專題14 幾何最值之胡不歸知識精講-沖刺2020年中考幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)(2)

1、幾何最值之胡不歸知識精講從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家。由于著急只考慮到了兩點(diǎn)之間線段最短，雖然從他此刻位置a到家b之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著胡不歸？胡不歸？看到這里很多人都會有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.將這個(gè)問題數(shù)學(xué)化，我們不妨設(shè)總時(shí)間為，則，由可得，提取一個(gè)得，若想總的時(shí)間最少，就要使得最小，如圖，過定點(diǎn)a在驛道下方作射線ae，夾角為，且，作dgae于點(diǎn)g，則，將轉(zhuǎn)

2、化為dgdb，再過點(diǎn)b作bhae于點(diǎn)h，交驛道所在直線于點(diǎn)，則就是我們要找的點(diǎn)，此時(shí)dgdb的最小值為bh，綜上，所需時(shí)間的最小值為，少年想要盡快回家，應(yīng)沿著驛道到達(dá)點(diǎn)之后，再沿著b路線回家，或許還能見到父親的最后一面.解決此類問題的一般方法：第一步：將所求的線段和改寫成的形式；第二步：構(gòu)造一個(gè)角，使得；第三步：過目的地作所構(gòu)造的角的一邊的垂線，該垂線段的長度就是所求的最小值；第四步：計(jì)算.例1：如圖，p為正方形abcd對角線bd上一動點(diǎn)，若ab2，求apbpcp的最小值.【解答】【解析】連接ac，作dbe30，交ac于點(diǎn)e，過點(diǎn)a作afbf，垂足為f，如圖所示：在rtpbf中，pbf30，的

3、最小值即為線段af的長。在abf中，bae45，abe75，aeb60，解得，通過面積法可得，求得，apbpcp的最小值是.例2：如圖，矩形abcd的兩條對角線相交于點(diǎn)o，cod關(guān)于cd的對稱圖形為ced.（1）求證：四邊形oced是菱形；（2）連接ae，若ab6，.求sinead的值；若點(diǎn)p為線段ae上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)a重合），連結(jié)op，一動點(diǎn)q從點(diǎn)o出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度沿線段op勻速運(yùn)動到點(diǎn)p，再以1.5個(gè)單位每秒的速度沿線段pa勻速運(yùn)動到點(diǎn)a，到達(dá)點(diǎn)a后停止運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)q沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn)a所需要的時(shí)間最短時(shí)，求ap的長和點(diǎn)q走完全程所需的時(shí)間.【解答】（1）見解析；（2），【解析】（1）證明：四邊形abcd是矩形，acbd，ac與bd交于點(diǎn)o，且cod、ced關(guān)于cd對稱，dooc，doed，occe，doocceed，四邊形oced是菱形；（2）設(shè)ae交cd于點(diǎn)k，四邊形oced是菱形，deac，deocoa，又abcd6，dk2，ck4，在rtadk中，；作pfad于點(diǎn)f，易得，點(diǎn)q的運(yùn)動時(shí)間，當(dāng)o、p、f三點(diǎn)共線且ofad時(shí)，oppf的值最小，此時(shí)o