二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合問題（經(jīng)典實用）

1、琢玉教育個性化輔導(dǎo)講義教師姓名學(xué)科上課時間 年 月 日學(xué)生姓名年級講義序號課題名稱教學(xué)目標(biāo)1. 會根據(jù)題目條件求解相關(guān)點的坐標(biāo)和線段的長度；2. 掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式；3. 能根據(jù)題目中的條件，畫出與題目相關(guān)的圖形，繼而幫助解題；教學(xué)重點 難點1.體會利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解的方法；2.會應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想和動態(tài)數(shù)學(xué)思維解決相關(guān)問題。課前檢查上次作業(yè)完成情況：優(yōu) 良 中 差 建議_教學(xué)內(nèi)容知識結(jié)構(gòu)：一.二次函數(shù)知識點梳理：下圖中二.特殊的二次函數(shù)：下圖中三二次函數(shù)背景下的相似三角形考點分析：1.先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖像上探求符合幾何條件的點；2.

2、簡單一點的題目，就是用待定系數(shù)法直接求函數(shù)的解析式；3.復(fù)雜一點的題目，先根據(jù)圖形給定的數(shù)量關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想，求得點的坐標(biāo)，繼而用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；4.還有一種常見題型，解析式中由待定字母，這個字母可以根據(jù)題意列出方程組求解；5.當(dāng)相似時：一般說來，這類題目都由圖像上的點轉(zhuǎn)化到三角形中的邊長的問題，再由邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到三角形的相似問題；6.考查利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解的方法。例題選講：例1.如圖，已知拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C， D為OC的中點，直線AD交拋物線于點E（2，6），且ABE與ABC的面積之比為32（1）求直線AD和拋

3、物線的解析式；例1題圖（2）拋物線的對稱軸與軸相交于點F，點Q為直線AD上一點，且ABQ與ADF相似，直接寫出點Q點的坐標(biāo)。ABO練習(xí)1.如圖，直線()與分別交于點,，拋物線經(jīng)過點，頂點在直線上。（1）求的值； （2）求拋物線的解析式； （3）如果拋物線的對稱軸與軸交于點，那么在對稱軸上找一點，使得和相似，求點的坐標(biāo)。 例2.已知：矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，直線與邊交于點（1）求點的坐標(biāo)；（2）若拋物線經(jīng)過、兩點，求此拋物線的表達(dá)式；（3）設(shè)（2）中的拋物線的對稱軸與直線交于點，點是對稱軸上一動點，以、為頂點的三角形與相似，求出符合條件的點方法總結(jié)：二次函數(shù)背景下相似三角形的解題方

4、法和策略：1. 根據(jù)題意，先求解相關(guān)點的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度；2. 待定系數(shù)法求解相關(guān)函數(shù)的解析式；3. 相似三角形中，注意尋找不變的量和相等的量（角和線段）；4. 當(dāng)三角形的三邊不能用題目中的未知量表示時，注意利用相似三角形的轉(zhuǎn)化求解；5. 根據(jù)題目條件，注意快速、正確畫圖，用好數(shù)形結(jié)合思想；6.注意利用好二次函數(shù)的對稱性；7.利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解都是常用方法。1. 已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1，1）和點（2，2），該函數(shù)圖像的對稱軸與直線、分別交于點和點（1）求這個二次函數(shù)的解析式和它的對稱軸；（4分）（2）求證：=；（4分）（3）如果點在

5、直線上，且與相似，求點的坐標(biāo)（6分）yxOAB11-1-12.如圖，拋物線與軸相交于、，與軸相交于點，過點作軸，交拋物線于點。點是直線上一點，且與相似，求符合條件的點坐標(biāo)?！緟⒖冀谭ā浚? 你能求出題目中點的坐標(biāo)嗎？（讓學(xué)生獨立計算求解）2 點的運動有什么特征嗎？提示：點的不同位置相似的情況不一樣。3 當(dāng)與相似時：1. 需要討論嗎？提示：需要，根據(jù)點的不同位置討論2. 怎么討論？根據(jù)點的位置，分兩大類討論：（1）當(dāng)點P在C的左側(cè)，由題意有，則分2類討論： 當(dāng)時：，即； 當(dāng)時：，即。（2） 點P在C的左側(cè)，由題意有，不存在。3.情況分好了，那怎么計算呢？你算一下。提示：讓學(xué)生計算。4題目分析完了

6、吧！你算一下每一個情況看看！5以后做題，可以把分類的情況先寫下來，之后再計算求解。6.根據(jù)本題的求解你有什么想法沒？提示：二次函數(shù)中當(dāng)點的坐標(biāo)已知時，注意計算各線段的長度；注意及時畫圖，體會數(shù)形結(jié)合的思想。【滿分解答】： 當(dāng)點P在C的左側(cè)，由題意有，分兩類討論： 若，即時，PACBAC，此時CP=3，P(3,2); -2若，即時，PACABC;此時CP=，P(,2).-2 當(dāng)點P在C的左側(cè)，由題意有,不存在。3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過、三點，沒該二次函數(shù)圖像的頂點為（）（1）求這個二次函數(shù)的解析式及其圖像的頂點的坐際；（2）在線段上是否存在點，使，其中坐標(biāo)軸的原點對應(yīng)點，

7、點的對應(yīng)點為C?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?！窘夥c撥】：1.二次函數(shù)經(jīng)過三點，可以根據(jù)待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；（讓學(xué)生自己計算）2.當(dāng)時，字母已經(jīng)對應(yīng)好，無需分類討論，則由得，所以。又因為點在線段上，且的解析式是： ，則可直接計算出點的坐標(biāo)。3.注意及時畫圖，體會數(shù)形結(jié)合的思想?！緷M分解答】：(1)由題意得： 解得： 二次函數(shù)的解析式為 頂點的坐標(biāo)是 (2)根據(jù)題意， 解得： 的解析式是 設(shè)點的坐標(biāo)是， 解得：點的坐標(biāo)是 例2題圖4.如圖，雙曲線和在第二象限中的圖像，A點在的圖像上，點A的橫坐標(biāo)為m（m0），ACy軸交圖像于點C，AB、DC均平行x軸，分別交、的圖像于點B、

8、D。（）（1）用m表示A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）若ABC與ACD相似，求m的值.【參考教法】：1. 題目看完了吧！我們來一起分析一下，先找找題目中的一些已知道條件吧！你試試：提示： 注意題目中有兩個反比例函數(shù)； AB、DC均平行x軸，得出點縱坐標(biāo)相同，點縱坐標(biāo)相同； 點的坐標(biāo)可根據(jù)圖像用m表示；2. 點的坐標(biāo)可以用含的代數(shù)式表示嗎？你求解一下。提示：讓學(xué)生求解3. 當(dāng)ABC與ACD時：1. 兩三角形中是否有相等的角？提示：2. 需要討論嗎？提示：需要，分2類討論；3. 怎么討論？提示：因為，則分兩個情況討論： 當(dāng) 時，得 ABCCAD，則，直接計算可的的值； 當(dāng)時，得 ABCCDA，則，直接

9、計算可的的值；4. 怎么計算？你求解看看。提示：讓學(xué)生求解。5. 在分析題目的過程中，還要及時畫圖哦！【滿分解答】：（1）由題意知，；（2） 當(dāng) 時，得 ABCCAD，則, 得=(-3 m) 所以：=16，得 m= 2 （正數(shù)舍去） 所以：m= -2 時，得 ABCCDA，則, 所以：m= 0（舍去） 所以若ABC與ACD相似，m= -2. 5.RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），BDE的面積為2。（14分）OABCDxyE（1） 求m與n的數(shù)量關(guān)系；（3分）（）（2） 當(dāng)tanA=時，求反比例函數(shù)的解析式

10、和直線AB的表達(dá)式；（6分）（3） 設(shè)直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在（2）的條件下，如果AEO與EFP 相似，求點P的坐標(biāo)。（5分）【解法點撥】：1.注意題目中的不變量以及所得到的相關(guān)結(jié)論： 點的反比例函數(shù)的圖像上，則它們的坐標(biāo)乘積相等（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)）； 第2、3小問中，點的坐標(biāo)不變；2.第1小問可根據(jù)的反比例函數(shù)的圖像上可得；3.第2小問結(jié)合三角比和m與n的數(shù)量關(guān)系可求的點的坐標(biāo)；求出點可得FD/x軸，所以EFP=EAO。當(dāng)AEO與EFP 相似時，則：或，再根據(jù)長度可直接求的得點坐標(biāo)。4.注意及時畫圖，體會數(shù)形結(jié)合的思想。【滿分解答】：（1）D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)的圖像上, ， .2分 .1分(2) ACB=90，D（4，m），設(shè)B（4，y）作EHBC，E（2，n），即E（2，2m），EH=2，BH= y-2m.1分BDE的面積為2，且tanA=，即.1分，B（4,3），E（2,2）.1分E（2,2）在反比例函數(shù)圖像上，,即反比例函數(shù)為.1分設(shè)直線A