§4不定積分習(xí)題與答案

1、第四章不定積分(A)4)1、求下列不定積分dxx3) (x 2)2dx2x ,4)2 dx1 x22 3x 5 2x3xdx7)(2ex 3 *)dxx8) (1 丄)JxyTxdxx/、cos2x.6)dx2 . 2COS xsin x2、求下列不定積分（第一換元法）3(3 2x) dxdxx In xin(In x)2)制2 3xdx5)cosxs in x6) dxXXe e7)xcos(x2)dx8)dxc、sin X .9)一 xcos x10J X用794x213)15)dx2x2112)cos3 xdxsin 2x cos3xdx14)tan3 xsecxdx3x .dx9 x2

2、16)廠dx3 cos x 4 sin X/ c2 arccosx10 .rdxcdxJx(1 x)17)18)x3、求下列不定積分（第二換元法）1 dxX _xarcs in xdxx24) ydx,(a 0)a x6)1 V2xA)dx1 Vix24、求下列不定積分（分部積分法）xSnxdx23) X In xdx5) x2 arcta nxdx6) x2 COSxdx2、已知一個(gè)函數(shù)7) In2 xdx8)x2 COS2 - dx25、求下列不定積分(有理函數(shù)積分)3x .dxx 3(B)曲線通過點(diǎn)2(e ,3),且在任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù),求該曲線的方程。13F(x)

3、的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)x 1時(shí)函數(shù)值為-，試求此函數(shù)。TTV23、證明：若f(x)dx F(x) c,則f (ax b)dx-F(ax b) c,(a 0)。 a4、設(shè)f (x)的一個(gè)原函數(shù)為xf (x)dx。5、求下列不定積分cos2 xdx22)Jl sin 2xdxJarcta n-dx4)xRdx2 2 22(x a )(x b )xdx* 2a x6)8)arcta nxxe dxx2f(17) ；n x dxX In x(C)1、求以下積分xxe .dxVex 12)dxsin (2x) 2sinx4)arctaneX .；dx2xe55)xXx 1第四章不定積分(A)1(3)卜32x2

4、 4x(4) x arcta nx c(7) 2ex2、(1)5(l)xIn 2 In 33ln x(3 2x)4(3)2cos7r c(5) In|tanx(11)(13)(15)(17)(6) (cot x(8) 4(x2 7)(2)1(2In In In xarcta n eXtanx) c23x)3 clsin( x2)212cos xLln(10)(8)-In141 -arcs in21 -cosx 2(12)sin xcos5x109工 ln(9 x2(14)(16)1 -sec3-2x3sin3 xsecx cL arctan 42yl3732 arccosx c2ln10(18

5、)(arcta n 仮)23、(1) ln csct cott2( Jx cosVxsin Jx) c2(tan22a z - x (arcs in 2aarccos-)xJa2 x2) caJ2x ln(1 J2x) c1(7) -(arcsinxln x2x2(8)arcs in4、(1) xcosxsinxxarcs inx13 1-x lnx313-x arctanx31 3 -X 92 e 172x2 - x sin x(7)xln213-x 65、(1) x33(8) In xIn x1 7ix2(cos-24sin2)1 -x66ln(1x2)2xcosx2sin x2x l n

6、x 2x c-x2 s inx xcosx 23 2 c-x 9x2IrKx221 ,:In x21)sinx27l nxln|x 2In x1ln(x21)-arcta nx21lnx22x1、設(shè)曲線y2、設(shè)函數(shù)為F(x)3、由假設(shè)得x2x 1arctan l373f (x),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義:F(x)，由 F (x) f (x)(B)X23 f (x)dx arcsinx C，代入(1,-F (x)f(x), F (axb) f (axF(ax b) F (ax b), af (axb)dx4、把f(X)湊微分后用分部積分法。5、(1)用倍角公式：cos2 x 12cosx(2)注意 co

7、sx sinx 0或cosx sinx1 1(3)禾ij用 arctanarc cot x,x1dx x(4)先分子有理化，在分開作三角代換。1dxxIn x點(diǎn)(e2,3)代入即可。)即可解出Cob)，故-F(ax b) a0兩種情況。d(arc cotx)。2(5)化為部分分式之和后積分。(6)可令 x 2asin21。QQ(7)可令 x a (b a) si nt,則 b x (b a) cos t。(8)令 41nx(9)分部積分后移項(xiàng)，整理。(10)湊earctanx后分部積分，再移項(xiàng)，整理。x(11)令 tan t。2(12)變形為x 3后，令I(lǐng)t,(x 3 c、4Vx 2-(x 2

8、)x 2dx再由1 丄-x 2t2，兩端微分得 一 dx 2tdt。(x 2)21)解：令u(C)7ex 1，則 x ln(1 u2),dx2u 2 du1 u所以原式 2 ln(1 u2 )du 2u ln(1 u2) 4u 2du1 u2u ln(1 u)4u 4arcta nu c2xJex 11 4arcta 門陽2)解：方法一:原式dx2sinx(1 cosx)d(|)sin xcos2xd(ta n?)丄 x 2 xtan cos 一2 2.,2 x1 tan 2ta nx2x方法二：令tan 2x d (ta n?)1 -ta n 81 -ln tan c 4方法三：變形為，然后

9、令cosx usin xdx22(1 cos x)(1 cosx)再化成部分分式積分。1一 arctanexd(e 2x) 23)解：原式扣2xarct曲d(ex) e2x(1 e2x)(令 e扣25曲duu2(1u54)解:原式5)解:原式6)解:原式1 (sin x2e 2x arctanex21-e22x arcta nex3xVx3(x331)4d(x371)7 4(x3x4 x x3Jdxdu1)31/12 (x24 x4 xdu u(x3d(x2du 1 u2xarcta ne1d(x3)111) d(x3=d(x3)11)x2化，令 uV2x2 1J2x2 11 2sinxcosx 1 1dx2 sin x cosxcosx)2 dx sin x cosxdx2 sin X cosxd(x 7)1 1-(si nx cosx)產(chǎn)22血 si