第一講單元函數(shù)微積分

1、 第一講 極限與連續(xù) 一元函數(shù)微積分 專題1. 極限的求法的求法 (1)用初等數(shù)學(xué)(例如三角、對數(shù)、指數(shù) , 分子與分母同乘以某式 , 提公因式等)中的恒等變形,使能約分的約分, 能化簡的化簡. (2)用極限的四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù)求極限, 連續(xù)函數(shù)求極限(代入法) *(4) 用等價(jià)無窮小代換 (3)有極限存在且不為0的因式, 可以先算出其極限提出來 ,再求剩 下極限. *(5) 利用兩個(gè)重要極限求極限 . *(6)用洛必達(dá)法則求未定式的極限 . (7)用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或積分中值公式 *(9). 用定積分的定義 (11). 用收斂級數(shù)的必要條件 *(8). 用夾逼定理 *(10).

2、 用單調(diào)有界證明(單調(diào)遞增有上界或者單調(diào)遞減有下界 ) 設(shè) 收斂, 則 (12). 柯西收斂準(zhǔn)則 (13). 施篤茲(Stolz)定理 專題專題2: 求極限問題的反問題 專題4: 函數(shù)的連續(xù)性,間斷點(diǎn) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 閉區(qū)間上的有界 性、最值、零點(diǎn)、介值定理、根的存在性 專題3: 無窮小無窮小(大大)及其階及其階 專題專題5: 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 專題6: 各種導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 參量函數(shù)求導(dǎo)(一階、二階) 隱函數(shù)求導(dǎo) 分段函數(shù)求導(dǎo) 萊布尼茲公式 專題7、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài) 單調(diào)性、極值、最值、凹凸、拐點(diǎn)、漸近線和曲率 專題8、積分的計(jì)算 1.換元法與分部積分法 2. 常用

3、技巧: (1). 通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q或分部積分 , 得到一個(gè)與原積分相同的積 分, 建立一個(gè)等式 , 從中得出原來要計(jì)算的積分 . (2). 將積分區(qū)間拆成兩個(gè) , 再經(jīng)適當(dāng)?shù)淖儞Q將兩個(gè)區(qū)間上的積分合 并以化簡. (3). 化成二重積分再交換積分次序 . 專題9、反常積分 專題10、定積分的應(yīng)用 專題11: 不等式問題 1. 微分學(xué)解決不等式問題常用方法 (1). 用單調(diào)性 (2). 用最值 (3). 用拉格朗日中值定理或柯西公式 (4). 用拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式 (1) 利用定積分的保序性； (2) 利用定積分中值定理和被積函數(shù)的單調(diào)性； (3) 利用變上限定積分的單調(diào)性； (4) 利用Ca

4、uchy不等式 ? 2 22 ( ) ( )d( )d( )d. bbb aaa f x g xxfxxgxx ? ? ? ? ? (5) 利用無窮級數(shù)做估值 (6) 化成二重積分來處理 2、 定積分和反常積分中不等式問題所用的方法 專題12 函數(shù)零點(diǎn)問題,方程根的存在性 (1) 若題目中涉及連續(xù)函數(shù) , 一般用連續(xù)函數(shù)介值定理 (或連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理 ); 若題目中涉及導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn) , 則一般利用羅 爾定理或羅爾定理與連續(xù)函數(shù)介值定理 (零點(diǎn)定理)的綜合應(yīng)用; 如 果討論至多幾個(gè)點(diǎn) , 要利用單調(diào)性 . (2) 含積分的零點(diǎn)問題 方法1: 將一個(gè)定積分看做一個(gè)變限函數(shù) ,關(guān)于該積分的零點(diǎn)問題 ,

5、 可用微分學(xué)中的方法處理 . 方法2: 用積分中值定理以及積分的其它性質(zhì) . 方法3: 以某定積分為零作為條件 ,討論與此有關(guān)的函數(shù)的零點(diǎn)問題 . 判定極限存在的準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 . 準(zhǔn)則I 夾逼準(zhǔn)則 定理: 若在 內(nèi)（或當(dāng) 時(shí)）有不等式 成立，且 則 00 (;)U x? 0 xN? ( )( )( )f xh xg x? 00 ()() lim( )lim( ), xxxx xx f xg xA ? ? ? 0 () lim( ). xx x h xA ? ? ? 定理；如果數(shù)列 , nn u v 及n w 滿足下列條件: (1)(,) (2) lim,lim, nnn n

6、n nn uwvNNnN uava ? ? ? ? 那末數(shù)列n w 的極限存在, 且 lim n n wa ? ? . (1) 1 sin lim 0 ? ? x x x (2) e x x x ? ? ) 1 1(lim ex x x ? ? 1 0 )1(lim 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 );( , 0lim)1( ? ? ? ? o記作 高階的無窮小是比就說如果 定義定義: . 0,?且窮小是同一過程中的兩個(gè)無設(shè) ;),0(lim)2(是同階的無窮小與就說如果? ? ? CC ; ;, 1lim ? ? ? ? 記作 是等價(jià)的無窮小與則稱如果特殊地 無窮小的比較無窮小的比較 定理(等價(jià)無

7、窮小替換定理 ) .limlim,lim, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則存在且設(shè) . ),0, 0(lim)3( 無窮小 階的是是就說如果kkCC k ? ? ? 常用等價(jià)無窮小 : ,0時(shí)當(dāng) ?x 2 sin tan arcsin arctan ln(1) 1, 1 1 ln ,1cos,(1)1 (0) 2 x xa xxxxxxe axaxxxax a ? ? 1 11. n xx n ? , )(af? (1) (2) (3) f (x)在點(diǎn)a 處：(1) 連續(xù) (2) 有極限 (3) 有定義 則稱 y=f (x)在點(diǎn) a 連續(xù)。 若 Axf ax ? ?

8、)(lim 函數(shù)連續(xù)的定義 三者關(guān)系是： 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為 第一類間斷點(diǎn). 特點(diǎn): ., 0 右極限都存在處的左函數(shù)在點(diǎn)x 可去型 第 一 類 間 斷 點(diǎn) 跳躍型 0 y x 0 x 0 y x 0 x 間斷點(diǎn)的分類 0 y x 無窮型 振蕩型 第 二 類 間 斷 點(diǎn) 0 y x 0 x 第二類間斷點(diǎn) . )(, ,)( 0 0 類間斷點(diǎn) 的第二為函數(shù)則稱點(diǎn)至少有一個(gè)不存在 右極限處的左在點(diǎn)如果 xfx xxf 定理 3(零點(diǎn)定理) 設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間 ?ba, 上連續(xù)，且)(af與)(bf異號(即0)()(?bfaf), 那末在開區(qū)間?ba,內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個(gè)零 點(diǎn),

9、即至少有一點(diǎn)?)(ba?，使0)(?f. 定理(有界性定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定 在該區(qū)間上有界. 定理 (最大值和最小值定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù) 的函數(shù)一定有最大值和最小值 . 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 導(dǎo)數(shù)的定義 . )()( limlim 00 00 0 x xfxxf x y y xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx ? ? ? ? 0 ()fx? dy dx 00 ()( ) limlim. xx yf xxf x y xx ? ? ? ? ? ? ? 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 1.左導(dǎo)數(shù): ; )()( lim )()( lim

10、)( 00 0 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xxx ? ? ? ? ? ? ? ? 2.右導(dǎo)數(shù): ; )()( lim )()( lim)( 00 0 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xxx ? ? ? ? ? ? ? ? 函數(shù))(xf在點(diǎn) 0 x 處可導(dǎo)?左導(dǎo)數(shù))( 0 xf ? ?和右 導(dǎo)數(shù))( 0 xf ? ?都存在且相等. 用定義. 含絕對值符號的函數(shù)怎么求導(dǎo)？ 在分段點(diǎn)處怎么求導(dǎo)？ 分段函數(shù)的求導(dǎo) 寫成分段函數(shù)再求導(dǎo). 基本導(dǎo)數(shù)公式 2 2 2 ()0 (sin)cos (tan)sec (sec)sectan ()ln 1 (

11、log) ln 1 (arcsin) 1 1 (arctan) 1 xx a C xx xx xxx aaa x xa x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式） 1 2 2 2 () (cos)sin (cot)csc (csc)csccot () 1 (ln) 1 (arccos) 1 1 (cot) 1 xx xx xx xx xxx ee x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? arc 求導(dǎo)法則 設(shè))(),(xvvxuu?可導(dǎo)，則 （1）vuvu?)(, （2）uccu? ? ) (

12、( c 是常數(shù)), （3）vuvuuv? ? ) (, （4） )0()( 2 ? ? ?v v vuvu v u . (1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 (2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 1 ( )( ),( ). ( ) xyyf xfx y ? ? ? ? 如果的反函 (3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ).()()( )()(),( xufxy dx du du dy dx dy xfyxuufy ? ? ? ? 或 的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)而設(shè) (4) 對數(shù)求導(dǎo)法 先在方程兩邊取對數(shù) ,然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 求出導(dǎo)數(shù). 適用范圍: .)( )( 的情形數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函 xv xu (5) 隱

13、函數(shù)求導(dǎo)法則 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo) . , )( )( 間的函數(shù)關(guān)系與確定若參數(shù)方程xy ty tx ? ? ? ? ? ? ? ; )( )( t t dt dx dt dy dx dy ? ? ? ? ? . )( )()()()( 32 2 t tttt dx yd ? ? ? ? ? ? ? (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則 高階導(dǎo)數(shù) , )()( lim) )( 0 x xfxxf xf x ? ? ? ? 二階導(dǎo)數(shù) 記作 . )( ,),( 2 2 2 2 dx xfd dx yd yxf或? ? ? .,),( 3 3 dx yd yxf? ? ? ? ?二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)

14、數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) , 記作階導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的函數(shù)一般地 ,)( 1)(, nxf nxf? . )( ,),( )()( n n n n nn dx xfd dx yd yxf或 (二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)) 高階導(dǎo)數(shù)的求法 1.1. 由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù) . 2. 2. 求出求出1-3或或4階后, 分析結(jié)果的規(guī)律性 ,寫出寫出n階階 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明) 3.利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式 , 通過四則運(yùn)算，通過四則運(yùn)算， 變量代換等方法, 求求n階導(dǎo)數(shù). 常用高階導(dǎo)數(shù)公式 nn xnx ? ?)1() 1()()4( )( ? n nn x n x )!1(

15、 )1()(ln)5( 1)( ? ? ? ) 2 sin()(sin)2( )( ? ?nkxkkx nn ) 2 cos()(cos)3( )( ? ?nkxkkx nn )0(ln)()1( )( ?aaaa nxnx xnx ee? )( )( 1 )( ! )1() 1 ( ? ? n nn x n x nn nn axaxaxay? ? ? 1 1 10 o 1 ! 0 )( nay n ? 0 )2()1( ? ? ?nn yy 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則: 則階導(dǎo)數(shù)具有和設(shè)函數(shù),nvu )()()( )()1( nnn vuvu? )()( )()2( nn CuCu? )()( 0

16、)()()( )2()1()()( ! )1()1( !2 )1( )()3( kkn n k k n nkkn nnnn vuC uvvu k knnn vu nn vnuvuvu ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 萊布尼茲公式 微分的定義,求法 定義定義 . ),(, )(, )(),( )()()( , ,)( 0 0 0 00 00 00 xAdy xdfdyx xxfyxAx xfyxA xoxAxfxxfy xxxxfy xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? 即或記作的微分于自變量增量 相應(yīng)在點(diǎn)為函數(shù)并且稱可微在點(diǎn) 則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與其中成立 如

17、果在這區(qū)間內(nèi) 及在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù) .的線性主部叫做函數(shù)增量微分ydy?(微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) 導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系 ).(, )()( 00 0 xfAx xfxxf ?且處可導(dǎo)在點(diǎn) 可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)定理 微分的求法 dxxfdy) ( ? ? 求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分 . 函數(shù)和、差、積、商的微分法則 2 )()( )()( v udvvdu v u dudvvduuvd CduCuddvduvud ? ? ? 微分的基本法則 微分形式的不變性 的微分形式總是 函數(shù)是自變量還是中間變量無論)(,xfyx? dxxfdy)( ? 基本初等函數(shù)的微分

18、公式基本初等函數(shù)的微分公式 xdxxxdxdxxxd xdxxdxdxxd xdxxdxdxxd dxxxdCd cotcsc)(csctansec)(sec csc)(cotsec)(tan sin)(coscos)(sin )(0)( 22 1 ? ? ? ? ? dx x xddx x xd dx x xddx x xd dx x xddx ax xd dxeedadxaad a xxxx 22 22 1 1 )cot( 1 1 )(arctan 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin 1 )(ln ln 1 )(log )(ln)( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

19、arc o 1 1 2 ! )1( e ! ! 2 1 ? ? ? ? n n x nn xx x o 2 mm m m x mm xxx x 2 12 1 53 ! )2( sin )1( ! )12( )1( ! 5! 3 ? ? ? ? ? ? o 3 121 242 ! )12( cos )1( ! )2( )1( ! 4! 2 1 ? ? ? mm m m x mm xxx? . . . )0(之間與在x? 常用 麥克勞林公式： )0(之間與在x? )0(之間與在x? x e xsin xcos o 4 ? ? n xxx x n n1 32 )1( 32 o 5 n x n n x

20、x ! )1()1( ! 2 )1( 1 2 ? ? ? ? ? ? . . . )0(之間與在x? . )1)(1( )1( 1 1 ? ? ? ? n n n n x ? ) 1( ! )1( )()1( 1 1 ? ? ? ? ? n n x xn n ? ? ? 1)(0 ? . . . . )ln(1x? ? )1 (x? . )( )( lim )( )( lim );( )( )( lim)3( ; 0)( )()(,)2( ;)()(,)1( xF xf xF xf xF xf xF xFxfa xFxfax axax ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 那末 或?yàn)闊o

21、窮大存在 且 都存在及點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在 都趨于零及函數(shù)時(shí)當(dāng) 設(shè) 定理 定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再 求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則 . 或無窮大 其他類型 型型?0. 1 步驟: , 1 0? ? ?. 0 1 00?或 0 1 0 1 ? . 00 00 ? ? ? 型? . 2 步驟: 步驟: 型 00 ,1 ,0. 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln0 1ln 0ln0 1 0 0 0 取對數(shù) 用洛必達(dá)法則求未定式極限應(yīng)注意什么？ 2o. 及時(shí)求出已定式的極限. 1o. 需要先驗(yàn)證條件. 求函數(shù)極值和最值 求極值的

22、步驟： (1) 求函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； 是極值點(diǎn)。改變符號，則鄰域內(nèi)，若在 00 )( )2(xxfx?不是極值點(diǎn)。否則 0 x ?變的符號由時(shí)，漸增地過當(dāng))( 0 xfxx ?變的符號由時(shí)，漸增地過當(dāng))( 0 xfxx ;)( 0 是極大值xf ;)( 0 是極小值則xf ),0)( 0 ? ? xf或 ),0)( 0 ? ? xf或 求a,b上連續(xù)函數(shù)f (x)的最值的步驟： (1) 求函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； (2) 把 f (x)在這些點(diǎn)的值與f (a) , f (b)比較，最大者為最大值，最小者 為最小值。 注：若連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間 I 內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)。則

23、極大值就是最大值； 極小值就是最小值。 , xf ax ? ? )(lim若若 . ,a x xf x ? ? )( lim若 是斜漸近線。則 bxay ? , baxxf x ? ? )(lim 是豎直漸近線；則a x ? 給定函數(shù)給定函數(shù) y = f (x) ,求其豎直漸近線及斜漸近線。求其豎直漸近線及斜漸近線。 . . 0 就是水平漸近線。），（其中，當(dāng) bya ? . 兩者的聯(lián)系與區(qū)別？ 2.不定積分 ，則稱可導(dǎo)，且內(nèi)若在某區(qū)間)()()(xfxFxFI? 的原函數(shù)。為)()(xfxF 的全體原函數(shù)。)(xf 聯(lián)系：它們的導(dǎo)數(shù)相同，都是 f (x). 原函數(shù)是不定積分中的一個(gè)函數(shù)。 區(qū)

24、別： .)( d)( CxFxxf? ? 記為 不定積分是函數(shù)族； 1. 原函數(shù) ? ?dxxgxf)()(1 0 ? ?dxxgdxxf)()( 4.微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的 . ? ?dxxkf)(2 0 ? dxxfk)(（k是常數(shù)，)0?k 5. 不定積分的性質(zhì) ?)()(xfdxxf dx d ? ? dxxfdxxfd)()(? ? ? ?CxFdxxF)()( ? ?CxFxdF)()( 3. 原函數(shù)存在定理 任何連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)。 但是連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)。 xxx xx xx xx xx xxxx xx xx 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

25、 ? ? ? ? dtansec 7 dcsc 6 dsec5 dcsc4 dsec3 dcot9 dtan 2 dcos8 dsin1 2 ? ? ? ? ? ? ? C x ? ? cos C x ? sin C x|? ?cos|ln C x|? sin|ln Cx|x? tansec|ln Cx|x? cotcsc|ln C x ? tan C x ? ? cot C x ? sec . 6. 基本積分公式 . . . . . . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 d 15 d 14 d 13 d12 d11 ax x ax x xa x xa xx 2 2

26、2 x ? ? ? ? ? ? xxxdcotcsc 10 ? C x ? ? csc ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 |ln 1 ? ? ? ? Cx Cx C a a x ? ln C ax ax a ? ? ? ln 2 1 C a x ?arcsin C a x a ?arctan 1 . . . . . . . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xax xax xxa ax x ax x 2 2 2 2 2 d 20 d 19 d18 d 17 d 16 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? Caxx?)(ln 22 C a xa xa x ?ar

27、csin 22 2 22 Caxx a ax x ? 22 2 22 ln 22 . . Caxx? 22 ln . . . Caxx a ax x ?)ln( 22 22 2 22 . （第二換元） （分步積分） （分步積分） （第二換元） （用第二換元法算得） C x ? ?sh )21( ?xdx ch ?xdxC x ? ? ch)22(sh 8、第一類換元法 7 7、直接積分法、直接積分法 定理 1 設(shè))(uf具有原函數(shù)，)(xu?可導(dǎo)， 則有換元公式 ? ?dxxxf)()(? ? ?)( )( xu duuf ? 第一類換元公式（ 湊微分法） 由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)

28、求不 定積分的方法. ;)(. 1 1 dxxxf n n? ; )( . 2dx x xf ; )(ln . 3dx x xf ; ) 1 ( . 4 2 dx x x f ;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaaf xx 常見類型常見類型: ;sec)(tan. 7 2 xdxxf; 1 )(arctan . 8 2 dx x xf ? 反用第一換元法： ? xxfd)( ? ?ttgd)( )(CtG? )( tx?令 ? ?xttfd)()( ? )( 1 CxG? ? ? , )()(是已知這里tgtG?. )()( 1 的反函數(shù)是tt? ? . . 常用的代換有三角代

29、換、雙曲代換、倒代換等，用于： ,)d,( 22 ? ?xxaxR,)d,( 22 ? ?xxaxR . )d,( 22 等形式的積分 ? ?xaxxR 是否需要其它的代換， 具體問題，具體分析。 存在并可導(dǎo)，為保證)( 1 t ? ? 的某一區(qū)間在要求 )(tt? . 0 )(?t?單調(diào)、可導(dǎo)且 . 9、第二類換元法 10、分部積分法 分部積分公式 dxvuuvdxvu ? ? duvuvudv ? ? 選擇u的有效方法: (1)反對冪三指 L-對數(shù)函數(shù)； I-反三角函數(shù)； A-代數(shù)函數(shù)； T-三角函數(shù)； E-指數(shù)函數(shù)； 哪個(gè)在前哪個(gè)選作 u. (2)LIATE 選擇法 四種類型分式的不定積

30、分 ;ln. 1CaxA ax Adx ? ? ? ; )(1()( . 2 1 C axn A ax Adx nn ? ? ? ? ? ;arctan ln 2 . 3 4 2 4 2 2 2 22 C q x q N qpxx M dx qpxx NMx p p p Mp ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dx qpxx N qpxx dxpxM dx qpxx NMx n Mp nn )()( )2( 2)( . 4 2 2 22 此兩積分都可積,后者有遞推公式 11 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 三角函數(shù)有理式的積分可化為有理函數(shù)進(jìn)行積分 1三

31、角函數(shù)有理式可表為 2用萬能置換可化為有理函數(shù)的積分，故三角 函數(shù)的有理式都能“積得出來”. 3萬能置換 (sin ,cos)Rxx 令 ，則 故 tan 2 x t ? 2 222 212 sin,cos,dd , 111 tt xxxt ttt ? ? ? 2 1 222 21 ,d 11 (sin ,cos )d 1 ( )d ttt Rt tt x xR tt t Rx ? ? ? ? ? ? ? 某些無理函數(shù)某些無理函數(shù)有理化有理化 1 ,d n axb R xx cxh ? ? ? ? ? ? 為使其有理化，只需作變換為使其有理化，只需作變換 1 2 () ,dd . () n n

32、 nn n n ahbc t htb xxt ac axb t cx ct h ta ? ? ? ? ? ? ? ? 即即, 2 2 ( ,)dR xaxbxcx? ? 先配方，再作三角代換，即可有理化。先配方，再作三角代換，即可有理化。 定積分定積分 和S總趨于 設(shè)函數(shù))(xf在,ba上有界，1.定義 ? ? b a Idxxf)( ii n i xf? ? ? ? )(lim 1 0 ? ? . 記,max 21n xxx?， 也不論在小區(qū)間, 1ii xx ? 上 的取法， 確定的極限I， 如果不論對,ba 怎樣的分法， 點(diǎn) i ?怎樣 只要當(dāng)0?時(shí)， 我們稱這個(gè)極限I為函數(shù))(xf在區(qū)

33、間,ba上的定積分， 實(shí)質(zhì): 通過分割,取介點(diǎn),求和,取極限得到的一類特殊和式的極限.是個(gè)確定的數(shù). 與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),與積分變量的符號無關(guān). 用定積分的定義求極限 n ab n abi af n i n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 )( lim ? ? ? ? n i ii n xxf 1 )(lim.d)( ? ? b a xxf .,)(上連續(xù)在設(shè)baxf 分點(diǎn)的坐標(biāo)為 , n ab x i ? ?.,2, 1 ni? ., ban等分 基本思想： 則每一子區(qū)間長度為 , )( n abi ax i ? ? a b i x x y 0 . .,2, 1 ni?

34、 時(shí)，當(dāng)1,0?ba nn i f n i n 1 )(lim 1 ? ? ? ? .d)( 1 0? ?xxf . f (x) 2 2、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì) ? ? b a dxxgxf)()( ? ? b a dxxf)( ? ? b a dxxg)(性質(zhì)1 ? ? b a b a dxxfkdxxkf)()( (k為常數(shù))性質(zhì)2 ? b a dxxf)( ? ? b c c a dxxfdxxf)()( 假設(shè)bca?性質(zhì)3 則0)(? ? dxxf b a )(b a ? 性質(zhì)5 如果在區(qū)間,ba上0)(?xf， 推論： 則dxxf b a? )( dxxg b a? ?)( )(

35、b a ? 如果在區(qū)間,ba上)()(xgxf?，（1） dxxf b a? )(dxxf b a? ?)( )(b a ? （2） dx b a ? ? 1dx b a? ?a b? ?性質(zhì)4 如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù)， 則在積分區(qū)間,ba上至少存在一個(gè)點(diǎn)?， 使dxxf b a? )()(abf? )(ba? 性質(zhì)7 (定積分中值定理) 設(shè)M及m分別是函數(shù) 則 )()()(abMdxxfabm b a ? ? . )(xf在區(qū)間,ba性質(zhì)6 上的最大值及最小值， 積分中值公式積分中值公式 注：此定理解決積分去掉積分號的問題。 ?)(? ? x F )()(xfxF? ? ? )

36、( d)()( xg a ttfxgF ?)( d)()( )( )( ? ? xFttfxF xg xh 則，若 )()()(xgxgfxF?)()(xhxhf? . 有何關(guān)系？有何關(guān)系？)( d)()( ) 1xfttfxF x a 與 ? ? ?)( ?xgF (1)關(guān)于積分限為變元的函數(shù) ? ? ? x a ttfxFd)()( . . . . ? ? )( d)()( )2 )( xFttfxF xg a 則若， )()(xgxgf? . 3、牛頓萊布尼茨公式 (2)（微積分基本公式） 如果)(xF是連續(xù)函數(shù) )(xf在區(qū)間,ba上的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()(aFbFdxxf b

37、a ? ? .)()( b a b a xFdxxf? ? 牛頓萊布尼茨公式 4 4、定積分的計(jì)算法、定積分的計(jì)算法 dtttfdxxf b a? ? ? ? ?)()()( 換元公式 （1）換元法 （2）分部積分法 分部積分公式 ? ? b a b a b a vduuvudv (1) 變量代換寫出，要換限； (2) 被積函數(shù)表示式受積分限的制約。 (3) 不用回代. . 計(jì)算定積分(NL公式） 與計(jì)算不定積分的不同之處： 5 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式 (1) 平面圖形的面積 x y o )(xf y ? ? ? b a dxxfA)( x y o )( 1 xf y?

38、 )( 2 xf y? ? ? b a dxxfxfA)()( 12 A A 直角坐標(biāo)情形 a bab X型區(qū)域的面積 1) 如果圖形為： ,dyc? ).()( 21 yxy? )( 2 yx? )( 1 yx? D c d c d )( 2 yx? )( 1 yx? D Y 型區(qū)域型區(qū)域的面積 21 ( )( ) b a Ayy dy? ? ? 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 ? ? ? ? ? )( )( ty tx ? ? 曲邊梯形的面積 ? ? 2 1 )()( t t dtttA? （其中 1 t和 2 t對應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值） 在 1 t, 2 t（或 2 t,1t）上)(t

39、x?具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， )(ty?連續(xù). 參數(shù)方程所表示的函數(shù) 2) ? ? ? ? ?dA 2 )( 2 1 xo ? ?d ? )(?r ? ? xo )( 2 ?r )( 1 ?r ? ? ? ? ?dA)()( 2 1 2 1 2 2 極坐標(biāo)情形 3) (2) 體積 xdx x ? x y o 2 ( ) b x a Vf xdx? ? 2 ( ) d y c Vydy? ? ? x y o )(yx? c d 2 ( ) b y k a Vf xk dx? ? ? ? 2 ( ) d x a c Vyady? ? ? ? ? x o ? ? b a dxxAV)( x dx x ? ab

40、 平行截面面積為已知的立體的體積 )( xA 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xf y? 、 直線a x ? 、b x ? 及x軸所圍成的曲邊梯形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為 dxxfxV b a y | )(|2 ? ? 柱殼法 (3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 xo y a bx dx x ? ?dy 弧長 dxys b a? ? 2 1 A曲線弧為 ? ? ? ? ? )( )( ty tx ? ? )(? ? t 其中)(),(tt?在,?上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 弧長 dttts ? ? ? ? ?)()( 22 )(xf y ? B曲線弧為 6.6.若干重要結(jié)果若干重要結(jié)果 22 00

41、(1)sin d0,cos d0,x xx x? ? 22 00 sin dcos d1,x xx x? ? 0 sin d2;x x? ? ? 0 (2)( )d( )() d aa a f xxf xfxx ? ? ? 0 0 ( ) 2( )d( ) a f x f xxf x ? ? ? ? ? ? ? 為函數(shù)， 為函數(shù)； 奇 偶 ， ， 3( )f xT是周期為的函數(shù),則（ ） 0 ( )d( )d (), a TT a f x xf xxx ? ? ? R 00 ( )d( )d (); nTT f xxnf xxn? ? + Z 22 00 4sindcosd nn x xx x

42、? ? （ ） (1)!, ! (1)! , !2 n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? 為奇數(shù)， 為偶數(shù)； 00 5(sin )d(sin )d , 2 xfxxfxx? ? （ ） 2 00 sind2sind ; nn x xx x? ? 2 + 0 6ed; 2 x x ? ? ? ? （ ） 7、廣義(反常)積分 (1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 ? ? a dxxf)(? ? ? b a b dxxf)(lim ? ? b dxxf)( ? ? ? b a a dxxf)(lim 當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在 時(shí)，稱廣義積分發(fā)散. (2)無界函數(shù)的

43、廣義積分無界函數(shù)的廣義積分 ? b a dxxf)( ? ? ? b a dxxf ? ? )(lim 0 當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在 時(shí)，稱廣義積分發(fā)散. ? b a dxxf)( ? ? ? ? ? ? b a dxxf)(lim 0 ? b a dxxf)( ? ? c a dxxf)( ? ? b c dxxf)( ? ? ? ? ? ? c a dxxf)(lim 0 ? ? ? ? ? ? b c dxxf ? ? )(lim 0 。時(shí) 發(fā) 散； 當(dāng)時(shí) 收 斂 當(dāng) 。時(shí) 發(fā) 散當(dāng)；時(shí) 收 斂 當(dāng) 怎 么 計(jì) 算 ？ 其 中 ：和 瑕 積 分無 窮 積 分 _ _ )( d )3( _ _ d )2( )(lim (