶ABC的三邊長a,b,c滿足a2 b2 c2 200 12a 16b 20c，試判斷 ABC的形狀。& ABC的兩邊分

6、別為5,12，另一邊為奇數(shù),且a+b+c是3的倍數(shù)，貝U c應(yīng)為此三角形為例3:求(1) 若三角形三條邊的長分別是7,24,25，則這個三角形的最大角是 度。(2) 已知三角形三邊的比為1 :3 : 2，則其最小角為。考點五：應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題 某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中5 = 4米，二，一工，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為.c考點六、利用列方程求線段的長(方程思想)1、小強想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎?2、一架長2.5 m的梯子，斜立在一豎起的墻上

7、，梯子底端距離墻底0.7 m (如圖)，如果梯c AO子的頂端沿墻下滑0.4 m，那么梯子底端將向左滑動米3、如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距離 或“小于”)4、在一棵樹10 m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m處的池塘A處；？另外 一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試 問這棵樹有多高?5、如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標出尺寸(單位： mm計算兩圓孔中心A和B的距離為6、如圖：有兩棵樹，一棵高 8米，另一棵高2米，兩樹相距

8、8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了 米.第6題圖XZX7、如圖18-15所示，某人到一個荒島上去探寶，在 A處登陸后，往東走8km又往北走2km 遇到障礙后又往西走3km再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km?就找到了寶藏，問：登 陸點（A處）到寶藏埋藏點（B處）的直線距離是多少？53*28圖 18-15考點七：折疊問題（較難的一類）1、如圖，有一直角三角形紙片，兩直角邊 折痕為DE則CE等于（2522A.-5B.一C.43)7 D.4AC=6 BC=8將厶ABC折疊，使點B與點A重合,532、如圖所示，已知 ABC中,/ C=90，AB的垂直平分線交 BC?于M 交A

9、B于N,若AC=4MB=2M，求AB的長.3、折疊矩形 ABCD勺一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8CM,BC=10C求 CF和EGFEC4、如圖，在長方形 ABCD中, DC=5在DC邊上存在一點E,沿直線AE把厶ABC折疊，使點D 恰好在BC邊上，設(shè)此點為卩，若厶ABF的面積為30，求折疊的 AED勺面積DE.cIIIC5、如圖，矩形紙片ABCD勺長AD=9cm，寬AB=3cm，將其折疊，使點D與點B重合，那么折 疊后DE的長是多少？6、如圖，在長方形 ABC沖，將 ABC沿AC對折至位置，CE與 AD交于點F(1)試說明：AF=FC (2)如果AB=3 BC=4求AF的長7

10、、如圖2所示，將長方形ABC沿直線AE折疊，頂點D正好落在BC邊上F點處，已知CE=3cm AB=8cm則圖中陰影部分面積為 .8如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C的位置上，已知AB=?3 , BC=7重合部分厶EBD的面積為.9、（難）如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于 E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點 G 如果M為CD邊的中點，求證：DE DM EM=3 4: 510、如圖2-5，長方形ABCD中, AB=3 BC=4若將該矩形折疊，使C點與A點重合，？貝朋疊后痕跡EF的長為（）A. 3.74 B . 3.75 C .

11、 3.76 D . 3.7711、（稍難）如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板 ABCD長為10cm寬為4cm,將你手中足夠 大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當移動三角板 頂點P:能否使你的三角板兩直角邊分別通過點 B與點C?若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由再次移動三角板位置，使三角板頂點 P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cr？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由（提示：根據(jù)勾股定理，列出一元二次方程，超初二圍）AC邊上的點，且（提示：連接12、（難）

12、如圖所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜邊BC的中點，E、F分別是ABDE DF,若BE=12 CF=5求線段EF的長。AD 證厶 AEDA CFD,可得 AE=CF=5 AF=BE=12 即可求）13、（好）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN= 30，點A處有一所中學，AP =160m假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h,那么學校受影響的時間為多少秒?考點八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題1如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角

13、形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5,則正方形A, B, C, D的面積的和為2、（好，稍難）已知 ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt ABC的斜邊AC為直角邊， 畫第二個等腰 Rt ACD再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 Rt ADE，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是G考點九、圖形問題1、如圖1,求該四邊形的面積則邊BC的長為+1 ,2、已知，在 ABC中, / A =3、（好，稍難）某公司的大門如圖所示,其中四邊形ABCD是長方形,上部是以AD為直徑的半圓,其中AB =2.3 m,BC =2m ,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5 m ,寬為1.6 m

14、，問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由4、將一根長24 cm的筷子置于地面直徑為5 cm ,咼為12 cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子 外面的長為h cm,則h的取值圍。5、如圖，鐵路上 A B兩點相距25km C、D為兩村莊，DA?垂直AB于A, CB垂直AB于B, 已知AD=15km BC=10km現(xiàn)在要在鐵路 AB上建一個土特產(chǎn)品收購站 E,使得C、D兩村到E 站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處？題H圖）考點十：其他圖形與直角三角形如圖是一塊地，已知 AD=8m CD=6rpZ D=90 , AB=26m BC=24m求這塊地的面積。H考點十一：與展開圖有關(guān)的計算1如圖，

15、在棱長為1的正方體ABCA B C D的表面上，求從頂點A到頂點C的最短 距離.2、如圖一個圓柱，底圓周長 6cm高4cm 一只螞蟻沿外壁爬行，要從 A點爬到B點，則最 少要爬行cm3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造, 某地有四個村莊A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架 設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案 最省電線.22. 3 +1考點十二、航海問題1 一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時后

16、，它們相距 里.2、（不難，考一元二次方程，超初二圍） 如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資 從A處運往正向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60的方向上。該貨船航行30分鐘 到達B處，此時又測得該島在北偏東 30的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域有暗礁， 若繼續(xù)向正向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。3、如圖，某沿海開放城市 A接到臺風警報，在該市正南方向 260km的B處有一臺風中心， 沿BC方向以15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=100km那么臺風中心經(jīng) 過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域都將有受到臺風的破壞的 危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時撤離才可脫離危險？考點十三、網(wǎng)格問題1、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為 1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 3 2、