概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料要點(diǎn)總結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提要第一章隨機(jī)事件與概率1事件的關(guān)系A(chǔ)BABABABAAB2運(yùn)算規(guī)則（ 1）（ 2）ABBAABBA( AB)CA(BC)(AB)CA(BC )（3） (AB)C(AC )(BC)(AB)C(AC)(BC)（4） ABABABAB3概率 P( A) 滿足的三條公理及性質(zhì)：（1） 0 P(A)1 （2）P( ) 1nn（ 3）對(duì)互不相容的事件A1,A2 , An ，有 P(Ak )P( Ak )（ n 可以取）k1k 1（4） P( )0（5） P(A)1 P(A)（6）P( AB) P( A) P( AB) ，若 AB ，則 P(BA) P(B) P(A) ，P( A) P

2、(B)（7） P(A B) P(A) P(B) P( AB)（8） P( ABC )P( A)P( B) P(C)P(AB)P(AC)P(BC ) P( ABC )4古典概型：基本事件有限且等可能5幾何概率6條件概率（ 1）定義：若 P(B)0，則 P(A|B)P( AB)P( B)（ 2）乘法公式： P( AB) P(B) P( A | B)若 B1,B2,Bn 為完備事件組，P(Bi )0 ，則有n（ 3）全概率公式：P( A)P( Bi )P( A | Bi )i 1（ 4）Bayes 公式：P( Bk| A)P( Bk ) P( A | Bk )nP( Bi )P( A | Bi )i

3、17事件的獨(dú)立性：A, B 獨(dú)立P( AB)P( A) P( B)（注意獨(dú)立性的應(yīng)用）1/44第二章隨機(jī)變量與概率分布1 離散隨機(jī)變量：取有限或可列個(gè)值，P( Xxi )pi 滿足（ 1） pi0 ，（2）pi =1i（ 3）對(duì)任意 DR， P(XD)pii: xi D2 連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)f ( x) ，滿足（ 1） f ( x)0,-f ( x)dx1；（ 2） P(aX b)bR， P(Xa)0f ( x)dx ；（ 3）對(duì)任意 aa3 幾個(gè)常用隨機(jī)變量名稱(chēng)與記號(hào)分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布 B(1, p)P(X1)p ， P( X0)q 1pppq二項(xiàng)式分布 B(n,

4、p)P( Xk )Cnk p k qn k , k0,1,2,n ，npnpqkPoisson 分布 P()幾何分布 G ( p)均勻分布 U (a,b)指數(shù)分布 E()正態(tài)分布 N( ,2)P( Xk)e, k0,1,2,k!(k)qk1,1,2,1qP Xp kpp 2f (x)1,axab(b a) 2bb ，212af ( x)ex,x01121( x) 2f (x)e22224 分布函數(shù)F ( x)P( Xx) ，具有以下性質(zhì)（1）F()0, F() 1；（ 2）單調(diào)非降；（ 3）右連續(xù)；（ 4） P(aXb)F (b)F (a) ，特別 P( Xa) 1 F (a) ；（ 5）對(duì)離

5、散隨機(jī)變量，F(xiàn) ( x)pi ；i: xix（ 6）對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量， F ( x)x (x)f ( x)f (t )dt 為連續(xù)函數(shù)， 且在 f ( x) 連續(xù)點(diǎn)上， F5 正態(tài)分布的概率計(jì)算以( x) 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1) 的分布函數(shù)，則有（1） (0)0.5 ；（ 2） ( x)1( x) ；（ 3）若 X N ( , 2 ) ，則 F ( x)( x) ；2/44（ 4）以 u 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1) 的上側(cè)分位數(shù)，則 P( X u )1 (u )6 隨機(jī)變量的函數(shù)Yg (X )（ 1）離散時(shí)，求Y 的值，將相同的概率相加；（ 2 ） X 連 續(xù) ， g( x) 在 X 的

6、 取 值 范 圍 內(nèi) 嚴(yán) 格 單 調(diào) ， 且 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 則fY ( y)f X ( g1 ( y) | (g1 ( y) |，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1期望(1) 離散時(shí)E(X)ixi pi ， E( g( X )ig( xi ) pi ；(2) 連續(xù)時(shí) E(X )xf ( x) dx， E (g( X )g( x) f ( x)dx ；(3) 二維時(shí) E(g ( X ,Y)g( xi , y j) pij， E( g ( X , Y)g( x, y) f ( x, y)dxdyi , j(4) E(C)C ；（5） E(CX ) CE(X

7、 ) ；（6） E( X Y) E(X )E(Y) ；（7） X ,Y 獨(dú)立時(shí)， E( XY) E( X )E(Y)2方差（1）方差 D( X )E( XE(X)2E(X 2)(EX ) 2 ，標(biāo)準(zhǔn)差(X)D(X) ；（2） D(C) 0, D(XC) D(X)；（ 3）()2() ；D CXC D X（4） X,Y 獨(dú)立時(shí)， D(X Y)D(X )D(Y)3協(xié)方差（ 1） Cov ( X ,Y )E( XE( X )(YE(Y )E(XY) E(X )E(Y) ；（ 2） Cov( X ,Y)Cov(Y, X ), Cov (aX , bY )abCov ( X ,Y) ；（ 3）(,)(,

8、)(,) ；Cov X 1X 2YCov X1YCov X 2Y（ 4） Cov ( X ,Y )0 時(shí)，稱(chēng) X ,Y 不相關(guān)，獨(dú)立不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià)；（5） D(XY)D(X )D (Y)2Cov ( X ,Y )3/444相關(guān)系數(shù)XYCov ( X ,Y)；有 |XY |1，|XY| 1a, b, P(YaXb) 1(X ) (Y)5 k階原點(diǎn)矩kE( X k ) ， k階中心矩k E( X E( X ) k第五章大數(shù)定律與中心極限定理1 Chebyshev 不等式P| X E(X)|D(X )或P| XE(X) | 1D(X)222大數(shù)定律3中心極限定理（1）設(shè)隨機(jī)變量 X

9、1,X2, X n 獨(dú) 立 同 分 布 E( X i )nn N ( n , n 2 ) ， 或 1 n2X iX iX iN(, )或 i 1i 1近似n i 1近似nn（ 2 ） 設(shè) m 是 n 次 獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 中 A 發(fā) 生 的 次 數(shù) ， P( A), D ( X i )2 ， 則n N (0,1) ，近似p ， 則 對(duì) 任 意 x ， 有l(wèi) i mP m npx( x) 或理解為若 X B(n, p) ，則 X N (np, npq)nn p q近似第六章樣本及抽樣分布1總體、樣本（ 1）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布（注意樣本分布的求法）；（ 2）樣本數(shù)字特征：

10、1n2，D(X)樣本均值 XX i （ E( X )）；n i 1n樣本方差S21n11nS( X i X ) 2n1 i 1n( X iX ) 2（E(S2 )2）樣本標(biāo)準(zhǔn)差i1樣本 k 階原點(diǎn)矩k1nX ik，樣本 k階中心矩 k1n( X iX ) kn i 1n i12統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3三個(gè)常用分布（注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義）（1） 2 分布2X 12X 22X n22 (n) ，其中 X 1 , X 2, , X n獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N (0,1)，若X2 (n1 ), Y 2 (n2 ) 且獨(dú)立，則 XY 2(n1 n2 ) ；4/44（ 2）

11、 t 分布 tX t (n) ，其中 X N (0,1), Y 2 (n) 且獨(dú)立；Y / n（3） F 分布FX / n1 F (n1 , n2 ) ，其中 X 2 (n1 ), Y 2 (n2 ) 且獨(dú)立，有下面的Y / n21F1 (n1, n2 )1性質(zhì) F (n2 , n1 ),F(n2 , n1 )F4正態(tài)總體的抽樣分布（1）XN( ,2/ n) ；1n22( X i)( n)；（ 2）2i 1（ 3）(n 1)S22( n1) 且與 X 獨(dú)立；（4） tX t (n1) ；2S / n（ 5） t( XY)(12 )n1n2 t( n1 n22)，S2(n11)S12(n2 1)

12、 S22Sn1 n2n1n2 22/2（6） FS11 F (n11, n21)2/2S22第七章參數(shù)估計(jì)1矩估計(jì)：（ 1）根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)求總體的矩；（ 2）令總體的矩等于樣本的矩；（ 3）解方程求出矩估計(jì)2極大似然估計(jì)：（ 1）寫(xiě)出極大似然函數(shù)； （ 2）求對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)（ 3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)； （ 4）令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為 0，解出極大似然估計(jì) （如無(wú)解回到 （ 1）直接求最大值， 一般為 min xi 或 max xi ）3估計(jì)量的評(píng)選原則(1) 無(wú)偏性：若 E( ?)，則為無(wú)偏；(2)有效性：兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)中方差小的有效；4參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（正態(tài)）參數(shù)條件估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間2 已知uxn xu/

13、2n2tx xt(ns未知s /n1)2n(n 1)s2( n1)s2(n 1) s22未知2 2(n,2( n21)11)225/44復(fù)習(xí)資料一、填空題（ 15分）題型一：概率分布的考察【相關(guān)公式】 （ P379）分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望（ E）方差（ D）（ 0 1）分0p1 PXk p k (1 p)1k , k0,1pp(1p)布n1P Xnpk (1p)n k ,knpnp(1p)二項(xiàng)分布0p1k0,1, nkr1P Xk1p)k rrr (1p)負(fù)二項(xiàng)分布kpr (10p1r1pp2幾何分布超幾何分布kr , r 1,0p 1P X k (1 p) k 1 p11 pk1,

14、2,pp2MNMN , M , aP XknkkNnMnM1 MNn(MN )kNNNN1(nN )k為整數(shù) , max0, nN M k min n, M P Xkek泊松分布0k !k0,1,2,1, axbba均勻分布abf ( x)0, 其他ab(ba) 2212【相關(guān)例題】11、設(shè) XU (a,b) ， E( X )2 ， D (Z )，則求 a， b 的值。3解： XU (a, b), E( X ) 2, D ( X )1,根據(jù)性質(zhì)：3a b2, (b a)21 , a b2123解得： a1,b 3.6/442、已知 Xb(n, p), E( X )0.5, D ( X )0.4

15、5 ,則求 n， p 的值。解：由題意得： np0.5,np(1p)0.45解得： p0.1.題型二：正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)【相關(guān)公式】 （ P163）2 為已知 由樞軸量 X，得到 的一個(gè)置信水平為1-的置信區(qū)間：,n/Xz /2n【相關(guān)例題】1、（樣本容量已知）已知總體 X N(,0.81), X1, X2 , X25為樣本 ,且 X5,則 的置信度 0.99的置信區(qū)間為：解：代入公式得：Xz /20.95z0.0255 0.18 1.964.6472,5.3528n52、（樣本容量未知）已知 XN (,1), X1 , X2 , X3 , X n為樣本容量 ,若關(guān)于 的置信度 0.

16、95的置信區(qū)間 10.88,18.92 ，求樣本容量.解：由題意知：樣本長(zhǎng)度為 7.84，則有：XzXnz7.84z3.92n22n2代入數(shù)據(jù)，得： n2n4.題型三：方差的性質(zhì)【相關(guān)公式】 （ P103）1 D(C)0,C為常數(shù)。2 D(CX )C2D(X ), D( XC) D(X )，C為常數(shù)。相互獨(dú)立,D(X Y) D(X ) D(Y)3 X,Y【相關(guān)例題】1、已知 X1，X2兩變量，且 X1U (2,4), X2N(0,9), X1 , X2 相互獨(dú)立 ,求D( X12X2 ).7/44解：X1U (2,4), X2(0,9)D(X1 2X2)D(X1) 4D(X2)(b a)249

17、361123題型四： t分布、2 分布的定義【相關(guān)公式】 （ P140、 P138 ）1 設(shè) X(0,1),Y2 ( n), 且 X , Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量tXY / n服從自由度為n的 t分布，記為 tt n .2 設(shè) X1 , X 2 , X 3 , X n 是來(lái)自總體 N (0,1)的樣本 ,則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量2X12X 22X n2服從自由度為 n的2分布 ,記為22 n .【相關(guān)例題】1、 若X(0,1), Y2(4), 且X ,Y相互獨(dú)立 ,X？Y / n答： Xt (4)Y / n3022、 若變量 X1, X 2, X 3, X 30服從 N 0,1 ,則X?ii 130答： X

18、22 (30).ii1題型五：互不相容問(wèn)題【相關(guān)公式】 （ P4）若 AB, 則稱(chēng)事件 A與事件 B是互不相容的?！鞠嚓P(guān)例題】1、 若P( A)0.6, A, B互不相容 ,求P( AB).解：A, B互不相容ABP( AB )P( A(SB)P( AAB)P(A)0.6二、選擇題（15 分）題型一：方差的性質(zhì)8/44【相關(guān)公式】 （見(jiàn)上，略）【相關(guān)例題】 （見(jiàn)上，略）題型二：考察統(tǒng)計(jì)量定義（不能含有未知量）題型三：考察概率密度函數(shù)的性質(zhì)（見(jiàn)下，略）題型四：和、乘、除以及條件概率密度（見(jiàn)下，略）題型五：對(duì)區(qū)間估計(jì)的理解（P161）題型六：正態(tài)分布和的分布【相關(guān)公式】 （ P105）【相關(guān)例題】

19、若X N(0,2), Y N(3,9),則 XY ?答： N (03,29)N (3,11).題型七：概率密度函數(shù)的應(yīng)用【相關(guān)例題】2x,0x1設(shè) Xf (x)0, 其他已知 PXaP Xa, 則求 a。解：由題意，得：P X a P X a1P Xa12即有： a2xdxx2 |0a102又 a 0a22三、解答題（70 分）題型一：古典概型：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用?！鞠嚓P(guān)公式】全概率公式：9/44設(shè)實(shí)驗(yàn) E的樣本空間為S， A為 E的事件， B1， B2， Bn為 S的劃分，且 P(Bi )0, 則有：P A =P A | B1 P(B1 ) P A | B2 P B2 ?P A |

20、 Bn P(Bn )其中有： P(B | A)P( AB) 。P( A)特別地：當(dāng) n=2時(shí)，有：P( A) P( A| B)P(B) P(A| B)P B .貝葉斯公式：設(shè)實(shí)驗(yàn) E的樣本空間為 S。 A為 E的事件 ,B 1， B2， Bn 為 S的一個(gè)劃分，且 P A0，P Bi0(i 1,2, n), 則有：P( BiP( Bi A)P( A | Bi ) P(Bi )| A)nP(A)j 1 P( A | Bi )P(Bi )特別地：當(dāng) n=2時(shí)，有：P( AB)P( A| B)P(B)P(B | A)P( A | B)P( B) P( A | B) P(B)P( A)【相關(guān)例題】 1

21、、P19 例 5某電子設(shè)備制造廠設(shè)用的元件是有三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供原件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)分標(biāo)志。問(wèn)：（ 1）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取一只元件，求它的次品率；（ 2）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)抽取一只元件，為分析此次品出自何廠，需求出此次品有三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少，試求這些概率。 （見(jiàn)下）10/44解：1 設(shè)A= 取到一只次品， B= 在 i廠取到產(chǎn)品(i1,2,3).且 B1、 B2、 B3是S的一個(gè)劃分。則由全概率公式有：P( A)P( A|B1) P( B1)P( A |

22、 B2 )P( B2)P( A | B3 )P( B3)0.020.150.010.800.030.050.0125(2)由貝葉斯公式有：P( B1P( A | B1)P(B1)0.02 0.15| A)0.24P( A)0.0125P( B2P( A | B2 )P( B2)0.01 0.80| A)0.64P( A)0.0125P( B3P( A| B3)P(B3)0.03 0.05| A)0.12P( A)0.0125答：綜上可得，次品出自二廠的可能性較大。2、袋中裝有 m 枚正品硬幣， n 枚次品硬幣（次品硬幣兩面均有國(guó)徽），在袋中任意取一枚，將他擲 r 次，已知每次都得到國(guó)徽，問(wèn)這枚

23、硬幣是正品的概率是多少？解：設(shè) A=所拋擲的硬幣是正品 ，B= 拋擲 r次都得到國(guó)徽 ，本題即求 PA| B ,得：mn , P( A)n1P A = mm n , P(B | A)2r , P( B | A)1.1mP( AB)P(B | A)P( A)2rm n.即有： P A|BP(B | A)P( A) P(B | A)P(A) 1mnP(B)2rmnm n3、設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸?shù)哪撤N物品損壞的情況共有三種：損壞 2%（這一事件記為 A 1），損壞 10%（這一事件記為A 2），損壞 90%（這一事件記為A 3），且知 P（A 1）=0.8，P（ A 2）=0.15

24、，P（ A 3）=0.05. 現(xiàn)在從已經(jīng)運(yùn)輸?shù)奈锲分须S機(jī)取3 件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B ），試求 P( A1 | B), P( A2 | B), P( A3 | B)(這里物品件數(shù)很多，取出一件后不影響取后一件是否為好品的概率 )。（見(jiàn)下）11/44解：由題意可知：P(B | A1)0.983 , P(B | A2 )0.93 , P( B | A3 ) 0.13P( A1) 0.8,P(A2 )0.15, P( A3 )0.05P(B) P(B | A1)P( A1) P(B | A2)P(A2) P(B | A3)P(A3)0.9830.80.930.150.130.050.

25、8624P(A1|B)P(B | A1)P( A1 )0.983 0.8P(B)0.87310.8624P(A2 |B)0.1268P(A3 | B)0.00014、將 A 、 B 、C 三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出其他字母的概率都是（1-）/2.今將字母串AAAA 、BBBB 、CCCC 之一輸入信道， 輸入 AAAA 、BBBB 、CCCC的概率分別為p1、p2、 p3（ p1+p2+p3=1 ），已知輸出為ABCA 。問(wèn)輸入 AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸各字母的工作是相互獨(dú)立的。）解：設(shè) A= 輸入為 AAAA， B= 輸入為 BBBB，C = 輸入為 CCC

26、C ， D = 輸出為 ABCA ，依題意求 PA|D .P(D ) P(D | A)P( A) P(D | B)P(B) P( D |C)P(C)2 (1)2 p13 (1)3 p23 (12) 3 p322P(AD)P( D | A) P(A)2 (1)2p12P(A|D)P(D )111P(D )2)2p1)3p2)3p3(222p1p1p1p1(1)p2(1) p3p1(1p )(3a 1) p1122121題型二： 1、求概率密度、分布函數(shù)；2、正態(tài)分布1、求概率密度【相關(guān)公式】 已知分布函數(shù)求概率密度在連續(xù)點(diǎn)求導(dǎo)；已知概率密度f(wàn)(x) 求分布函數(shù)抓住公式：f (x)dx1，且對(duì)于任

27、意實(shí)數(shù)， 有：P x1Xx2F (x2 )F ( x1 )x2f ( x) dx。x1【相關(guān)例題】（ 1）設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為：0, x1FX（ X ） =ln x,1xe1,xe12/44求P( X 2)、P(0 X53)、P(2 X)2求概率密度 f x ( x).（見(jiàn)下）解：(1)P( X2)P( X2) ln 2P(0X3)FX (3)FX (0)10 1P(2X5) FX(5) FX (2)ln5224(2) d FX ( X )1dxx1 ,1 xexfx (x)0, 其他（ 2） f ( x)A(x)，是確定常數(shù) A 。x21解：由相關(guān)性質(zhì)得： +Adx1- 1+x2解得：

28、 A(arctan x 0arctan x 011A（ 3）x ,0x36x ,3設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度f(wàn)(x)=2x4 ，求 X 的分布函數(shù)。20,其他解：0，x0x xdx,0x3x2x306,012F(x)36x2x2,3x430x22 x,3 x 43x41, x42、正態(tài)分布 (高斯分布 )13/44【相關(guān)公式】1( x)2（ 1）公式 f (x)e 22(x) 其中：2, 為常數(shù)，則稱(chēng) X服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分布。（2）若 X N，2 ，則 Z = x N (0,1).（ 3）相關(guān)概率運(yùn)算公式：P XxPXxx);(P x1X x2 P x1Xx2( x2)( x1);(

29、x)1(x).【相關(guān)例題】1、（ P58 27）某地區(qū)18 歲女青年的血壓（收縮壓：以mmHg 計(jì)）服從 N（ 110,122 ），在該地任選一名18 歲女青年，測(cè)量她的血壓X ，求：（1） P X105, P100X 120;（ 2）確定最小的x,使 P Xx0.05解：(1) X N (110,122 )P XX110105 1105) 1(0.42)1 0.66280.3372;105 P12(1212P100X120P 100 110X110120110(10)(10)2 (10) 1 0.5934121212121212(2) P Xx1P Xx1P X110x110 1( x 110)0.05121212即有：x110) 0.95(1.65)(12x 1101.65x129.812xmin129.82、由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)10.05,0.06 的正態(tài)分布，規(guī)定長(zhǎng)度在范圍 10.050.12 內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率。（見(jiàn)下）14/44解：設(shè) A 一螺栓合格 ，本題求 P A .P( A)P 9.93 10.05X 10.0510.17 10.0